МУ - Методы решения задач по векторному анализу и поверхностным интегралам (1238791), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Направление обхода по контуру C таково, чтобы с учетом выбора стороны поверхности поверхность S оставалась слева. Формулу Стокса обычно применяют для вычисления криволинейного интеграла 2-го рода. При этом выбирают подходящую поверхность, где лежит контур C , чтобы вычисление поверхностного интеграла в этой формуле было сравнительно просто.Пример 26. Вычислить интеграл J   ydx  zdy  xdz по формуле СтоC2222кса, где C - окружность x  y  z  a , x  y  z  0 , пробегаемая противхода часовой стрелки, если смотреть с положительной стороны оси 0x. Ее радиус равен a .Решение. Для применения формулы Стокса удобнее из двух поверхностей (сферы и плоскости), где лежит контур C , взять плоскость, поскольку этодает упрощение подынтегрального выражения и подсчета косинусов нормали.Имеем по формуле Стокса при P  y , Q  z , R  x интегралJ    dydz  dzdx  dxdy    (cos   cos   cos  )ds .SSЗдесь cos  , cos  , cos  направляющие косинусы нормали к плоскостиx  y  z  0 , выбранной за поверхность S .

Так как нормаль к этой плоскостиобразует с положительным направлением оси 0z острый угол, то cos   0 .Поэтому в каждом из cos  , cos  , cos  (см. пример 25) перед радикалом  1  z x'2  z 'y2 надо брать знак «+». Очевидно, после несложных подсчетовcos   cos   cos  для z   x  y , получаем1.3Тогда J   3  dS   3S   3a 2 , так как площадь круга C , лежащегоSв плоскости S , равна a 2 .Пример 27. Вычислить J   ( y 2  z 2 )dx  ( x 2  z 2 )  ( x 2  y 2 ) ,C222где C - кривая x  y  z  4 x , x 2  y 2  2 x (с z  0 ), пробегаемая так,что ограниченная на внешней стороны сферы x 2  y 2  z 2  4 x её наименьшая область остается слева.27Решение. Применим формулу Стокса для функций P  y 2  x 2 ,Q  x 2  z 2 , P  x 2  y 2 .

ТогдаJ  2  ( y  z )dydz  ( z  x)dzdx  ( x  y )dxdy S 2 (( y  z ) cos   ( z  x) cos   ( x  y ) cos  )dS ,Sгде S ─ кусок сферы x 2  y 2  z 2  4 x , вырезанный из нее цилиндромx 2  y 2  2 x , а cos  , cos  , cos  - направляющие косинусы нормали к поверхности S . Вычислим эти косинусы с учетом того, что нормаль образует сположительным направлением оси 0z острый угол и z  4 x  x 2  y 2 .Используя формулу для косинусов (см. пример 25) и, беря перед радикаломзнак «+», получаем cos  yx21, cos  , cos   , гдеzz  1  z x'2  z 'y2 . Так как поверхность S , ограниченная контуром C , проецируется на плоскость 0xy в замкнутый круг x 2  y 2  2 x , то поверхностныйинтеграл по этому кругу D :( y  z )( x  2)  ( z  x) yy x  y )dxdy  4  (1  )dxdy  4 ,zzDDyпоскольку  dxdy  0 , что нетрудно подсчитать при полярной замене.D xJ  2  (2.8.

Формула Остроградского-ГауссаПусть S ─ кусочно-гладкая поверхность, ограничивающая замкнутуютрехмерную область V , а функции P ( x, y , z ) , Q ( x, y, z ) , R ( x, y , z ) - непрерывны в V вместе с частными производными 1-го порядка. При существовании тройного интеграла по V верна формула Остроградского - Гаусса: (VP Q R )dxdydz   ( P cos   Q cos   R cos  )dS x y zS  Pdydz  Qdzdx  Rdxdy ,Sгде cos  , cos  , cos  - направляющие косинусы внешней нормали к поверхности S . В частности, для вычисления объема JV тела V при соответствующем выборе функций P, Q, R получаем28JV 1( x cos   y cos   z cos  )ds   x cos ds   y cos ds 3 SSS  z cos ds .SПример 28.

Вычислить J   x 2 dydz  y 2 dzdx  z 2 dxdy , где S естьSвнешняя сторона границы куба K: 0  x  a, 0  y  a , 0  z  a .Решение. Используя формулу Остроградского - Гаусса, получаемaaaJ  2  ( x  y  z )dxdydz  2 dx  dy  ( x  y  z )dz Ka000aaa2 2 dx  (a ( x  y )  )dy  2 ( a 2 x  a 3 )dx  3a 4 .2000Пример 29. Вычислить J1  ( x2cos   y 2 cos   z 2 d cos  )dS1 , гдеS1S1 - часть конической поверхности x 2  y 2  z 2 , ( 0  z  h ), а cos  , cos  ,cos  - направляющие косинусы внешней нормали к S1 .

Решение. Посколькуповерхность S1 не замкнута, то сразу использовать формулу Остроградского Гаусса здесь нельзя. С этой целью замкнем ее, присоединив к ней S 2 - кругx 2  y 2  h 2 , лежащий в плоскости z  h . Очевидно имеем:J   ( x 2 cos   y 2 cos   z 2 cos  )ds  2 ( x  y  z )dxdydz ,SVгде поверхность S  S1  S 2 , а V ─ тело, ограниченное поверхностью S . Втройном интеграле перейдем к цилиндрическим координатам. Тогда2hhJ  2  d  d  (  (cos   sin  )  z )dz 020hh2  2) d  h 4 . 2  d  (  (h   )(cos   sin  ) 22200По аддитивности поверхностного интеграла 2-го рода J 1  J  J 2 , гдеJ 2   ( x 2 cos   y 2 cos   z 2 cos  )ds h 2  ds  h 2  dxdy  h 4 ,S2S2D2поскольку на S 2 косинусы cos   cos   0 , а cos   1 и z=h.

Область D 2 круг x 2  y 2  h 2 в плоскости 0xy. Отсюда J 1 292h 4  h 4  2h4 .2.9. Приложение поверхностных интегралов1. Вычисление площади поверхности S . Так как S   dS , то плоSщадь S вычисляется через поверхностный интеграл первого рода.Пример 30. Найти площадь части поверхности z x 2  y 2 , располо-женной в цилиндре: x 2  y 2  2 x .Решение. Поверхность S здесь вырезается цилиндром из коническойповерхности z x 2  y 2 .

Цилиндр пересекается с плоскостью 0xy по ок-ружности ( x  1) 2  y 2  1, а S проецируется на 0xy в круг ( x  1) 2  y 2  1.Для z x 2  y 2 имеем 1  z x'2  z 'y2  2 , аS   dS   1  z x'2  z 'y2 dxdy  2  dxdy   2 ,Sибо dxdy  DDD- площадь круга ( x  1) 2  y 2  1 с радиусом 1.D2. Вычисление массы поверхности. Если    ( x, y, z ) - поверхностная плотность на поверхности S , то масса M    ( x, y, z )ds .S2Пример 31.

Найти массу полусферы x  y 2  z 2  a 2 при z  0 ,еслиповерхностная плотность  ( x, y, z ) Решение. Поскольку M z.a1zdS , где S - заданная полусфера, то преa Sобразуем поверхностный интеграл 1-го рода в двойной. На S функцияadxdyz  a 2  x 2  y 2 и ds 22a x y2. Ее проекция на 0xy есть область222D ─ круг x  y  a . Тогда массаM 11zds   adxdy   dxdy  a 2 ,a SaDDто есть площади круга D  ( x, y ) : x 2  y 2  a 2 .3. Вычисление координат центра масс. Известо, что y ( x, y, z )ds x ( x, y, z )dsxC SM, yC SM30 z ( x, y, z )ds, zC SM,где M - масса поверхности.Пример 32.

Найти центр масс полусферы из примера 31.Решение. В примере 31 получили M  a 2 . Тогда при   xzdsxC SayC ,3 z yzdsSazC ,32dsSaza3.Найдем по отдельности интегралы в числителях. Используя здесь сведениеповерхностного интеграла 1-го рода к двойному интегралу и полярную замену, получаем при z  a 2  x 2  y 2 ,adxdyds 22a x y2D0значение2a xzds  a  xdxdy  a  d  S22cos d  0 , (ибо  cos d  0 ).00Аналогично2a yzds  a  ydxdy a  d  SD02sin d  0 ,02так как sin d  0 . ЗдесьD ─ круг x 2  y 2  a 2 . Таким образом, коорди-0наты xC  0 , y C  0 .

Найдем теперь координату z C . Интеграл2 z222D0a222 2a   a   d  2а (a 0Отсюда z C ads  a  a  x  y dxdy  a  d   a 2   2 d S22а.331032 2 )1 aa3.0  2а33ГЛАВА 3. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ3.1. Основные понятия векторного анализаПусть в некоторой области D  R3 (или D  R2 ) задано векторное полеA  Pi  Qj  Rk , где функции P  P ( x, y, z ) , Q  Q ( x, y, z ) , R  R ( x, y, z )определены в D . Далее, обозначим вектор A  ( P, Q, R ) .Определение 4.

Если P, Q, R гладкие функции, то1) скаляр divA P Q Rназывается дивергенцией поля A в D .x y z2)вектор (определяемый векторным произведением) есть ротор:ixPjyQkR QP RQ P i( )  j(  )  k ( )  rotA ,zy zz xx yR j k- вектор набла (оператор Гамильтона) .xyzОпределение 5. Для векторного поля A в D и гладкой (или кусочно3)   iгладкой) кривой L криволинейный интеграл 2-го рода Pdx  Qdy  Rdzна-Lзывается работой поля A вдоль кривой L . Если же L - замкнутая (контурC ), то этот интеграл называется циркуляцией поля A по контуру C и обозначается как  Pdx  Qdy  Rdz .CОпределение 6.

Для векторного поля A в D и ориентированной двусторонней поверхности S поверхностный интеграл 2-го рода ( P cos  Q cos   R cos  )ds   An dsSSназывается потоком поля A через S . Здесь An - проекция A на нормаль n .Определение 7. Векторное поле A в D называется потенциальным, если существует функция U  U ( x, y , z ) - потенциал поля A .такая, чтоUUUijkAxyzОпределение 8. Поле A в D называется соленоидальным, если в Dсуществует векторное поле W такое, что A  rotW . Поле W в этом случае называется векторным потенциалом поля A .gradU 32какВ терминах теории поля формула Остроградского-Гаусса записывается An ds   divAdxdydz , где  ─ поверхностный интеграл второгоSVSрода по замкнутой поверхности, ограничивающей тело V .Формула же Стоксаимеет вид:  Pdx  Qdy  Rdz   (rotA) n ds , где C - замкнутый гладкий (илиCSкусочно-гладкий) контур, ограничивающий двустороннюю поверхность S ,причем направление нормали n к поверхности выбрано так, что бы для наблюдателя, стоящего на поверхности S головой по направлению нормали обход контура C был бы против часовой стрелки (положительный).Имеются утверждения (основанные на прежних теоремах о криволинейных и поверхностных интегралах) связывающие основные понятия векторногоанализа (теории поля).

Приведём одно из них.Утверждение. Необходимым и достаточным условием потенциальностиполя A в поверхностно односвязной области D является равенство rotA  0в D . При этомполе называют безвихревым и работа поля равна  Pdx  qdy  Rdz  U ( B )  U ( A) ,где A - начало, а B - конец кривой AB .ABНа основе теоремы 4 о независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования получаем, что для потенциальности поля A необходимо и достаточно равенства нулю циркуляции по любому замкнутому контуру.Пример 33. Найти поток вектора A  zk через верхнюю полусферу S2x  y 2  z 2  a 2 при z  0 в направлении внешней нормали.Решение.

Характеристики

Список файлов книги