Учебник - Электричество - Калашников С.Г. (1238776), страница 119
Текст из файла (страница 119)
Это выражение представляет распределение э в момент времени ~ = О. Если в обозначает смещение точек резинового шнура, то написанная формула дает начальную деформацию шнура (его изгиб). Если э есть напряженность электрического поля в электромагнитной волне, то последняя формула выражает распределение поля в пространстве в начальный момент времени. Следовательно, вид функции 1' зависит от начальных условий процесса. В частности, если 1 обозначает эш или соэ, то (238.1) переходит в уже знакомое нам уравнение гармонической волны (231.1).
Таким образом, формулы (238.1) и (238.2) представляют собой общее выражение волны, распространяющейся в направлении оси Х. Функция в удовлетворяет простому дифференциальному уравнению. Чтобы найти его, продифференцируем формулы (238.1) и (238.2) (которые мы объединим, вводя двойной знак ~) два раза по координате; д~х 1 В дл' Р~ 560 СВОБОДНЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ ГЛ ХХ!И гдв штрихами обозначено дифференцирование по всему аргументу (~ ~ х/в). Вторая же частная производная по времени равна Сравнивая эти выражения, мы видим, что искомое дифференциальное уравнение есть (238.3) Оно называется волновым уравнением. Мы предполагали, что волна, распространяется в одном определенном направлении, которое считали совпадающим с направлением оси Х (или ему противоположным).
Если волна распространяется во всех направлениях, то волновое уравнение имеет вид (238.4) Таким образом, если какая-либо физическая величина распространяется волнообразно, то она удовлетворяет волновому уравнению. И обратно, если удается показать, что рассматриваемая величина подчиняется волновому уравнению,то можно утверждать, что возможно ее распространение в виде волны. При этом непосредственно получается и скорость распространения волны, которая равна квадратному корню из коэффициента при дгв/дхг. 8 239. Плоские электромагнитные волны Обратимся теперь к уравнениям Максвелла (5 138). Будем считать, что среда представляет собой однородный диэлектрик.
Тогда в уравнениях (138.1) нужно положить г' = гв ††.4, = О. Далее мы ограничимся особенно простым случаем электромагнитного поля, когда Е и Н зависят от одной координаты (х) и от времени (одномерная задача). Это значит, что все пространство можно разбить на бесконечно тонкие плоские слои, внутри которых Е и Н имеют одно и то же значение во всех точках (рис.
416). У всяких волн (и механических, и электромагнитных) поверхность, во всех гочках которой колебания имеют одинаковую фазу, называют фронпгом волны. В зависимости от того, какую форму имеет волновой фронт, мы говорим о плоских волнах (волновой фронт плоский), с4ерических, цилиндрических и т.д. Рассматриваемая одномерная задача соответствует; очевидно, плоским электромагнитным волнам. 1 взэ ПЛОСКИБ ЭЛНКТРОМАГНИТНЫБ ВОЛНЫ 561 Остающиеся уравнения группы (138.1) теперь принимают вид дВ„дН, дВ, дНу Ю дх ' д1 дх ' а уравнения группы (138.2) — - вид дВ дЕ, дВ, дЕ Рис. 416.
Плоская электромагнитная волна д1 дх' д1 дх' Эти четыре уравнения можно сгруппировать в две независимые группы, одна из которых связывает у-составляющие электри- ческого поля и х-составляющие магнитного поля дВ„дН, дВ. дЕ„ дс дх: дс дх ' а другая -- я-составляющие электрического поля и д- составляющие магнитного поля дВ, дН„дВ„дЕ, д1 дх ' д1 дх Отсюда следует, что меня1ощееся во времени электрическое поле Е„вызывает появление только магнитного поля Н„направлен- ного вдоль оси Я, а переменное во времени магнитное поле Н, влечет появление электрического поля Е„, целиком направлен- ного вдоль оси У.
Или, иначе, в электромагнитном поле электри- ческое и магнитное поля перпендикулярны друг к другу. Такой же вывод вытекает и из второй пары уравнений. Найденный результат позволяет положить без нарушения общности, что все электрическое поле направлено вдоль одной из осей, например вдоль оси У, а магнитное поле — вдоль оси Я 1рис. 416). Поэтому в последних уравнениях можно положить Ер = Е, Е, = О, Н, = Н, Н„= О, и мы находим окончатель- но уравнения Максвелла для одномерного случая в следующем простом виде: дВ дН дс дх' дВ дЕ д1 дх' (239.1) Для одномерного случая уравнения Максвелла сильно упрощаются. Так как все производные по у и г равны нулю, то прежде всего из первого уравнения группы (138.1) следует, что дРх/д1 = О, а из первого уравнения группы (138.2) — что дВ /д1 = О.
Это значит, что составляющие полей Х1 и В не зависят от времени. Далее из 1138.3) и (138.4) получается, что дРх/дх = О и дВ,/дх = О, а значит, Р и В не зависят также и от координаты. Поэтому Р = сопв1, В = сопвФ. 562 сВОБОдные электРОМАГннтные ВОлны гл ххш 9 240. Свойства электромагнитных волн Покажем теперь, исходя из уравнений Максвелла, необходимость существования электромагнитных волн и выясним некоторые важные их свойства.
Исключим из уравнений Максвелла (239.1) магнитное поле Н. Для этого умножим первое из уравнений на 1ге1г и продифференцируем обе его части по 1: дгЕ дгН евером = — дор —. д1г дх д1 ' Второе уравнение продифференцируем по х: дгЕ дгН вЂ” 1ге1г —. д*' д*д1 Так как правые части этих уравнений одинаковы, то, следовательно, равны и левые части, т.е. (240.1) Такое же ура,внение мы получили бы и для Н, если бы из (239.1) исключили электрическое поле Е. Уравнение (240.1) есть волновое уравнение, рассмотренное в 3 238.
Отсюда следует, что поля Е и Н могут распространяться в пространстве, т.е. могут существовать электромагнитные волны. Поэтому можно положить Е = аг(1~х/о), Н = гд(1~х/о), (240.2) где е — скорость распространения электромагнитной волны. Далее, согласно сказанному В 3 238, коэффициент при дгЕ/дх~ в (240.1) есть квадрат скорости распространения волн: е= (240.3) г/егггг „Йа где с есть скорость распространения при е = 1г = 1, т.е. в вакууме. Мы получили, таким образом, выражение для скорости распространения электромагнитных волн (закон Максвелла), о котором мы уже говорили в з 234 и которое, как мы видели, соответствует опыту.
Как уже упоминалось (3 237), электрическое и магнитное поля в электромагнитной волне взаимно связаны друг с другом. Поэтому между мгновенными значениями Е и Н в любой точке существует определенное соотношение, которое также можно найти из уравнений Максвелла. Для этого мы воспользуемся общими выражениями (240.2) для Е и Н (выбирая в них какой- либо определенный знак, скажем минус) и подставим их в одно из уравнений Максвелла (239.1), например в первое. Так как дЕ г дН 1 — = ф, — = — -Ф д1 ' да гг ббЗ 1 гх~ экспегиментАлънов исследОВАние (где по-прежнему штрих обозначает дифференцирование по все- му аргументу), то указанная подстановка дает ! 1 ! сос<Р = — Ф. Переходя от производных к самим функциям, получим 1 сосьг = — ф+ С, где С обозначает постоянную интегрирования. Так как нас инте- ресуют электромагнитные волны, т.с.
только переменные поля, то С, которое выражает произвольное постоянное поле, можно не учитывать. Заменяя еще п его выражением (240.3), находим окончательно а~ с Е = уд~д Н. (240.4) Эта формула показывает, что в распространяющейся электромагнитной волне Е и Н пропорциональны друг дРУгУ. Из (240.4) следует, что Е и Н одновременно достигают максимума и одновременно обращаются в нуль, т.е. находятся в фазе. Тот же результат мы получили уже в 3 231 при помощи качественных рассуждений. 8 241. Экспериментальное исследование электромагнитных волн Для образования электромагнитных волн необходимо создать в пространстве достаточно быстро изменяющееся электрическое поле (ток смещения) или соответствешю быслро изменяющееся магнитное поле.
Очевидно, что для этой цели непригодны электрические колебательные контуры с сосредоточенными емкостью и индуктивностью (закрытые контуры), рассмотренные в гл. ХХ. В таких контурах все электрическое поле сосредоточено в узком зазоре конденсатора, а все магнитное поле — внутри индуктивностн, а в окружающем пространстве электрическое поле практически равно нулю. Иное мы имеем для открытого вибратора, или элскгрического днполя (3 235). В этом случае линии электрического и магнитного полей выходят далеко за пределы вибратора (см. Рис. 412), и поэтому последний хорошо излучает электромагнитные волны.
Свободные электромагнитные волны были впервые получены на опыте Генрихом Герцем в 1888 г. Для изучения электромагнитных волн Герц использовал собственные электрические колебания открытого вибратора, который состоял из двух одинаковых металлических стержней ВВ (рнс. 417), разделенных искровым промежутком. Обе половины вибратора заряжались от источника высокого напряжения. Когда разность потенциалов достигала пробойного значения, в разряднике проскакивала ОВОБОДНЫЕ ЭЛЕКТРОМА1'НИТНЫЕ ВОЛНЫ ГЛ ХХП1 искра, замыкавшая обе половины вибратора, и в нем возникали затухающие электрические колебания высокой частоты.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
