Учебник - Электричество - Калашников С.Г. (1238776), страница 46
Текст из файла (страница 46)
152. Две обивтви с магнитной свЯзью катушк" 2 то получится тт 2~212 т !222222 "12 Н2= ф21= 2г. Отсюда мы находим для взаимной индуктивности Ь21 прежнее выражение (98.4) в соответствии с формулой (98.2). В том случае, когда внутри катушек имеется сердечник из вещества с магнитной проницаемостью !2, магнитный поток увеличивается в р раз и коэффициент взаимной индукции будет в !2 раз больше. 9 99. Взаимная энергии двух токов Вычислим энергию магнитного поля, созданного двумя контурами с током. Рассмотрим самый простой случай двух тороидальных катушек (см. рис.
152), находящихся в вакууме, в которых магнитное поле однородно. Напряженность суммарного поля внутри катушек Н = Н1 ~ Нг = ( 22121 ~ Н222)/1' выбор знака + или — зависит от того, одинаковы или противоположны направления токов в обеих катушках. В единице объема этого поля заключена энергия (Ч 97) реН2/2, а полная энергия, находящаяся во всем объеме поля Г = Я, равна И = = —. !(!2121) + (~222) ~ 2(!2121)(!2222)) Воспользовавшись выражениями для индуктивностей б1 и Ьг обеих катушек (5 93) и их взаимной индуктивности Ь12 (5 98), полученный результат можно представить в виде 14' = 7~121/2 + с'222/2 ~ 2'122 ! 22.
(99.1) 1ша СОХРАНБНИБ ЭНБРГИИ В МАГНИТНОМ ПОЛН 215 Первый член этой формулы дает собственную энергию тока контура 1 Я 96), а второе слагаемое выражает собственную энергию тока контура Й Формула показывает, что энергия двух токов в контурах, обладающих магнитной связью, отличается от суммы собственных энергий токов на величину И'~2 = ~1 1211г2. (99,2) Она получила название взаимной энергии двух токов. Из сказанного видно, что причина возникновения взаимной энергии токов заключается в том, что в поле нескольких контуров с током складываются нэлряженности поля (принцип наложения или суперпозиции полей, см. ~ 76), в то время как энергия магнитного поля пропорциональна квадрату напряженности, а квадрат суммы не равен сумме квадратов.
Представим себе, что мы сначала создаем ток 21 в контуре 1, а ток в контуре й 12 = О. Для этого потребуется работа Ь1гг/2. Создавая затем ток в контуре 9, мы совершим работу, согласно (99.1) равную Ь212/2 ~ 112г1гг. Если бы мы сначала создали ток 22 (а ток 21 был бы равен нулю), то для этого была бы необходима работа Л2121'2.
Но тогда последующее создание тока 1г потребовало бы работы Ь|г21/2 ~ б121~г2. Мы видим, что работа образования тока в контуре в присутствии другого контура с током не равна работе образования того же тока в уединенном контуре, она отличается на величину взаимной энергии обоих токов И'12. Мы полу ти ги формулы (99 1) и (99 2) рассмагривая частный случай тороидальных катушек.
Легко убедиться, однако, что этот результат справедлив для контуров произвольной формы, находящихся в любой среде (см. Добавление 6). й 100. Закон сохранения энергии при наличии магнитного поля Магнитные явления, как и любые другие процессы в природе, подчиняются закону сохранения энергии. Рассмотрим этот вопрос на примере двух контуров. Пусть имеются два произвольных контура с токами гы 12, источниками тока с ЭДС сы, 12 и полными сопротивлениями г1 и Г2. Контуры могут быть как неподвижными, так и движущимися, а токи в них могут изменяться. В каждом из контуров, вопервых, производят определенную работу источники тока.
Их работа за бесконечно малое время Ш1 равна ~~г1<И+ 6'гг241. Если источниками тока являются гальванические элементы, то эта работа совершается за счст химических реакций в элементах. 216 гл. х ЭНЕРГИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ Далее, в контурах выделяется тепло Джоуля-Ленца: Г1 э'1 г(1+ Гге'г й. г г На каждый контур действуют силы магнитного взаимодействия. Поэтому при перемещении контуров (или при их деформации) будет совершена определенная механическая работа. Обозначим ее через бА.
Наконец, при движении контуров или при изменении силы токов в них будет изменяться магнитное поле, а следовательно, будет изменяться и его энергия. Согласно 0 99 изменение энергии магнитного поля равно ЛФ' = Н(Х1г1/2+ Хг(г/2 ~ Х12(1ег). Мы будем считать, что емкость контуров весьма мала, и поэтому энергию электрического поля учитывать не будем.
Согласно закону сохранении энергии имеем работа исглочников пгока = = тепло Дзкоуля-Ленца + механическая работа+ + увеличение энергии магниптиого поля. Или, иначе: 01т1 "1+ Ег(г сй = (ГА сЫ+ гг(г й) + бА+ с(И'. (100.1) Если контуров ие два, а больше, то закон сохранения энергии имеет вцц Жьвь й = ~ гьгь й+ бА+ а) ~~~ быгьц(2. (100.1а) ь ь ь ! В этой формуле последний член выражает изменение энергии магнитного поля, бьь обозначает коэффициент самоиидукции й-го контура, а Ьы— коэффициент взаимиой индукции коитуров й и 0 При й = 1 соответствующий член суммы дает собственную энергию й-го контура Ььь1ь/2, а при .2 й ф 1 каждая пара членов суммы Лыгач/2+ Ь|ьцгь/2 = бьпьц представляет взаимную эиергию Й-го и 1-го контуров. Поясним сказанное иа примерах.
П р и м е р 1. Один контур с постоянным током. Так как в данном случае магнитное поле постоянно, то изменение энергии поля равно пулю. Если контур пе деформируется, то и механическая работа дА = О. Поэтому (100.1) дает В этом случае работа источника тока целиком превращается в тепло (рис. 153 а) П р и м е р 2. Одпн контур, е котором рстеноелпеаетсл ток. Зависимость силы тока от времени в процессе его установления выражается, согласно З 95, формулой 1 = со (1 — ехр (- — 1)], 1а =— т .
Ф 5 г ~ 100 СОХРАНЕНИЕ ЕНЕРГИИ Н МАГНИТНОМ ПОЛЕ 217 Работа источника тока за время з(1 равна (3збй По сравнению со случаем установившегося тока оиа уменьшается на величину г ззгзю зй — 3'з ой = йе ехр (- — 1 зй. Ь ) Поэтому в течение всего процесса установления тока произойдет еразгрузкаь батареи, равная озо ~ ехр ( — — 1) зй = бее~. 0 Уменьшение количества выделенного тепла есть ~[ ( ) ( )] (гзе — гз ) зй = гзе ) [2ехр ( — — 1) — ехр ( — — 1з)з ей = — 1 за.
О 0 Поэтому получается еэкономияз энергии 3 .з .з 1 1 зо Ьзр Ьз' 2 2 Но это выражение как раз равно энергии возникающего магнитного поля (собственной энергии тока, э Об). Мы видим, что в данном процессе энергия магнитного поля возникает за счет экономии рабо- Робота Работа ты, затрачиваемой на тепло Джоуля-Ленца (рис. 133 б) источника источника Пример 3. Деа контура с звонами медленно сблитсаюпюл.
При неподвижных контурах Тепло зз = Ь'з/гз, з, = сбз1'гз, где Жз и Жз — ЭДС источников тока, а з з и гз — сопро- бз; тивления контуров. При движении контуров Рис, 153. Превращения энергии в контуре вающий контуры, изменяет- с постояшзым током (а) и при установлении ся, отчего появляется допол- тока (б) ннтельпая ЭДС индукции, и токи в контурах меняются. Сила тока в контуре 1 при движении будет 1 «(Фз зз + дзз, дзз = — —— гз де ' где Фз -- магнитный поток сквозь контур 1, создаваемый контуром й В дальнейшем мы будем считать, что контуры сближаются весьма медленно, так что бз « з, и будем удерживать только малые первого порядка. Уменьшение работы источника за время сй вследствие движения равно Яззз зй — (зз(зз + без) ей = — (ез бзз ей = — гзз', бй зй = 6 дФз. Уменьшение тепла Джоуля — Ленца есть з зззз ей — гз(зз + дзз) ей — 2гзй бзз сй = 2зз з(Фз.
218 ЭНЕРГИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ 1'Л Х Поэтому выигрыш энергии в контуре 1 равен 2вв бФв — вв НФв = и НФв. Аналогично, выигрыш энергии в контуре 2 есть вв вбФв. Поэтому экономия энергии на тепле Джоуля — Ленца в обоих контурах равна й 21Фв + взбФв Но, соглас~о 8 98, Фв = Ьвв(вв+бвв), Фг = Ьвз(вв+бв~), где бв — коэффициент взаимной ннлуктивности обоих контуров, Поэтому, удерживая только малые первого порядка, имеем П1 вв в)Фв = вввв+ бвв) — вй вг «ввв вв, ЙФв вв Иве, вй в, аФв + вв аФв - 2вв вв аьвв. Механическая работа при сближении контуров, согласно 8 84, равна 6А = (вв + бвв) бФв = (вв+ бвв) 4Фв = вввв баеве Наконец, изменение энергии поля есть 11 ., 1 в биг = — ~- Ьв(вв + бвв) + — Ьв(вв + бвг) + Ьвз(вв + бвв)(вг+ бвг)~ вй, вй 12 2 где токи за время вй нужно считать постоянными Если контуры не деформируются, то дЬв 1ае = бйв/о1 = О, и бб вйб' = (вв + бввКвв + бвв) — вй = вв вв бйвв вй Работа Рабонва источника источника Механическая работа Звверсия нонн Рнс.
154. Превращения энергии в двух медленно сближающихся контурах стоком В рассматриваемом случае поввовина энергии, сэкономленной па умень- шенин тепла, переходит в энергию магнитного поля, а вторая ее половина расходуется на механическую работу (рис. 154). 8 101. Механические силы в магнитном поле Мы знаем, что на всякий проводник с током в магнитном поле действуют силы. Эти пондеромоторные (т.е. действующие на 1 ГО1 мехАнические силы В МАгнитнОм пОле 219 тела) силы магнитного поля во многих случаях можно просто вычислить при помощи закона сохранения энергии.
Для этого нужно представить себе„что рассматриваемый проводник со- вер1пает бесконечно малое возможное перемещение и, вычислив происходящие при этом превращения энергии, найти из уравне- ния энергии (100.1) работу 6А пондеромоторных сил. Зная же работу и перемещение, можно определить и эти силы. Вычислим работу пондеромоторных сил, совершаемую при деформации какого-либо контура с током. Рассмотрим уединен- ный контур, содержащий источник тока с ЭДС й и обладающий индуктивностью о и сопротивлением г. Сила установившегося тока в контуре равна г = Ж/т.
Представим себе далее, что этот контур очень медленно произвольным образом деформируется, так что юменяется его индуктивность Ь. В процессе деформа- ции ток в контуре изменяется на величину 1 дФ Й= — — —, т (Й где Ф вЂ” магнитный поток, пронизывающий контур. Поэтому уменьшение работы источника тока за время гй будет Ьзй — б'(а+ Й) с11 = — 11 Й<й = г'дФ. Уменьшение тепла Джоуля — Ленца есть ггзгй — г(1+ Й) й = — 2тг'Й<й = 2ю'0Ф.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
