Учебник - Электричество - Калашников С.Г. (1238776), страница 34
Текст из файла (страница 34)
157 з 73 кВАзистАционАРные тОки Нв пластины перейдет дополнительный заряд ад = (гееŠ— гоЕ)а оо (а— ширина пластин), и работа источника тока будет Е~Й = ПИ1 = П(егоŠ— еоЕ)а НЬ = (екеŠ— ееЕ )$ЙЬ. Мы предположили, что сопротивление проводов весьма мало, и в соответствии с этим считали Ю = У. Подстэлляя эти выражения в уравнение (72.1), нэходим У = еееЕ (2 — ееЕ /2 (72.4) Мехэническое напряжение 7" равна разности объемных плотностей энергии электрического поля с обеих сторон границы раздела (ср.
З 101). Отметим, что полученный результат, рэзумеетси, це зависит от сопротивления проводов. Если бы мы положили это сопротивление не малым, то, объединяя в (72.1) двв члена: % ос и Ыз ой мы нашли бы, что Ф ~й = г1х Ж = (Ф вЂ” г1)1 41 = У1 Ж, т.е.
то же, что и раньше. 5 73. Квазистациоиарные токи До сих пор мы рассматривали только постоянные токи. Однако полученные законы во многих случаях можно применять и к изменяющимся токам, если только изменение силы тока происходит не слишком быстро. Действительно, представим себе,что в некотором контуре с постоянным током электродвижущие силы изменились на малую величину. Сила тока в контуре начнет изменяться, но через некоторое время достигнет нового установившегося значения. Изменяя ЭДС небольшими ступенями, мы создадим в контуре ступенчато изменяющийся ток, к отдельным установившимся значениям которого будут применимы все законы постоянного тока.
Представим себе теперь, что мы увеличиваем число ступеней тока, уменьшая одновременно величину каждой ступени. Тогда в пределе мы получим непрерывно изменяющийся ток. Если изменения тока настолько медленны, что за время установления электрического равновесия в цепи относительные изменения токов и ЭДС малы, то мгновенные значения токов и ЭДС будут подчиняться всем законам постоянных токов, как и при ступенчатом изменении тока.
Такие токи называют медленно меняюЩимися или хеазксгпационарными. Отметим, что скорость установления электрического равновесия весьма велика, и поэтому под понятие квэзистационарных токов подпадают в обычном смысле весьма быстрые процессы. Все технические переменные токи являются квазистационарными. Даже очень быстрые электрические колебания, употребляемые в радиотехнике, с частотами порядка миллиона колебаний в секунду, очень часто можно еще рассматривать как квазистационарные.
158 ГЛ Чп элвкт1*одвижу!цАя силА Из сказанного следует, что задачи на квазистационарные электрические процессы можно решать при помощи законов постоянных токов, если применять эти законы к мгновенным значениям электрических величин Однако при этом вместо алгебраических соотношений мы приходим к дифференциальным уравнениям, интегрирование которых и дает зависимость искомых величин от времени Чтобы неустановнвшийся электрический процесс был кввзистационарным, необходимо выполнение двух условий Первое из них относится к процессам внутри проводника А именно, можно показать (см Добавление 5), что если внутри проводящей среды возник избыточный объемный заряд с плотностью р, то этот заряд под действием вызванного им самим электростатического поля будет уменыпаться с течением времени по закону р = ро ех ( — 1/тм) (73 1) Здесь ро — объемная плотность заряда в момент времени ! = О, а (73 2) тм = еее/Л, где е — диэлектрическая проницаемость среды, Л вЂ” ее удельная электрическая проводимость Время тм называется временам диэлекшрической релаксации нли еременель релаксации Максеелла Она равно времени, в течение которого объемный заряд уменьшается в е = 2,71 раза Время релаксапнн Максвелла, следовательно, определяет порядок времени, в течение которого восстанавливается стационарность электрических процессов Чтобы тока можно было считать квазистациопарными, характерное время рассматриваемого неуствновившегося процесса Т должно удовлетворять условию тм «Т (73 3) Если таки изменяются со временем периодически (электрические колебания), то под Т следует понимать период колебаний и сформулированное условие примет вид ытм ((1, где ы = 2г/Т вЂ” круговая частота колебаний Однако прн рассмотрении электрических контуров (цепей) следует наложить еще одна условие на размеры контура Дело в том, что прн любом изменении электрического состояния в какой-либо части контура электрическое возмущение распространяется вдоль контура с конечной скоростью, равной (гл ХХП) у — с/ч'ер Здесь с — 3 10 м/с — скорость света в вакууме, а е и и — диэлектрическая и магнитная проницаемости среды, окружающей проводники Если ! — длина контура, то время прохождения возмущения вдоль контура равно т = !/э = (!/с).„/Ер (73 4) Поэтому второе условие кввзнстационарности токов есть т « Т (73 5) Для периодически изменяющихся токов оно имеет внд (73 ба) ыг ((1 г 74 КОНДЕНСАТОР В ЦЕПИ С СОПРОТНВЛЕНИЕМ 159 При выполнении этого условия мгновенные значения всех электрических величин в каждой части контура будут такими лсе, как и в случае постоянного така В частности, для простого неразветвленного контура мгнавеннал сила тока в любам сечении проводника одинакова Значение тм изменяется в широчайших пределах В плохо проводящих веществах (диэлектриках) оно мажет измеряться многими минутами В металлах вследствие их большой электропроводности тм равно по порядку величины 10 " с В зависимости ат свойств проводников одно из условий квазистационарности (73 3) и (73 5) обычно горазда сильнее другого, и поэтому лишь одно из них является определкющим 9 74.
Конденсатор в цепи с сопротивлением В качестве примера квазистационарных токов рассмотрим процессы зарядки и разрядки конденсатора. Пусть конденсатор с емкостью С включен в схему рис. 106 Тогда, ставя переключатель в положение 1, мы будем заряжать конденсатор от источника тока, а перебрасывая переключатель в положение 2,— разряжать конденсатор Рассмотрим сначала процесс зарядки конденсатора Обозначим через е' ЭДС источника, через г — сопротивление цепи (включая и внутреннее сопротивление источника) и выберем положительное и направление тока, как показано на рисунке Применяя к контуру АРСЕ' второе правило Кирхгофа, получим гг+У= р'; 1 здесь г — мгновенное значение силы тока, У вЂ” мгновенное значение напряжения на конденсаторе Но У = д/С, г = сй)/й„ где д — заряд конденсатора.
Из папи- рис 10б Зарлжение и санных трех равенств мы можем исклю- разряжение когщенсатора чить две из трех переменных величин д, г и У и получить уравнение для какой-либо одной из ннх Исключая д и г, находим аУ У 6 — + — — — = О. ж С с Мы получили для определения У дифференциальное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами Введем новую переменную и = У вЂ” е. Тогда Ии 1 — + — и = О. гг гС 160 ЭЛВКТРОДВИЖУЩАЯ СИЛА ГЛ.
УП В этом уравнении переменные разделяются, и в результате ин- тегрирования находим и = А ехр (- — ) . Постоянная интегрирования А зависит от начального условия. Положим, что мы начинаем отсчет времени с момента замыкания переключателя. Тогда начальное условие имеет вид 1=0: У=О, и= — б.
Это дает откуда — ехр(- с) Если начало отсчета времени совпадает с началом процесса разрядки, то начальное условие будет 1=0: О'=е. В этом случае постоянная интегрирования равна В = с, и зависимость напряжения конденсатора от времени имеет вид П= Йехр(- — ). (74. 2) Возвращаясь к прежней переменной с1, находим окончательно для напряжения на конденсаторе выражение = й(1 — ехр(- с)1 (74.1) При 1 = 0 это выражение дает У = 0 в соответствии с начальным условием задачи. С увеличением времени 1 напряжение У непрерывно увеличивается и асимптотически приближается к ЗДС источника. Зависимость зарядного тока от времени имеет вид Сила тока имеет наибольшее значение в начальный момент времени и асимптотически стремится к нулю в процессе зарядки.
В случае разрядки конденсатора исходные уравнения будут гь = У, У = д/С, г = -Ид~Ж. В отличие от предыдущего, в выражение для тока г входит знак минус, так как выбранное нами положительное направление тока соответствует уменьшению заряда конденсатора. Исключая из написанных равенств д и г, получим — + — =О, НУ ~У Ж гС кОндеисАТОР В цепи с сОпРОтивлением 161 Полученные результаты показывают, что процессы заряжения и разряжения (установление электрического равновесия) происходят не мгновенно, а с конечной быстротой.
Для рассмотренного контура, содержащего сопротивление и емкость, быстрота установления зависит от произведения Т=гС, (74.3) которое имеет размерность времени и называется иосгпоянной времени данного контура. Постоянная времени показывает, через какое время после выключения ЭДС напряжение (а значит, и напряженность поля внутри конденсатора) уменьшается в е = = 2,71 раза. Если г и С выражать в единицах системы СИ (в омах и фарадах), то Т будет выражено в секундах. Мы получим Т в секундах и в том случае, если будем выражать г и С в единицах системы СГС, так как в обеих этих системах единицей времени служит секунда.
При решении задачи мы сразу предположили, что процессы являются квазистационарными. Правильность этого можно выяснить а розеепог1, проверяя, удовлетворяет ли полученное решение условиям квазистационарности (73.3) и (7З.Ь). Характерным временем рассматриваемых процессов является постоянная времени Т = гС. Так, например, если емкость конденсатора С = 1 мкФ, а сопротивление контура г = 1 Ом, то Т = 10 е .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
