МУ - Методы решения задач по векторному анализу и поверхностным интегралам (1238791), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Здесь S1 и S 2 называются неперекрывающимися, еслиS1  S 2 содержит конечное число кусочно-гладких кривых (может быть ипустое). Это свойство 3 называется аддитивностью интеграла по области.Свойство 4.  1dS  S - площадь поверхности S .SСвойство 5. Если f ( x, y , z )  g ( x, y , z ) на S и функции интегрируемы,то f ( x, y, z )dS   g ( x, y, z )dSSS(монотонность интеграла).Свойство 6. Если f ( x, y , z ) интегрируема на S , то f ( x, y , z ) тоже интегрируема на S и f ( x, y, z )dS   f ( x, y, z ) dS .SS202.4. Сведение поверхностного интеграла 1-го рода к двойномуСлучай 1.

Параметрически заданная поверхность. Пусть поверхность Sкусочно-гладкая, задана как x  x (u , v ) , y  y (u , v) , z  z (u , v) , где (u , v )  D− квадрируемая область и f ( x, y , z ) - непрерывна на S . Тогда существует2 f ( x, y, z )dS   f ( x(u, v), y (u, v), z (u, v)) EG  F dudv .SDЗдесь в интеграле 1-го рода коэффициенты Гаусса E , G, F имеет вид:E  x u'2  y u'2  z u'2 ,G  x v'2  y v'2  z v'2 ,F  x u' x v'  y u' y v'  z u' z v'и поверхностный интеграл 1-го рода существует, если существует двойной интеграл.

Оба интеграла существуют, если f ( x, y , z ) непрерывна на S .Случай 2. Явное задание поверхности S . Если S - гладкая поверхность, заданная уравнением z  z ( x, y ) при ( x, y )  D - квадрируемой области, и f ( x, y , z ) − ограниченная функция на S , то интеграл 1-го рода'2'2 f ( x, y, z )dS   f ( x, y, z ( x, y )) 1  z x  z y dxdySDи существует, если существует двойной интеграл. Для гладкой S и непрерывной f ( x, y , z ) , оба интеграла существуют одновременно.В случае поверхности, заданной уравнением x  x( y , z )'2'2 f ( x, y, z )dS   f ( x( y, z ), y, z ) 1  x y  x z dydz ,SD1где ( y, z )  D1 - квадрируемая область, а также при y  y ( x, z )имеем'2'2 f ( x, y, z )dS   f ( x, y ( x, z ), z ) 1  y x  y z dxdzSD2для ( x, z )  D2 - квадрируемой области.

Отметим, что все эти формулы получаются как частные для параметрически заданной S .Пример 21. ВычислитьdS222для S - части цилиндрическойx y zповерхности : x  a cos u , y  a sin u , z  v , 0  u  2 , 0  v  h .SРешение. Применим формулу для вычисления интеграла для параметрически заданной поверхности. Имеем E  a 2 , G  1 , F  0 .

ПоэтомуS2 hdS22x y z200hadudv2a v2 2a 0h  a2  h2 2a ln.22aa vdv.Здесь область D - квадрируемый прямоугольник 0,2  0, h.21Пример 22. Вычислить J   z 2 dS по полной поверхности конуса:S22x  y  z  2.Решение. Пусть S1 - боковая поверхность конуса, а S 2 – его основание.По аддитивности поверхностного интеграла 1-го рода получаем222 z dS   z dS1   z dS 2 . К первому интегралу применим формулуSS1дляz x' S2явногозаданияx2x y z22, z 'y поверхности:y2x y2z  x2  y2 .Посколькуже, то интегралdS1   ( x 2  y 2 ) 1  z x'2  z 'y2 dxdy   ( x 2  y 2 ) 2dxdy S1D1D12 2 2    3 dd  8 2 .0 0Здесь D1  x 2  y 2  4 и в двойном интеграле осуществлен переход к полярным координатам.

На основании конуса z  2 . Поэтому z2dS 2 S2  4dS 2  4S 2 . Но S 2  4r 2 , так как основание конуса – круг радиусаS2равного 2. Окончательно J  8 2  16 .2.5. Поверхностный интеграл 2-го родаПусть S − квадрируемая, гладкая двусторонняя поверхность. Фиксируемодну из её сторон и P ( x, y, z ) , Q ( x, y, z ) , R ( x, y, z ) - функции, определенныена S . Тогда интеграл J   ( P cos   Q cos   R cos  )dS называется поSверхностным интегралом 2-го рода по выбранной стороне поверхности.

Здесьcos , cos  , cos - косинусы нормали к поверхности, направление которойсогласовано с выбранной стороной. Поверхностный интеграл 2-го рода записывают еще как J   Pdydz  Qdzdx  Rdxdy . При переходе к другой стороSне поверхности J меняет знак на противоположный. Отметим, что основныесвойства поверхностного интеграла 2-го рода такие же, как у поверхностногоинтеграла 1-го рода. Это линейность относительно подынтегральной функции22и аддитивность по области при S  S1  S 2 для неперекрывающихся поверхностей S1 и S 2 . Также, если подынтегральная функция непрерывна, то поверхностный интеграл 2-го рода существует.2.6. Сведение поверхностного интеграла 2-го рода к двойномуСлучай 1. Явное задание поверхности.

Пусть гладкая (или кусочногладкая) поверхность S задана уравнением z  z ( x, y ) и взята верхняя частьэтой поверхности, а R( x, y, z ) - ограниченная на S функция. Тогда справедливо равенство R( x, y, z)dxdy   R( x, y, z( x, y))dxdy , гдеSD - проекция по-Dверхности S на плоскость 0xy. Интеграл слева существует, если существуетдвойной интеграл. Если же берется нижняя сторона поверхности, то R( x, y, z )dxdy   R( x, y, z ( x, y ))dxdySDЗдесь нижняя и верхняя стороны поверхности S отличаются противоположным направлением нормали. Отсюда и противоположные знаки в двойном интеграле.

Аналогично получаем формулы R(x, y, z)dydz  P(x( y, z), y, z)dydzSD1 Q( x, y, z )dzdx    Q( x, y ( z, x), z )dzdxSD2Здесь D1 и D2 проекции S на плоскость 0yz и 0zx соответственно и оба интеграла – поверхностный и двойной существуют для непрерывных P, Q, R .Случай 2. Параметрическое задание поверхностей. Пусть гладкая (иликусочно-гладкая) поверхность S задана равенствами:x  x (u , v ) , y  y (u , v) , z  z (u , v) , (u , v )  D ,а P  P ( x, y , z ) , Q  Q ( x, y , z ) , R  R ( x, y , z ) ограниченные на S функции.Тогда для выбранной стороны поверхности S верно равенство: Pdydz  Qdzdx  Rdxdy   ( P cos   Q cos   R cos  )SEG  F 2 dudv ,Dгде E , G, F - коэффициенты Гаусса, а cos , cos  , cos , P, Q, R берутся в точке M  ( x(u , v), y (u , v), z (u , v)) .

Здесь косинусы нормали имеют вид:cos   A22A  B C2cos   Bcos   ,22A  B CC22A  B C232,2,где величиныAy u'z u'y v'z v', Bz u'x u'z v'x v',Cx u'y u'x v'y v'и A 2  B 2  C 2  EG  F 2 . Знаки  в косинусах нормали соответствуютвыбранной стороне поверхности S . При этом имеем значение Pdydz  Qdzdx  Rdxdy    ( PA  QB  RC )dudv ,SDгде подинтегральные функции в двойном интеграле берутся в точкеM  ( x(u , v), y (u , v), z (u , v)) и  соответствует стороне поверхности.Пример 23.

Вычислить22 zdxdy , гдеS - нижняя сторона части кониче-S2ской поверхности z  x  y , где 0  z  h .Решение. Поверхность S ориентирована нормалями, составляющимитупой угол с осью 0z. Тогда cos  будет отрицательный и в формуле для явного задания поверхности надо брать знак « - ». При этом сводим интеграл кдвойному по формуле2Sh2x  y dxdy    d   2 d   h 2 ,300x2  y 2 h2 zdxdy   22который вычисляется через полярную замену. Область D здесь есть кругx 2  y 2  h 2 и является проекцией поверхности S на плоскость 0xy.Пример 24. Вычислить J  Sdydz dxdz dxdy, где S – часть эллипxyzсоидаx(u , v)  a cos u cos v , y (u , v )  b cos u cos v , z (u , v)  c sin vпри    u ; , v ; 6 44 3и ориентированного внешней нормалью.Решение. Здесь подинтегральные функции положительные, а углы, образованные внешней нормалью с осями координат, острые.

Поэтому все косинусы положительные. Следовательно, перед интегралом надо ставить знак«+». Далее используем формулу для подсчета поверхностного интеграла второго родадля параметрически заданной поверхности. Здесь:x u'  a sin u cos v , y u'  b cos u cos v , z u'  0 ;x v'  a sin u sin v ,y v'  b sin u sin v , z v'  c cos v ,24111, Q  , R  . Тогда нетрудно показать, что функцияyxzab ac bcPA  QB  CR  (   ) cos v . Преобразуя поверхностный интеграл кcbaа функции P двойному, получаем:34J  k  du  cos vdv  kab ac bc.cbaПример 25. Вычислить462 1 ),12 2 2(где k  xdydz  ydzdx  zdxdy , гдеS - внешняя сто-S2222рона сферы x  y  z  a .Решение. Здесь P  x , Q  y , R  z . Поверхность S  S1  S 2 , где S1 верхняя полусфера, а S 2 - нижняя полусфера.

Поверхность S1 задана уравнением z  a 2  x 2  y 2 , а S 2 уравнением z   a 2  x 2  y 2 .Из аддитивности поверхностного интеграла 2-го родаJ   xdydz  ydzdx  zdxdy   xdydz  ydzdx  zdxdy .S1S2Подсчитаем эти интегралы отдельно. Для явного задания поверхностиz  z ( x, y ) косинусы нормали: z 'y z x'1cos  , cos  , cos  ,aпри   1  z x'2  z 'y2 для обеих полусферных поверхностей222a x yS1 и S 2 . Поскольку нормаль к поверхности S1 составляет с осью 0z острыйугол, то cos   0 (так как здесь берется верхняя сторона полусферы S1 ).Тогда в cos  , cos  берется перед  знак «+». имеем для S1 :yxz x' , z 'y .222222a x ya x yОтсюда для S1 косинусыa2  x2  y2xycos   , cos   , cos  .aaa25Рассмотрим интеграл J1   ( x cos   y cos   z cos  )ds .

Для поверхностиS1S1 при z  a 2  x 2  y 2 значениеx 2 y 2 (a 2  x 2  y 2 )adxdyJ1 ()2 2 a aa2a2  x2  y2x  y aДалее, при замене x  a cos  , y  a sin J1 x2  y a 22a 2 dxdya2  x2  y2a2получаем1 d 00d1 2 2a 2 .Поскольку для S 2 (нижней полусферы) нормаль составляет по нижней ее стороне тупой угол, то в косинусах нормали перед  надо брать знак «-», так какcos   0 . Для S 2 имеем z   a 2  x 2  y 2 , а производныеyxz x' , z 'y .222222a x ya x yОтсюда для S 2 , с учетом значения  , косинусы a2  x2  y2xycos   , cos   , cos  .aaaРассмотрим J 2   ( x cos   y cos   z cos  )ds .

Тогда для поверхности S 2S2при z   a 2  x 2  y 2 значениеx 2 y 2 (a 2  x 2  y 2 )adxdyJ2 ( ) 2a 2 .222aaaa x yx2  y 2 a 2который вычисляется так же как и J 1 при переходе в двойном интеграле к полярным координатам. Отсюда J  J 1  J 2  4a 2 .2.7. Формула СтоксаЭта формула связывает поверхностный и криволинейный интегралы:26RQPQRP ( y  z )dydz ( z  x )dxdz  ( x  y )dxdy   Pdx  Qdy  Rdz ,SCгде S - ограниченная кусочно-гладкая двухсторонняя поверхность с кусочногладкой границе C , а функции P, Q, R в некоторой окрестности поверхностиS непрерывны вместе со своими частными производными 1-го порядка.

Характеристики

Список файлов книги