МУ - Методы решения задач по векторному анализу и поверхностным интегралам (1238791), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Поэтому y  1  x и dl  2dx при x  0,1 .1Следовательно, ( x  y)dl BAПример 2. Найти J 2  dx  2 и J  1 2 .02x  y 2 dl по окружности L : x 2  y 2  ax .L7Решение. Введём полярную замену: x   cos  , y   sin  . Тогда   ( )  a cos  для    ;  . Отсюда 2 2222  ( )J   x  y dl L 2 ( )  (  ' ( )) 2 d .22После преобразований J 2a cos ad  a sin 2 2a 2 .22Пример 3. Вычислить J   ( x  y )dl , где L - дуга циклоиды от точек АLдо В: x  a (t  sin t ) , y  a (t  cos t ) , А=(0,0), В=(4 a ,0).

Решение. КриваяL состоит из двух гладких кусков-дуг циклоиды: L1  AC и L2  CB , гдеC  (2a ,0) . Поскольку для L1 параметр t  0,2  , а для L2 параметрt  2 ,4  и L1 , L2 неперекрывающиеся, то по аддитивности криволинейногоинтеграла первого рода ( x  y)dl   ( x  y)dl   ( x  y)dlLx  x(t ) ,y  y (t )L1дляпри одинаковомL2L1иL2 .Дифференциалдугиtdt . Далее после преобразований2ttttимеем равенство ( x  y )dl  2a 2 (t  2 sin cos  sin 2 ) sin dt .Отсюда22222ttttинтеграл  ( x  y )dl  2a  (t  2 sin cos  sin 2 ) sin dt , а также2222L10dl  x t'2  y t'2 dt  a 2  2 cos t  2a sin4tt ( x  y)dl  2a  (t  2 sin 2 cos 2  sin2L22tt) sin dt .Складывая и осуществ22ляя замену переменной в этих интегралах для перехода к отрезку 0,   , получаем2 ( x  y )dl   ( x  y )dl  8a   2 z sin zdz  2  sin z cos zdz 2L1L2004  (1  cos 2 z ) sin zdz   16a 2  8a 2 (2  )  16a 2 .308Пример 4.

Вычислить J   zdl , где L ─ коническая винтовая линияLx  t cos t , y  t sin t , z  t при t  0;2 .Решение. Очевидно, имеемx t' (t )  (cos t  t sin t ) , y t' (t )  (sin t  t cos t ) , z t'  1.Тогда dl  t 2  2dt и интеграл2(t J   zdl  0 t t  2dt 3L2Пример 5. Найти J 232) 232031 (6 2  2 2 ) .3z dl , где дуга L определена как пересечениеL2поверхностей: x  y  1 , z  xи проходит через А=(0,1,0) и В=(1,0,1).Решение. Введем параметр t : x  t , y  1  t , z  t 2 при t  0,1 .

Тогданетрудно свести криволинейный интеграл 1-го рода к определенному. Поскольку xt'  1, y t'  1 , z t'  2t , то1J  t1222  4t dt  2  t 1  2t 2 dt .00Но интеграл31112222 t 1  2t dt  4  1  2t d (1  2t )  4  3 (1  2t ) 20021031.2 2331. Используем и другую параметрическую замену. Возь2 3 211 'мем z  t . Тогда x  t , g  1  t . и xt' , y t' , z t  1. Отсюда2 t2 t11 1112  4t1 1J  t  1dt   tdt  1  2t dt .4t4t2t2000Тогда J Интеграл10332 111  2t dt d (1  2t ) 2  (1  2t ) 22*3 03Поэтому, окончательно, J 1131( 3 )32 3 22101 3 .3и совпадает с прежденайденным решением.

Но вторая замена более упрощает подинтегральноевыражение.91.4. Криволинейный интеграл 2-го родаПусть на гладкой плоской кривой L заданы функции P( x, y ) , Q( x, y ) , аTn есть произвольное разбиение этой кривой на части Ai Ai 1 точкамиA0  A, A1 , A2 ,..., An  B , где А – начало кривой L , а В - ее конец. Обозначим d (Tn )  max l i , где l i - длина дуги Ai Ai 1 . Выберем на каждой дугеi 1, nAi Ai 1 произвольную точку M i  ( x i , y i ) и составим две интегральные суммы:n 1 n ( P) n 1 P( xi , yi )xi , n (Q) i 0 Q( xi , yi )yi ,i 0где x i  x i 1  x i , yi  yi 1  yi .

Рассмотрим последовательность разбиений T1 , T2 ,..., Tn ,... кривой AB , таких, чтобы d (Tn )  0 .Определение 2. Если для произвольной последовательности разбиенийTn числа n (P) , n (Q) имеют при d (Tn )  0 конечные пределы, не зависящие от выбора Tn и точек M k , то их называют криволинейными интегралами второго рода от функций P( x, y ) , Q ( x, y ) и обозначают как P( x, y )dx ,  Q( x, y)dyABилиAB P( x, y )dx ,  Q( x, y )dy .LLОпределяют также и сумму P( x, y )dx  Q( x, y )dy   P( x, y )dx   Q( x, y )dy ,ABABABкоторую называют общим криволинейным интегралом второго рода.Для случая гладкой пространственной кривой по аналогии с предыдущим плоским случаем определяют криволинейный интеграл второго рода P( x, y, z )dx ,  Q( x, y, z )dy ,  R( x, y, z )dzABа также их суммуABAB P( x, y, z )dx  Q( x, y, z )dy  R( x, y, z )dz .AB1.5.

Основные свойства криволинейного интеграла 2-го родаСвойство 1. При изменении направления интегрирования криволинейный интеграл второго рода меняет свой знак на противоположный.Свойство 2. Если функцииP( x, y )  P1 ( x, y )  P2 ( x, y ) , Q( x, y )  Q1 ( x, y )  Q 2 ( x, y ) ,то имеем линейность криволинейного интеграла:10 P( x, y )dx    P1 ( x, y )dx    P2 ( x, y)dx ,ABABAB Q( x, y )dx    Q1 ( x, y )dx    Q2 ( x, y )dx .ABABABПутём параметрической замены криволинейный интеграл 2-го рода сводится к определенному интегралу.Теорема 2. Если гладкая плоская кривая L задана уравнением x  x (t ) ,y  y (t ) при t   ,   , то верна формула:'' P( x, y )dx  Q( x, y)dy   ( P( x(t ), y(t )) x (t ) Q( x(t ), y(t )) y (t ))dt .LВ частности для y  f (x ) при a  x  b имеемb P( x, y )dx  Q( x, y)dy   ( P( x, f ( x)) Q( x, f ( x)) fL'( x))dx .aТеорема 3.

Если L - пространственная гладкая кривая, заданная параметрически как x  x (t ) , y  y (t ) , z  z (t ) при t   ,   , то интеграл' P( x, y, z )dx  Q( x, y, z )dy  R( x, y, z )dz   ( P( x(t ), y (t ), z (t )) x (t ) L' Q( x(t ), y (t ), z (t )) y (t )  R( x(t ), y (t ), z (t )) z ' (t ))dtЗамечание 2.Отметим, что все эти интегралы в теоремах 1,2 существуютдля непрерывных функций P ( x, y , z ) , Q ( x, y, z ) , R ( x, y , z ) .Сформулируем теорему, называемую еще как условие независимостикриволинейного интеграла 2-го рода от пути интегрирования .Теорема 4.

Если 1) G - односвязная область(квадрируемая для E 2 икубируемая для E 3 ); 2) функции P ( x, y , z ) , Q ( x, y, z ) , R ( x, y , z ) непрерывныв G вместе со своими первыми производными, то следующие утвержденияэквивалентны:I)  P( x, y, z )dx  Q ( x, y, z )dy  R( x, y, z )dz - не зависит от пути интегABрирования по гладкой кривой L ;II)  P( x, y, z )dx  Q ( x, y, z )dy  R( x, y, z )dz  0 для любого замкнутогоCгладкого контура;III) Выражения P ( x, y , z )dx  Q ( x, y, z )dy  R ( x, y , z )dz  dU ( x, y , z ) полный дифференциал от некоторой функции U ( x, y , z ) и при этом11 P( x, y, z )dx  Q( x, y, z )dy  R( x, y, z )dz  U ( B)  U ( A) ;ABIV) В области G имеем равенства:P Q Q R R P;;.y x z y x xЗамечание 3.

Для плоского случая в односвязной области G теорема 4легко переформулируется, полагая L - плоской кривой и R( x, y.z )  0 .Приведем формулы вычисления U ( x, y , z ) в случае полного дифференциала (пункт III) теоремы 4), которые имеют вид:yxzU ( x, y, z )   P(t , y, z )dt   Q( x 0 , t , z )dt   R ( x 0 , y 0 , t )dt  C .x0y0z0Здесь M 0  ( x 0 , y 0 , z 0 ) , а M  ( x, y , z ) и C  const .

Для случая двух переyxменных U ( x, y )  P(t , y )dt   Q( x 0 , t )dt  C .x0y0Отметим, что функцию U ( x, y , z ) можно найти, беря любую кривую L ,соединяющую точки M 0 и M . При этом для подсчета U ( x, y , z ) используюттеорему 3 для параметрически заданной L . Возможны и другие виды формулдля U ( x, y , z ) с учётом разных путей интегрирования. НапримерyxzU ( x, y, z )   P(t , y 0 , z 0 )dt   Q( x, t , z 0 )dt   R( x, y, t )dt  C ,x0y0yxz0zU ( x, y, z )   P(t , y, z 0 )dt   Q ( x0 , t , z 0 )dt   R( x, y, t )dt  C .x0y0z0Переход к 2-мерному случаю здесь очевиден. При подсчете интеграла позамкнутому плоскому контуру направление движения положительно, если область, ограничиваемая контуром, остается слева.

При отрицательном направлении движения интеграл меняет знак на противоположный.Пример 6. Вычислить J   ( x 2  2 xy )dx  ( y 2  2 xy )dy , где L - параL2бола y  x при  1  x  1.Решение. Здесь криволинейный интеграл 2-го рода вычисляется на основе теоремы 2 после вычисления интеграла:1J   ( x 2  2 x 3  ( x 4  2 x 3 )2 x)dx  11214.15Пример 7. Вычислить J   (2a  y )dx  xdy , где L ─ арка циклоидаLx  a (t  sin t ) , y  a (1  cos t ) , где t  0,2  .Решение. Используем теорему 2 для параметрической кривой.

Здесьдифференциалы dx  a (1  cos t )dt , dy  a sin tdt и после подстановок в интегральное выражение и преобразования, получаем2J a2t sin tdt  a 2 (t cos t02 sin t20)  2a 20Пример 8. Вычислить J   ( x  y )dx  ( x  y )dy , где C - контур элCлипсаx2a2y2b2 1 , пробегаемый против часовой стрелки.Решение. Параметризуем уравнение эллипса: x  a cos t , y  b sin t приt  0,2  и применим теорему 2. Здесь имеем положительное движение покривой. Очевидно, дифференцралы dx  a sin tdt , dy  b cos tdt .

Характеристики

Список файлов книги