МУ - Методы решения задач по векторному анализу и поверхностным интегралам (1238791)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИРОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИНижегородский государственный университет им. Н.И. ЛобачевскогоМетоды решения задач по векторному анализуи поверхностным интеграламУчебно-методическое пособиеРекомендовано методической комиссией ИИТММ для студентов ННГУ,обучающихся по направлению подготовки 01.03.02«Прикладная математика и информатика»Нижний Новгород2016УДК 517.987 (077)ББК В162рМ-54М-54 Методы решения задач по векторному анализу и поверхностныминтегралам.Составители:Калашников А.Л.,Фокина В.Н.,Учебнометодическое пособие. – Нижний Новгород: Нижегородский госуниверситет,2016.

– 38 с.Рецензент: к.ф.-м.н, доцент О.Е. ГалкинВ пособии содержатся задачи и методические указания для их решенияпо разделу курса “Математический анализ” и темы “Кратные интегралы”.Здесь рассмотрены криволинейные и поверхностные интегралы 1-го и 2-го рода, а также способы их вычисления и приложения. Приведены, кроме того, методы решения задач по векторному анализу (теории поля).Работа будет полезна при проведении практических занятий по математическому анализу и его изучения в ходе самостоятельной работе студентовИИТММ ННГУ.УДК 517.987 (077)ББК В162рОГЛАВЛЕНИЕстр.ВВЕДЕНИЕ ................................................................................................... 4ГЛАВА 1.КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ......................................... 51.1.Криволинейный интеграл 1-го рода..................................................

51.2.Основные свойства криволинейного интеграла 1-го рода ............. 51.3.Вычисление криволинейного интеграла 1-го рода ......................... 61.4.Криволинейный интеграл 2-го рода................................................ 101.5.Основные свойства криволинейного интеграла 2-го рода ........... 101.6.Применение криволинейных интегралов 1-го и 2-го рода........... 16ГЛАВА 2.ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ....................................... 192.1. Способы задания поверхности ...................................................... 192.2.

Сторона поверхности и её ориентация .......................................... 192.3. Поверхностный интеграл 1-го рода ............................................... 202.4. Сведение поверхностного интеграла 1-го рода к двойному.. ..... 212.5. Поверхностный интеграл 2-го рода ...............................................

222.6. Сведение поверхностного интеграла 2-го рода к двойному.. ..... 232.7.Формула Стокса ................................................................................ 262.8.Формула Остроградского-Гаусса .................................................... 282.9.Приложение поверхностных интегралов ....................................... 30ГЛАВА 3.ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ...........................................................

323.1.Основные понятия векторного анализа.......................................... 32ЛИТЕРАТУРА ............................................................................................ 373ВВЕДЕНИЕУчебно-методическое пособие составлено на основе опыта проведенияпрактических занятий и лекций по математическому анализу на ИИТММ и посвящено теме “Кратные интегралы”. Её цель помочь студентам лучше усвоитьтеоретический материал и привить навыки его использования к решению конкретных прикладных задач.Материал разбит на 3 главы, в которых представлены необходимая теория и примеры решения типовых задач.Глава 1 посвящена криволинейным интегралам 1-го и 2-го рода и формулам их вычисления.

Приведены также геометрические и механические приложения этих интегралов.Глава 2 содержит основные понятия для поверхностных интегралов1-го и 2-го рода и способы сведение к двойным интегралам. Имеются такжеих геометрические и механические приложения.В главе 3 представлены основные понятия векторного анализа и их связьс криволинейными и поверхностными интегралами.Отметим, что пособие может быть полезным и студентам других факультетов университета ННГУ, а также при проведении практических занятийи самостоятельной работе студентов..4ГЛАВА 1.

КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ1.1. Криволинейный интеграл 1-го родаПусть на некоторой плоской гладкой или кусочно-гладкой кривойL  AB , соединяющей точки А и В задана функция z  f ( x, y ) , а Tn ─ произвольноеразбиениеэтойкривойначаститочкамиAi Ai 1A0  A, A1 , A2 ,..., An  B . Обозначим через d (Tn )  max l i , где l i - длинаi 1, nдуги Ai Ai 1 . Как известно, гладкая или кусочно-гладкая кривая спрямляема идля нее всегда можно осуществить такое разбиение. На каждой из дуг Ai Ai 1выберем произвольную точкуM i  ( x i , y i ) и составим суммуn 1n( f )  f ( M i )li , называемую ещё интегральной.i 0Определение 1.

Если для любой последовательности разбиений Tn приd (Tn )  0 , числа  n имеют конечный предел J , не зависящий от выбора последовательности Tn и точек M k , то число J называют криволинейным интегралом первого рода от функции f (M ) по кривой L и обозначаютJ f ( x, y )dlили J  f ( x, y)dl .LABЗамечание 1. Определение 1 аналогично определению интеграла Римана. Нетрудно записать его через  ,  , то есть по Коши. Для AB ─ пространственной кривой определение криволинейного интеграла первого рода аналогично приведенному выше для гладкой или кусочно-гладкой кривой.

Тогдадля функции u  f ( x, y, z ) криволинейный интегралJ  f ( x, y, z )dlили J AB f ( x, y, z )dl ,Lгде u  f ( x, y, z ) задана на кривой L .Далее криволинейный интеграл первогорода записываем в виде: J  f ( M )dl =  f ( M )dlABдля пространственной илиLплоской кривой, где M  ( x, y , z ) или M  ( x, y ) соответственно.1.2. Основные свойства криволинейного интеграла 1-го родаСвойство 1. Криволинейный интеграл первого рода не зависит от выбора направления на кривой L , то есть5 f ( M )dl =  f ( M )dlABBAкак для плоской, так и для пространственной кривой.Свойство 2.

(линейность интеграла) Если f (M ) и g (M ) интегрируемына кривой L , то функции f ( M ) * g ( M ) и f ( M )   g ( M ) тоже интегрируемына L при любых числах  ,  и при этом (f ( M )  g ( M ))dl    f ( M )dl    g ( M )dl .LLLСвойство 3. (аддитивность интеграла) Если функция f (M ) интегрируема по двум не перекрывающимся кривым L1 и L2 , то f (M ) интегрируемана L  L1  L2 и f ( M )dl   f (M )dl   f (M )dlLL1L2Здесь две кривые L1 и L2 называются не перекрывающимися, если L1  L2содержит конечное число точек или пустое множество.Свойство 4.

 1dl  L , где L - длина кривой L .LСвойство 5. Если функция f (M ) интегрируема на L , то f (M ) тожеинтегрируем на L и f ( M )dl  Lf ( M ) dl .LСвойство 6. (монотонность интеграла)Если f (M ) и g (M ) интегрируемы на L и f ( M )  g ( M ) для всех точек M  L , то f ( M )dl   g ( M )dl .LL1.3. Вычисление криволинейного интеграла 1-го родаПокажем способ вычисления криволинейного интеграла 1-го рода как вплоском, так и в пространственном случае через определенный интеграл.Теорема 1. Если кривая AB задана параметрическим уравнениемx  x(t ) , y  y (t ) , z  z (t ) при t   ,   , где функции x(t ) , y (t ) , z (t ) непрерывные, а x ' (t ) , y ' ( y ) , z ' (t ) непрерывные или кусочно-непрерывны и( x ' (t )) 2  ( y ' (t )) 2  ( z ' (t )) 2  0 для t   ,   , то справедливо равенство f ( x, y, z )dl   f ( x(t ), y(t ), z (t ))AB( x ' (t )) 2  ( y ' (t )) 2  ( z ' (t )) 2 dtДля кривой L в полярной замене: x   ( ) cos  , y   ( ) sin  при   0 ,  1 , полагая  за параметр t , нетрудно получить равенство:61 f ( x, y )dl   f (  ( ) cos  ,  ( ) sin  ) 2 ( )  (  ' ( )) 2 d0LДля кривой L , заданной в декартовой системе координат как y  p (x)при x  a, b  и непрерывно дифференцируемой функции p (x) имеемbf ( x, y )dx   f ( x, p ( x)) 1  ( p ' ( x)) 2 dx .ABaЭта формула получается из общей параметрической замены при параметреt  x .

Дифференциалыdl  ( x ' (t )) 2  ( y ' (t )) 2  ( z ' (t )) 2 dtдля пространственной кривой, а такжеdl  ( x ' (t )) 2  ( y ' (t )) 2 dtдля плоской кривой. При полярной замене и декартовой системе координат dlзаписывается аналогично.Отметим, что если кривая L представляет собойзамкнутый контур, то, разбивая ее на конечное число неперекрывающихсякривых L1 , L2 ,..., Lk и L  L1  L2  L3  ...  Lk , интегралkf ( M )dl   f ( M )dl .m 1 LmLПример 1. Найти J   ( x  y )dl , где L - контур треугольника с вершиLнами О(0,0), А(1,0), В(0,1).Решение.

Для вычисления интеграла используем способ его подсчетачерез определенный интеграл. Поскольку интеграл первого рода не зависит отвыбора направления на кривой, то по аддитивности этого интеграла ( x  y)dl   ( x  y)dl   ( x  y )dl   ( x  y )dl .LOBOABA1На ОВ имеем x  0 , 0  y  1 , dl  dy и( x  y )dl   ydy OB01OA имеем y  0 , 0  x  1 и dl  dx . Тогда1. На отрезке21 ( x  y)dl   xdx  2 . ОтрезокOA0BA лежит на прямой x  y  1 .

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов книги