Семинары 4 семестр Часть 2 (1238809), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Яковенко Г.Н. Краткий курс аналитической динамики. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2004. ............................. §7, 10 с.51-55, 66-70Журавлев В.Ф. Основы теоретической механики. 2-е издание – М.: Наука, 2001. . ...................................................................................... -Если мы поставим задачей поиск циклических координат, то для этого нужносделать каноническое преобразование. Нужно, чтобы новый гамильтониан несодержал новых координат и импульсов и был равен нулю.qi = qi (t , q, p )~pi = ~pi (t , q, p )~Η≡0С.В.
Семендяев. Семинары весеннего семестра24qi = α i , pi = βiгде α i , βi - константы.Уравнение Гамильтона-Якоби традиционно выводится с привлечением свободных~канонических преобразований валентности c = 1 . Переход к переменным q, qвозможен при выполнении условия:det∂ 2 S (t , q, q~ )∂ 2 S (t , q, α )=det≠0∂qi ∂q~k∂qi ∂α kНовый гамильтониан связан со старым следующим соотношением:Η ( t , q, p ) =∂S+ cΗ ( t , q, p )∂t~∂SТ.к. Η ≡ 0 , с=1 и pi =(это следует из структурных формул свободного∂qiканонического преобразования), то0=⎛∂S∂S ⎞+ Η ⎜ t , q, ⎟∂t∂q ⎠⎝Получили уравнение в частных производных для производящей функцииS ( t , q , q ) = S ( t , q, α ) .Уравнение⎛∂S∂S ⎞+ Η⎜⎜ t , q, ⎟⎟ = 0∂t∂q ⎠⎝- уравнение Гамильтона-Якоби для системы с функцией ГамильтонаΗ ( t , q, p ) .Спектр решений уравнения Гамильтона-Якоби простирается от частных решений дообщего решения, зависящего от произвольных функций.
Нас интересуют полныеинтегралы.Полным интегралом уравнения Гамильтона-Якоби называется решениеS ( t , q1 ,..., qn ,α1 ,...,α n ) ,зависящее от произвольных постоянных α1 ,...,α n иудовлетворяющее условиюdet∂ 2 S (t , q, α )≠0∂qi ∂α k.Название «полный» оправдано тем, что не происходит потери информации припереходе: функция Гамильтона → уравнение Гамильтона-Якоби → полный интеграл.С.В. Семендяев.
Семинары весеннего семестра25Полными интегралами уравнения Гамильтона-Якоби являются главная функцияГамильтона с(см. также Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической динамике.q0 ≡ α3-е издание. – М.: Наука, 2001, с. 138):tW (t , q 0 , p 0 ) = ∫ L ( s, q ( s, q 0 , p 0 ) , q ( s, q 0 , p 0 ))dst00где переменная p понимается как функцияГамильтона сp0 ≡ αp 0 = p 0 ( t , q, q 0 )и полуглавная функция:()nV ( t , q, p 0 ) = W t , q 0 ( t , q, p 0 ) , p 0 + ∑ pi0 qi0 ( t , q, p 0 ) .i =1Но уравнение Гамильтона-Якоби характерно тем, что один полный интеграл частоудается найти без громоздких вычислений. А также без применения общей теорииинтегрирования уравнений в частных производных.Прием – отделение (разделение) переменных.Если переменные разделяются в гамильтониане, то полный интеграл можнопредставить в виде аддитивной комбинации:nS (t , q, α ) = S 0 (t ) + ∑ S i (qi , α )i =1В этом случаеpi =.∂S dSi== pi ( qi ,α ) .∂qi dqiИнтегрирование даетSi .Остается найтиS0 ( t ) .Начинается сужение класса функций.
Рассмотрим обобщенно консервативныесистемы,Η ( q, p ) = hпри дополнительном условииразрешить равенствоΗ ( q, p ) = hотносительно∂Η≠ 0,∂pp = f ( q, h ) .которое дает возможностьТогда,dS 0+ h = 0 → S 0 = − htdt.nПоэтому, S ( t , q,α ) = −ht + ∑ ∫ pi ( qi ,α )dqi .i =1Пример.Η ( f1 ( q1 , p1 ) , f 2 ( q2 , p2 ) ,..., f n ( qn , pn ) ) .В этом случае f i (qi , pi ) = α i → pi = ϕ i (qi , α i ) .Исходя из полного интеграла, можно выделить конкретные траектории.
В каждойконкретной точке траектории есть зависимость между координатами и импульсами.Но, в общем, нужно помнить, чтоС.В. Семендяев. Семинары весеннего семестраpi и qiнезависимые переменные.26Пример. Анизотропный осциллятор.⎛ pi2 ci qi2Η = ∑ ⎜⎜+2⎝ 2m⎞⎟=h⎟⎠pi2+ ci qi2 = α im- первые интегралы.pi = mα i − mci qi2 ,1∑α i = h .2S=−1α i t + ∑ ∫ mα i − mci qi2 dqi∑2- полный интеграл.Уравнения движения в полном виде qi = qi (t , α , β ), pi = pi (t , α , β ) можно получить спомощью соотношений:∂S∂S= − βi ,= pi∂α i∂qimdqi1∂S=− t+∫= −β i∂α i22 mα i − mci qi2,pi = mα i − mci qi2Пример. Η =()f n ...
f 2 ( f1 ( q1 , p1 ) , q2 , p2 ) ...qn , pn = hС помощью скобок Пуассона показывается, что все указанные функции являютсяпервыми интегралами: f1 (q1 , p1 ) = α 1 , f 2 (α 1 , q 2 , p 2 ) = α 2 , …, f n = h = α n .Пример. Движение Кеплера (поле Всемирного тяготения). В переменныхГамильтона:pϕ2 ⎞ γ1 ⎛⎜ 2 pθ2⎟−Η=pr + 2 + 22m ⎜⎝rr sin 2 θ ⎟⎠ r .ϕ - циклическая координата. pϕ = αϕ = dSϕ - первый интеграл.dϕpθ2 +αϕ2sin 2 θ= αθ - первый интеграл.С.В. Семендяев. Семинары весеннего семестра27αϕ2⇒ pθ = αθ −1 ⎛ 2 αθpr + 2r2m ⎜⎝.sin 2 θ⎞ γ⎟ − r = α r - первый интеграл.⎠⇒ pr = 2mα r +2mγ αθ− 2 .rrУравнение Гамильтона-Якоби⎛∂S∂S ⎞+ Η⎜⎜ t , q, ⎟⎟ = 0∂t∂q ⎠⎝где в гамильтониан нужно поставить22∂S1 ⎛⎜ ⎛ ∂S ⎞1 ⎛ ∂S ⎞1+⎜ ⎟ + 2⎜ ⎟ + 2∂t 2m ⎜⎝ ⎝ ∂r ⎠r ⎝ ∂θ ⎠r sin 2 θ⎛ ∂S ⎞⎜⎜⎟⎟⎝ ∂ϕ ⎠pr =2∂S∂S∂S, pϕ =, pθ =∂r∂ϕ∂θ.⎞ γ⎟− =0⎟ r⎠- уравнение Гамильтона-Якоби.Полный интеграл:S = −α r t + ∫ α θ −α ϕ2sin θ2dθ + ∫ 2mα r +2mγ α θ− 2 dr + α ϕ ϕrr.Полный интеграл, также как и Η определяется с точностью до аддитивной функциипо времени.∂S=ϕ −∫∂α ϕ2α ϕ dθsin 2 θ= −βϕ2 αθ −α ϕ2sin 2 θ,1dr2dθ∂Sr=−∫= −βθ∂α θ ∫2mγ α θα ϕ2− 22 2mα r +2 αθ −rrsin 2 θ,∂S= −t + ∫∂α r2mdr2mγ α θ− 22 2mα r +rr= −β r.Если бы мы взяли декартовы координаты, то переменные не разделились бы,поскольку потенциальная энергия в них записывается в видеС.В.
Семендяев. Семинары весеннего семестраγx + y2 + z22.28Пример.∑ f (q , p ) = h∑ ϕ (q , p )Η=iiiiiiИспользуя скобки Пуассона можно показать, что:f i (qi , pi ) − hϕ i (qi , pi ) = α i- первые интегралы.Константу h выбросить не можем, но можем записать:∑αi= 0.Замечание. Как правило, структуры с разделенными переменными бываютсочетаниями. Иногда требуется смекалистость.Пример. С24.44.Η=1 ⎛⎜ p12 + p 22 ⎛ 2 1+ ⎜ p3 + 22 ⎜⎝ q1 − q 2 ⎜⎝q3pi =∂S∂qi⎞⎞⎟⎟(q1 + q 2 )⎟ = h⎟⎠⎠Уравнение Гамильтона-Якоби⎛∂S∂S ⎞+ Η⎜⎜ t , q, ⎟⎟ = 0∂t∂q ⎠⎝⎛ ⎛ ∂S ⎞ 2 ⎛ ∂S⎜⎜⎟ +⎜∂S 1 ⎜ ⎜⎝ ∂q1 ⎟⎠ ⎜⎝ ∂q 2+ ⎜q1 − q 2∂t 2 ⎜⎜⎝2⎞⎞⎟⎟⎟2⎛⎞⎠ + ⎜ ⎛⎜ ∂S ⎞⎟ + 1 ⎟(q + q )⎟ = 012 ⎟⎜ ⎜⎝ ∂q3 ⎟⎠q32 ⎟⎟⎝⎠⎟⎠.Разделяем переменные.p32 +1= α3q32- первый интеграл.()p12 + p 22 + α 3 q12 − q 22 = 2h(q1 − q 2 ) ,p12 + α 3 q12 − 2hq1 = − p 22 + α 3 q 22 − 2hq 2 →α 1 = p12 + α 3 q12 − 2hq1- первый интеграл.С.В.
Семендяев. Семинары весеннего семестра29− α 2 = − p 22 + α 3 q 22 − 2hq 2 ,α 1 = −α 2 .Поскольку α1 и α 2 почти не отличаются (с точностью до знака), то вместо α 2 будемрассматривать h , т.е. будет пользоваться константами α1 , α 3 , h .p1 = α 1 − α 3 q12 + 2hq1 ,p2 =− α 1 + α 3 q 22 − 2 hqp3 = α 3 −2,1q32 .S = − ht + ∫ α1 − α 3 q12 + 2hq1 dq1 + ∫ −α1 + α 3 q22 − 2hq2 dq2 + ∫ α 3 −1dq3q32Сколько всего полных интегралов? Сколько угодно.pi = ± ... .На самом деле,± стоят. И α вводить можно различными способами f ( qi , pi ) = α i ,α i2 , tgα i . Полныйинтеграл определен с точностью до обозначения констант.От различия способов выбора знаков и α будут меняться уравнения движения вконечном виде. Но структура их остается той же самой.dq1− dq 2∂S=∫+∫= − β12∂α 12 α 1 − α 3 q1 + 2hq12 − α 1 + α 3 q 22 − 2hq 2dq3−q12 dq1q22 dq2∂S=∫+∫+∫= − β322∂α 312 α1 − α 3 q1 + 2hq12 −α1 + α 3 q2 − 2hq22 α3 − 2q3∂S2q1dq1−2q2 dq2= −t + ∫+∫= −βh2∂h2 α1 − α 3 q1 + 2hq12 −α1 + α 3 q22 − 2hq2Следующие соотношения, на самом деле, не надо вычислять, поскольку ранее мынашли выражения для pi (α , h, q ) .2h − 2α 3 q1∂S1=∫dq1 = p1∂q12 α1 − α 3 q12 + 2hq12α 3 q2 − 2h∂S1=∫dq2 = p2∂q22 −α1 + α 3 q22 − 2hq2С.В.
Семендяев. Семинары весеннего семестра30∂S1=∫∂q3221q331α3 − 2q3dq3 = p3Домашнее задание. Учитесь решать следующие типы задач:1. Дано: L . Получить Η . Записать уравнения Гамильтона, уравнениеГамильтона-Якоби. Найти полный интеграл разделением переменных. Ивыписать уравнения движения в полном виде.2. Дано преобразование. Установить каноничность. Найти валентность ипроизводящую функцию.С.В. Семендяев. Семинары весеннего семестра31САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА.Учение не только свет,... - оно также свобода. (И.С. Тургенев)ТУРГЕНЕВ Иван Сергеевич (1818-1883), русский писатель, член-корреспондентПетербургской АН (1860). В цикле рассказов "Записки охотника" (1847-1852)показал высокие духовные качества и одаренность русского крестьянина, поэзиюприроды.
В социально-психологических романах "Рудин" (1856), "Дворянскоегнездо" (1859), "Накануне" (1860), "Отцы и дети" (1862), повестях "Ася" (1858),"Вешние воды" (1872) созданы образы уходящей дворянской культуры и новыхгероев эпохи - разночинцев и демократов, образы самоотверженных русскихженщин. В романах "Дым" (1867) и "Новь" (1877) изобразил жизнь русских заграницей, народническое движение в России. На склоне жизни создал лирикофилософские "Стихотворения в прозе" (1882). Мастер языка и психологическогоанализа, Тургенев оказал существенное влияние на развитие русской и мировойлитератур.ВОПРОСЫС.В.
Семендяев. Семинары весеннего семестра32Дорогие студенты и студентки!С помощью нижеследующего списка ключевых понятий, определений и теоремпо различным темам, предлагается проверить свои знания. Что вы могли бырассказать по какому-либо вопросу, будучи на экзамене?Самый лучший вариант: выучить и знать наизусть формулировки и формулы,ориентироваться в методах решения задач на данную тему.Вопросы составлены на основе семинаров по теоретической механике МФТИпреподавателя Семендяева Сергея Вячеславовича.Семинар №7.УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА И СКОБКИ ПУАССОНА.Расширенное фазовое пространство. Функция Гамильтона (Гамильтониан).Канонические уравнения Гамильтона (гамильтонова система).Первые интегралы. Количество функционально независимых первыхинтегралов.
Поиск первых интегралов.Циклические координаты. Понижение порядка системы.Скобки Пуассона. Свойства.Теорема Якоби-Пуассона.Отделимые координаты.С.В. Семендяев. Семинары весеннего семестра33Семинар №8.ПРИНЦИП ГАМИЛЬТОНА. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ.Прямой путь. Окольный путь.Действие по Гамильтону. Принцип Гамильтона.Сопряженные кинетические фокусы.Интегральные инварианты.Трубка прямых путей.Основной относительный интегральный инвариант Пуанкаре-Картана.Изохронный контур. Универсальный интегральный инвариант Пуанкаре.Обратные теоремы теории интегральных инвариантов.Теорема Ли Хуачжуна.Фазовый объем. Теорема Лиувилля.Статистический ансамбль.
Плотность статистического ансамбля.Семинар №9.КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯКанонические преобразования.Критерий каноничности. Валентность. Производящая функция.Унивалентность.Свободные канонические преобразования. Структурные формулы. Поискпроизводящей функции и валентности из условия интегрируемости системыструктурных формул.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
