Учебник - Основные законы электромагнетизма - Иродов И.Е. (1238773), страница 32
Текст из файла (страница 32)
В результате находим Р = (р — 1) !/2яг. ° 7.3. Циркуляция вектора Н. Прямой длиннь>й тонкий проводник с током ! лежит в плоскости, отделяющей пространство, которое заполнено непроводящим магнетиком с проницаемостью р, от вакууми. Найти магнитную индукцию В во всем пространстве как функцию расстояния г до проводника. Иметь в виду, что линии вектора В являются окружностями с центром на оси проводника. Р е ш е н и е. Ясно, что линии вектора Н являются тоже окружностями, причем на границе раздела вакуум — магнетик вектор Н будет испытывать скачок (в отличие от вектора В). Обозначим Н и Нь магнитное поле соответственно в магнетике и вакууме. Тогда по теореме о циркуляции вектора Н по контуру, имеющему вид окружности радиусом г с центром на оси проводника, имеем пгН+ пгНь = !. Кроме того, на границе раздела В = Вь или (2) РН= Н, 182 Решив совместно уравнения (1) и (2), получим ! ив 1 В= В = Ивьп= ( 1 + ) Иь ( 1 + Конфигурация полей В и Н в данном случае показана на рис.
7.19 Полезно убедиться в том, что при р = 1 мы приходим к известным нам формулам для В и П в вакууме. йглг Н ттгле В Рис, 7.!В ° 7.4. Циркуляция векторов Н и 1. Постоянный ток 1 течет вдоль длинного однородного цилиндрического проводи круглого сечения радиусом )7. Материалом провода является парамагне- тик с восприимчивостью Х. Войти: ! ) зависимость поля В от рас- стояния г до оси провода; 2) плотность тока намагничивания 1' внутри провода. Р е ш е н и е.
1. Из циркуляции вектора Н по окружности ра- диусом г с центром на оси провода следует, что г ( Й, 2пгН = 1 (г/К) (Н счь г), г) )7, 2пгИ = 1 (В счь 1/г), На рис. 7.20 показаны графики зависимостей П (г) и В (г). 2. Воспользуемся теоремой о циркуляции намагниченности 3 по окружности радиусом г (см. рис, 7.20): 2пг1 = !', где 1' — ток намагничивания, охватываемый этим контуром. Найдем диф- ференциал этого выражения (при переходе от г к г+ йг): 2п б (г1) = б!'. Так как б!' = !'2лг бг, то предыдущее уравнение можно преобразовать к виду 1 в1 ! = + ог' Теперь учтем, что! = ХВ = (Х1/2п)т~) г.
Тогда получим ! = Х1/п)с . Нетрудно сообразить, что этот ток течет в ту же сторону, что и ток проводимости (в отличие от поверхностного тока намагничивания, текущего в противоположную сторону). ° 7.5. Длинный соленоид заполнен неоднородным изотропным парамагнетиком, восприимчивость которого зависит только от расстояния г до оси соленопди как у =- агт, где а — постоянная. На оси соленоида магнитная индукция равна Вь.
Найти зависимость от расстояния ю 1) нампгниченности, 1 (г); 2) плотности тока намагничивания, 1' (г). Р е ш е н и е. 1. Намагниченность 1 = 7Н, В нашем случае Н не зависит от г (это непосредственно следует из циркуляции и д з я г Рнс. 7.20 Рис. 7.21 вектора Н по контуру, показанному на рис.
7.21 слева) . Поэтому Н = Нь — на оси соленоида, и мы получаем 1 = аг Нь = аг Вь/Ра. г 2. Из теоремы о циркуляции намагниченности Л по бесконечно узкому контуру, показанному на рис. 7.21 справа, следует Н вЂ” (1+ й1) 1 =1„1 дг, где 1 — высота контура; йг — его ширина. Отсюда й1 2аВ 1.= — — = — — . на Знак минус показывает, что вектор 1' направлен против вектора нормали п, образующего с направлением обхода контура право- винтовую систему. Другими словамн, вектор)' направлен в месте расположения правого (на рисунке) контура на нас, т. е. объемные токи намагничивания образуют с вектором Вь левовинтовую систему. е 7.6. Постоянный магнит имеет вид кольца с узким зазором между полюсими.
Средний диаметр кольца равен д. Ширина зазора Ь, магнитная индукция поля в зазоре В. Пренебрегая рассеянием поля на краях зазора, найти модули векторов Н и Л внутри вещества. 184 Р е ш е н н е. Воспользовавшись теоремой о циркуляции вектора Н по пунктирной окружности диаметром И (рис.
7.22) и учитывая, что токов проводимости нет, запишем (пд — Ь) Н, + ЬВ! р, = б, где Н, — проекция вектора Н на направление обхода контура (оно взято совпадающим с направлением вектора В в зазоре). Отсюда ЬВ ЬВ Н, =— (1) Н, (лй — Ь) П,кй Знак минус показывает, что направление вектора Н внутри вещества магнита противоположно вектору В в той же точке. Заметим, что при Ь-чО и Н- О. Модуль намагниченности 2 найдем по формуле (7,11), используя результат (!): В/п, В 1 — Ь/пй и, ' Соотношение между векторами В/рь, Н н 3 в любой точке вещества магнита показано на рис.
7,23. ° 7.7. На железном сердечнике в виде тора со средним диаметром д имеется обмотка с общим числом витков Н. В сердечнике сделана узкая поперечная прорезь шириной Ь (см. рис. 7.22). При токе ! через обмотку магнитная индукция в прорези равна В, Пренебрегая рассеянием поля на краях прорези, найти магнитную проницаемость железа в этих условиях. ггг, к Рнс. 7.23 Рис. 7.22 Р е ш е н и е. Согласно теореме о циркуляции вектора Н по окружности диаметром д (см.
рнс. 7.22) имеем (пс( — Ь) Н + ЬНь — — Н!, где Н и Нь — модули вектора Н соответственно в железе и прорези. Кроме того, отсутствие рассеяния поля на краях прорези означает, что в в. 185 Из этих двух уравнений с учетом того, что В ррьН и Ь « й, получим пйВ и,И вЂ” ЬВ ° 7.8. Сила, действующая на магнетик. В установке (рис. 7.24) с помощью весов измеряют силу, с которой небольшой пари- магнитный шарик объемом У притягивиется к полюсу магнита М.
Магнитная индукция на оси полюсного наконечники зависит от высоты х как В = Вье '", где Вь и а — постоянные. Найти: 1) на какой вьюоте х надо поместить шарик, чтобы сила притяжения была максимальной; 2) магнитную восприимчивость парамагнетика, если максимальная сила притяжения равна р Р е ш е н и е. !. Пусть для определенности вектор В на оси направлен вверх, туда же направим и ось Х. Тогда согласно (6.34) Р, = рьдВ/дх, где учтено, что магнитный момент р направлен туда же, куда и вектор В (для парамагнетика), поэтому дй заменено на дх. Далее, так как р = /У = тНУ и дВ/дх = — 2аВ хе, то — зьт Г Р„= — Ахе гдеА = 2аВьуУ/ррь. Вычислив производную дг"„/дх и приравняв ее к нулю, получим следующее уравнение для определения х „: ! — 4ах = О, откуда х = 1/з)4а.
(2) 2. После подстановки (2) в (1) найдем где учтено, что для парамагнетика р — 1. ° 7.9. Длинный тонкий цилиндрический стержень из пара- магнетика с магнитной восприимчивостью х и площадью поперечного сечения В расположен вдоль оси катушки с током. Один конец стержня находится в центре катушки, где магнитное поле равно В, а другой конец — в области, где магнитное поле практически отсутствует. С какой силой катушка действует на стержень? Ре ш е н и е.
Выделим мысленно элемент стержня длиной дх (рис. 7.25), На него действует сила дВ, йу, = йр дп ' Пусть вектор В на оси катушки направлен вправо (на рисунке), в сторону положительных х. Тогда В, = = В, дп = дх, н так как бр„= = 75 бх = хН5 бх, то дВ х5 йр. = ХН5 дх — = — В 8В. дх ии, Рнс. 7,24 Рнс.
7.28 Проинтегрировав зто выражение, получим а Р,= — ~ ВдВ= — —. х5 г х5Вт Знак минус показывает, что вектор Г направлен влево, т. е. стержень притягивается к катушке с током, ° 7АО. Небольшой шарик объемом У иэ парамагнетика с магнитной восприимчивостью х переместили вдоль оси катушки с током иэ точки, где магнитная индукция равна В, в область, где поле практически отсутствует. Какую при этом совершили рибату против магнитных сил? Р е ш е н и е. Направим ось Х вдоль оси катушки. Тогда элементарная работа против магнитных снл при перемещении шарика на бх будет иметь вид дВ„ бА = — Е„ах = — р —" йх, (!) дп где Р, — проекция на ось Х магнитной силы (6.34), а знак минус означает, что работа производится против атой силы.
Пусть вектор В на оси направлен в сторону положительных х, тогда В„= В и дп = дх (в противном случае В„= — В, дп = — дх, т. е. производная дВ„?дп не зависит от того, куда направлен вектор В) . Учитывая, что р„= 7У = ХНУ, перепишем уравнение (1) в виде дВ ху бл = — хНУ вЂ” дх = — — В дВ. дх ива Проинтегрировав зто выражение от В до О, получим а А= — — ~ ~Вдд= хр г Иио 2ииа 187 Глава 8 ОТНОСИТЕЛЬНОСТЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО И МАГНИТНОГО ПОЛЕЙ й 8.1. ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ. ИНВАРИАНТНОСТЬ ЗАРЯДА До сих пор мы рассматривали электрическое и магнитное полн раздельно, не обнаруживая никакой видимой связи между ними. Это возможно было сделать лишь потому, что оба поля являлись статическими, в других же случаях так поступать нельзя. Мы увидим, что электрическое и магнитное поля всегда должны рассматриваться вместе как одно полное электромагнитное поле.
Другими словами, оказывается, что электрическое и магнитное поля являются в некотором смысле различными компонентами единого физического объекта, который мы называем электромагнитным пол с м. Деление же электромагнитного поля на электрическое и магнитное имеет относительный характер: такое деление в решающей степени зависит от системы отсчета, в которой рассматриваются явления. При этом поле, постоянное в одной системе отсчета, в общем случае оказывается переменным в другой системе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
