МУ - Методы решения задач по векторному анализу и поверхностным интегралам (1238791), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

По определению поток равен An ds , гдеAn - проекция наSвнешнюю нормаль к полусфере. Очевидно, An  z , где z  a 2  x 2  y 2 .Имеем222 An ds   zds   a  x  y SSDadxdy22a x y2,где область D - проекция S на плоскость OXY . Здесь D есть круг:x 2  y 2  a 2 . Отсюда  An ds  a  dxdy  aD  a 3 , где D - площадьSD2круга, равная a .Пример 34. Найти поток вектораA  x 3i  y 3 j  z 3k через сферуx2  y 2  z 2  x .Решение. Здесь поверхность S замкнута и ограничивает тело V в видешара: x 2  y 2  z 2  x . Воспользуемся здесь связью потока и дивергенцией33(по формуле Остроградского-Гаусса).

Очевидно, divA  3( x 2  y 2  z 2 ) . Тогда поток An ds   divAdxdydz  3 ( xSV2 y 2  z 2 )dxdydz  J .VПереходя к сферическим координатам в тройном интеграле, получаемJ  3  sin d02dsin  cos 423 65  d  5  sin d  cos d 0022212 2 6  sin d  cos5 d 5 050Здесь для подсчета определенных интегралов от sin 6  и cos 5  использованпереход при замене переменных к Бета-функции.Пример 35.Для вектора A  ( y  z )i  ( z  x ) j  ( x  y )k найти работуполя вдоль меньшей дуги окружности большего круга сферы Sx 2  y 2  z 2  25 ,если дуга соединяет точки M (3,4,0) , N (0,0,5) .Решение. Эта дуга лежит в плоскости y 4x и есть четверть окружно3сти радиуса 5. Параметризуем её при параметре  равного углу, образованного радиус-вектором точки кривой, лежащей в плоскости y 4x с его проек5цией на плоскость OXY .

Тогда параметрическое уравнение данной дуги имеетвид:x  3 cos  , y  4 cos  , z  5 sin при 0   2. Здесь функцииP  ( y  x), Q  ( z  x), R  ( x  y ) . Тогда работа равна2 Pdx  Qdy  Rdz  5  (7 cos 2 L012sin 2 )d 5762 5( sin 2  cos 2 )  12250Здесь dx  3 sin d , dy  4 sin d , dz  5 cos d , а P, Q, R вычисленыдля параметрически заданных x( ), y ( ), z ( ) и применена формула вычисления криволинейного интеграла 2-го рода через определенный интеграл.34Пример 36.

Найти циркуляцию J  ydx  zdy  xdz , где CокружностьC2222x  y  z  a , x  y  z  0 , пробегаемая против хода часовой стрелки,если смотреть с положительной стороны оси OX .Решение. Применим здесь связь циркуляции с ротором векторного поля.ОчевидноздесьвекторТогдаимеемA  yi  zj  xk .J   ydx  zdy  xdz   (rotA) n dS , где в качестве поверхности S взят кругCSрадиуса a , лежащий в плоскости x  y  z  0 . Нетрудно подсчитать, что поток ротора вычисляется как (rotA) n dS    (cos   cos   cos  )dS ,SSгде cos  , cos  , cos  - направляющие косинусы нормали к поверхности S плоскости x  y  z  0 .

Угол между нормалью и OZ острый. Тогдаcos   cos   cos  13и интеграл ydx  zdy  xdz    (cos   cos   cos  )dS CS  3  dS   3S   3a 2 ,Sгде S - площадь круга радиуса a , лежащего на поверхности S .Пример 37. Показать, что поле A  xi  y 2 j  z 3 k потенциально и найти его потенциал.Решение. Покажем, что rotA  0 . Здесь P  x, Q  y 2 , R   z 3 . ТогдаrotA  i (R QP RQ P)  j(  )  k ( )  oi  oj  ok  0 .y zz xx yСледовательно, согласно утверждению, поле A потенциально и безвихревое.Найдём потенциал U ( x, y , z ) используя формулу:yxU ( x, y , z ) z P(t , y0 , z0 )dt   Q( x0 , t , z0 )dt   R( x0 , y0 , t )dt  C ,x0y0z0где ( x 0 , y 0 , z 0 ) фиксированная точка (по теореме 4 о независимости криволинейного интеграла 2-го рода от пути интегрирования).

Возьмем для удобствавычислений значения x 0  y 0  z 0  0 . Тогда потенциалxyzx2 y3 z 4U ( x, y, z )   tdt   t dt   t dt  C C2340002335Используя потенциал U ( x, y , z ) для любой пары точек M и N , найдем, согласно определению, работу поля A равную интегралу23 xdx  y dy  z dz  U ( N )  U ( M ) .MN36ЛИТЕРАТУРА1. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: в 3 т.

– М.: Физматгиз, 1962. – Т.3. – 657 с.2. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: в 2 т. – М.: Высшаяшкола, 1981. − Т.2. – 584 с.3. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа: в 2 ч. – М.:Наука, 1980. – Ч.2. – 464 с.4. Будак Б.М., Фомин С.В. Кратные интегралы и ряды: – М.: Наука, 1965. –608 с.37Методы решению задач по векторному анализуи поверхностным интеграламСоставители:Александр Львович КалашниковВалентина Николаевна ФокинаУчебно-методическое пособие.

Характеристики

Список файлов книги