Семинары 4 семестр Часть 2 (1238809), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Яковенко Г.Н. Краткий курс аналитической динамики. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2004. ............................. §7, 10 с.51-55, 66-70Журавлев В.Ф. Основы теоретической механики. 2-е издание – М.: Наука, 2001. . ...................................................................................... -Уравнения Лагранжа переходом к новым обобщенным координатам всегда можнопривести опять к лагранжевым уравнениям. В этом заключается ковариантностьуравнений Лагранжа. По-другому обстоит дело с уравнениями Гамильтона.Гамильтонова система переводится в гамильтонову систему только каноническимпреобразованием. Т.е.
ковариантность уравнений Гамильтона имеет место толькоотносительно канонических преобразований.Зачем нужно переходить к новым переменным? Гамильтониан в новых переменныхможет иметь более простую структуру.С.В. Семендяев. Семинары весеннего семестра17Определение. Рассмотрим неособенное преобразование переменныхq~i = q~i (t , q, p ),~pi = ~pi (t , q, p ),i = 1, n,det M ≠ 0,∂q~i∂q, M = ~k∂p i∂q k∂q~i∂p k,∂~pi∂p kгде M - матрица Якоби преобразования.Такое преобразование называется каноническим, если замена переменных влюбой гамильтоновой системе приводит опять к гамильтоновой системе.Критерий каноничности. Преобразование q~i = q~i (t , q, p ), ~pi = ~pi (t , q, p ), i = 1, nявляется каноническим тогда и только тогда, когда существует числоc ≠ 0 (валентность) и функция F (производящая функция), такие что∑ ~p δq~ii− c∑ pi δ qi = −δF (t , q, p ) = −∑∂F∂Fδqi − ∑ δpi .∂qi∂pi{Это требование следует из т.Ли Хуачжуна с использованием инт.инв.Пуанкаре}Пример.
С23.7q~ = −qctgp, ~p = 2 ln cos ppδ q − Cpδ q = −∂F∂Fδq− δ p∂q∂p⎛⎞q∂F∂Fδp ⎟⎟ − Cpδq = − δq −δp2 ln cos p⎜⎜ − ctgpδq +2∂q∂psin p ⎠⎝Сравнивая левые и правые части при соответствующих вариациях, находим:⎧ ∂F⎪ ∂q = 2ctgp ln cos p + Cp,⎪⎨⎪ ∂F = −2 q ln cos p⎪⎩ ∂psin 2 pДля того чтобы установить каноничность не обязательно находить производящуюфункцию, достаточно установить ее существование, т.е. в нашей системевыполнение условия:∂2F∂2F.=∂q∂p ∂p∂q−2sin p11ctgp − 2 ln cos p 2 + C = −2 ln cos p 2 ⇒ C = 2 ⇒ ∃C ≠ 0 .cos psin psin pС.В. Семендяев.
Семинары весеннего семестра18Неравенство нулю C существенно, т.к.∑ pδ q в общем случае полнымдифференциалом быть не может.Если c = 1 , то преобразование называют унивалентным.Найдем F интегрированием частной производной∂F:∂qF = (2ctgp ln cos p + 2 p )q + ϕ ( p )⎞1∂F ⎛ sin pctgp − 2ln cos p 2 + 2 ⎟ q + ϕ ′ ( p ) == ⎜ −2sin p∂p ⎝ cos p⎠q= −2ln cos p 2 ⇒ ϕ ′ ( p ) = 0sin pF определяется с точностью до аддитивной функции от времени ⇒ ϕ = const можноотбросить.
■Следствие критерия каноничности. Пусть каноническому преобразованиюсоответствуют c ≠ 0 и F . Обратное к нему преобразование также каноническое с1Fвалентностью c~ = и F = − .ccСвободные канонические преобразования.Если мы дополнительно потребуем: det∂q~i (t , q, p )≠ 0 , мы можем взять вместо∂p kпеременных q, p переменные q, q~ . Переменные q, q~ более удобны по сравнению сq, p , т.к. содержат вариации δ q, δ q в вариации производящей функции δ F . Наборпеременных t , q, q~ будем называть свободным.Неособенное преобразование q, q называется свободным, если для него выполненоусловие det∂q~i (t , q, p )≠ 0.∂p kКритерий каноничности для свободного преобразования:∑ ~p δq~ii− c ∑ pi δqi = −δF = −∑∂S∂Sδqi −∑ ~ δq~i∂qi∂qiS (t , q, q~ ) = F (t , q, p (t , q, q~ ))Получим 2n соотношений, которые называют структурными формуламисвободного канонического преобразования:С.В.
Семендяев. Семинары весеннего семестра19⎧ ∂S~⎪⎪ ∂q = cpi (t , q, q )i⎨ ∂S⎪ ~ = −~pi (t , q, q~ )⎪⎩ ∂q iВозможность выбора новых переменных не единственна. Можно взять наборыq~p , pq~, p~p , и все это допустимо при соответствующих требованиях.Например, набор q, ~p возможен при следующем условии для преобразования:det∂~pi≠ 0 . Этот набор менее ущербный по сравнению с q, q~ , потому что в отличие∂p kот q, q~ , является группой преобразований (см. книгу Яковенко).Преобразование называется полусвободным, если для него выполнено условиеdet∂~pi≠ 0.∂p kПолусвободными их назвали потому, что критерий каноничности пришлосьзаменить эквивалентной формулой:{Добавим и вычтем qiδ pi :∑ ( ~p δq~ii+ q~i δ~pi − q~i δ~pi ) − c ∑ pi δqi = −δF ⇒ ∑ ( − qiδ pi ) − c ∑ piδ qi = −δ F −∑ δ ( pi qi ) }∂Φ∂Φ− ∑ q~i δ~pi − c∑ pi δqi = −δΦ (t , q, ~p ) = −∑δqi − ∑ ~ δ~pi ,∂qi∂pinгде Φ = F + ∑ ~pi q~i .i =1Приравнивая коэффициенты при одинаковых вариациях, получаем систему⎧ ∂Φ~⎪⎪ ∂q = cpi (t , q, p )i⎨ ∂Φ⎪ ~ = q~i (t , q, ~p)⎪⎩ ∂pi∂ 2Φ∂ 2Φинтегрируемость которой (т.е.
выполнение условия) при некотором=∂qi ∂~pi ∂~pi ∂qiчисле c ≠ 0 гарантирует каноничность преобразования.Что происходит с функцией Гамильтона при канонических преобразованиях?При свободном преобразовании q, p → q, q~ :С.В. Семендяев. Семинары весеннего семестра20∂S~Η (t , q~, ~p (t , q, q~ )) =+ cΗ (t , q, p(t , q, q~ )) .∂tПри полусвободном преобразовании q, p → q, ~p :np)∂Φ (t , q, ~~p ), ~p) =p )) , где Φ = F + ∑ ~pi q~i .Η (t , q~ (t , q, ~+ cΗ (t , q, p(t , q, ~∂ti =1Замечание. Условие каноничности преобразования также можно сформулировать ввиде системы равенств через скобки Лагранжа (см. Айзерман М.А.Классическаямеханика. – М.: Наука, 1974, 1980.
с. 327):⎛ ∂q j ∂p j ∂q j ∂p j ⎞−⎟ = 0,⎝ ∂qi ∂qk ∂qk ∂qi ⎠[ qi , qk ] = ∑ ⎜j⎛ ∂q j ∂p j ∂q j ∂p j ⎞−⎟ = 0,⎝ ∂pi ∂pk ∂pk ∂pi ⎠[ pi , pk ] = ∑ ⎜j⎛ ∂q j ∂p j ∂q j ∂p j ⎞−⎟ = δ ik c⎝ ∂qi ∂pk ∂pk ∂qi ⎠[ qi , pk ] = ∑ ⎜jи скобки Пуассона (Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической динамике. 3-еиздание. – М.: Наука, 2001, с. 163):( qi , qk ) = 0,( pi , pk ) = 0,( qi , pk ) = cδ ik⎧1, i = k- символ Кронекера.⎩0, i ≠ kгде δ ik = ⎨Пример. С23.98.p1 + 4q2− 2q1 ,41p1 = − ( p1 + 4q2 ) ,21 p + 4q1 1q2 = ln 2− q2 ,232p2 = −2 ( p2 + 4q1 )q1 = ln∂q~i (t , q, p )Определитель det≠ 0 ⇒ преобразование свободное.∂p kС.В.
Семендяев. Семинары весеннего семестра21p1 = 4 exp ( q1 + 2q1 ) − 4q2 ,p2 = 3exp ( 2q2 + q2 ) − 4q1 ,1p1 = − 4 exp ( q1 + 2q1 ) ,2p2 = −2 ⋅ 3exp ( 2q2 + q2 )p1 , p2 , p1 , p2 мы выражали через q, q чтобы записать структурные формулысвободного канонического преобразования:⎧ ∂S~⎪⎪ ∂q = cpi (t , q, q )i⎨ ∂S⎪ ~ = −~pi (t , q, q~ )⎪⎩ ∂q i∂S= 4c exp ( q1 + 2q1 ) − 4q2 c,∂q1∂S= 3c exp ( 2q2 + q2 ) − 4q1c,∂q2∂S= 2 exp ( q1 + 2q1 ) ,∂q1∂S= 6 exp ( 2q2 + q2 )∂q2Ищем c , записав условие интегрируемости∂2S∂2S→ 4c exp(q~1 + 2q1 ) = 4 exp(q~1 + 2q1 ) ⇒ с=1, преобразование унивалентное.=∂q1∂q~1 ∂q~1∂q1Интегрируем частные производные от S :1.
S = 2 exp ( q1 + 2q1 ) − 4q2 q1 + ϕ1 ( q2 , q1 , q2 )2. S = 3 exp(2q~2 + q2 ) − 4q1q2 + ϕ 2 (q1 , q~1 , q~2 )3. S = 2 exp(q~1 + 2q1 ) + ϕ 3 (q1 , q 2 , q~2 )4. S = 3exp ( 2q2 + q2 ) + ϕ4 ( q1 , q2 , q1 )S = 3exp ( 2q2 + q2 ) + 2 exp ( q1 + 2q1 ) − 4q1q2 ■В задании есть задача на теорему Эмми Нётер.Рассматривается невырожденное однопараметрическое семействопреобразований обобщенных координат и времени:С.В.
Семендяев. Семинары весеннего семестра22qi = qi ( q, t , α ) ,t = t ( q, t , α ), причем при α = 0 : qi = qi , t = t .Теорема Э. Нётер выделяет такое преобразование, когда элементарноедействие Ldt инвариантно относительно преобразования и не зависит от α , т.е.:dq ⎞⎛L ⎜ t , q, ⎟ dt = L ( t , q, q ) dt (будем писать сокращенно Ldt = Ldt ).dt ⎠⎝Если это соотношение имеет место, тогда у системы есть первый интеграл~⎛ ∂t ⎞⎛ ∂q~i ⎞Φ (t , q, p ) = ∑ pi ⎜⎟ .⎟ − Η⎜⎝ ∂α ⎠ α =0⎝ ∂α ⎠α =0Пример. С20.35.Нужно, чтобы однопараметрическое семейство преобразований было группойвариационных симметрий, т.е.
при любом фиксированном α должно выполнятьсяdq ⎞⎛L ⎜ t , q, ⎟ dt = L ( t , q, q ) dt .dt ⎠⎝По условию, L =1 n∑ aij (q )qi q j − Π(q ) .2 i , j =1aij (q ) -однородные функции порядка k , Π (q ) -однородная функция порядка l .~ ~qi = qi exp (α a ) , t = t exp (α b ) . Запишем: L d t = Ldt :⎛1 n⎞⎛1⎞⎜ ∑ aij ( q ) exp ( kα a ) exp ( 2α ( a − b ) ) qi q j − Π ( q ) exp ( lα a ) ⎟ exp (α b ) dt = ⎜ ∑ aij ( q )qi q j − Π ( q ) ⎟ dt⎝2⎠⎝ 2 i , j =1⎠⎧ b = −la⇒ ka + 2a − b = 0, la + b = 0 ⇒ ⎨⎩k + l = −2~⎛ ∂t ⎞⎛ ∂q~i ⎞Ищем первый интеграл: Φ(t , q, p ) = ∑ pi ⎜ ⎟ − Η⎜ ⎟⎝ ∂α ⎠ α =0⎝ ∂α ⎠α =0n∂LС учетом соотношений pi =и Η ( q, p, t ) = ∑ pi qi |q =Ψ ( q , p ,t ) − L ( q, q, t ) |q =Ψ ( q , p ,t ) получаем:∂qii =1⎞⎛1Φ (t , q, q ) = ∑ aij (q )q j aqi − ⎜ ∑ aij (q )qi q j + Π (q )⎟bt⎠⎝2С.В.
Семендяев. Семинары весеннего семестра23СЕМИНАР №10.УРАВНЕНИЕ ГАМИЛЬТОНА-ЯКОБИ.Указатель литературы.Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической динамике. 3-е издание. – М.: Наука, 2001.................................................................. §9, с.58-60Айзерман М.А.Классическая механика. – М.: Наука, 1974, 1980. .................................................................................................................... Маркеев А.П. Теоретическая механика. – М.: Наука, 1990...............................................................................................................................
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
