Учебник - Основные законы электромагнетизма - Иродов И.Е. (1238773), страница 35
Текст из файла (страница 35)
(Этот вывод был уже в $8.3.) 197 И последнее. Нужно помнить, что поля Е и В, вообпте говоря, зависят и от координат, и от времени, Поэтому каждый из инвариантов (8.9) относится к одной и той же пространственно-временной точке поля, координаты и время которой в разных системах отсчета связаны преобразованиями Лоренца.
Задачи ° 8.1. Частный случай преобразования полей. Нерелятивиггский гочечньш' заряд д движсгсн с постоянной скоростью ч. Найти с помощью формул преобразования полей магнитное поле В этого заряда в точке, положение которой относительно заряда определяется радиус-вектором г. Р е ш е н и е. Перейдем в К'-систему отсчета, связанную с зарядом. В этой системе имеется только кулоновское поле напряженностью д и' = — — „г, 4пг„г" где учтено, что в К'-системе радиус-вектор г' = г (нерелятивистский случай). Теперь перейдем обратно, из К'-системы в К- систему, ко~прая движется относительно К'-системы со скоростью — ч.
Для этого воспользуемся формулой для поля В из (8.4), в которой роль штриховаиных величин будут играть нештрихованные (и наоборот), а скорость чь надо заменить на — чь (рис. 84). В нашем случае чь = ч, поэтому В = В'+ (чЕ(/с~, Учитывая, что в Кссистеме В' = О и что с = 1Г'еьрь, находим г Нь д(чг( В = — —. 4п Мы получили формулу (8.3), которая ранее была постулиро вана как результат обобщегшя опытных фак~ов. ° 8.2. Большая пластинка из однородного диэлектрика с' пронииаемосгью е движется с постоянной нерглягивистской скоростью ч в однородно,ч магнитно,и поле В, как показано на рис, 8 5. Найти поляризованносгь Р диэлектрика и поверхностную плотность и' связанных зарядов.
Рис. 8.5 Рис. 8.4 198 Р е ш е н и е. В системе отсчета, связанной с пластинкой, будет наблюдаться кроме магнитного поля и электрическое, обозначим его Ее. Согласно формулам преобразования полей (8.4) Ее = (ъ В]. Поляризованность диэлектрика е — ! Р=ке Е'=е (чВ), е 0 где учтено, что внутри диэлектрика согласно (3.29) Е' = Ее /е. Поверхностная плотность связанных зарядов е — ! )о') = Р = е — оВ, е причем на той поверхности пластинки, которая обращена к нам (рис. 8.5), о' ) О, на противоположнои о' (О. ° 8.3.
Имеется незаряженный длинный прямой провод с током Е Найти заряд на единицу длине! этого пропода в систелш отсчета, движущейся поступательно с нерелятиоистской скоростью ое вдоль проеодника в направлении тока Е Р е ш е н и е. В движущейся системе отсчета согласно формулам преобразования (8.4) появится электрическое поле Е' = =[ в,В),или Е.
= — ионе//2яг. Здесь выражение для В получено с помощью теоремы о циркуляции, С другой стороны, по теореме Гаусса (в движущейся системе отсчета) Е, = Л'/2пвег, (2) где Л' — заряд на единицу длины провода. Из сравнения (!) и (2) находим Л' = — ое!/с, е где с = 1/сера. Происхождение этого заряда связано с различным лоренцевым сокращением, которое испытывают «цепочки» положительных и отрицательных зарядов (ведь нх скорости разные!) . ° 8.4. В К-системе отсчета имеется узкий пучок протонов, движущихся с релятивистской скоростью о. На некотором расстоянии от пучка напряженность электрического поля равна Е.
Найти индукцию В' магнитного поля на том же расстоянии от пучка в К'-системе отсчета, перемещающейся со скоростью оь относительно К-системы в направлении движения протонов. Решение. Этот вопрос проще всего решить с помощью формул (8.1). Но предварительно надо найти индукцию В в К-системе на том же расстоянии от пучка, где задана напряженность Е. Воспользовавшись теоремой о циркуляции вектора В и теоремой Гаусса для вектора Е, найдем: В = ро1/2яг, Е = А/2пеег, где г — расстояние от пучка, 1 = ко — сила тока, й — заряд на единицу длины пучка. Из этих формул следует, что В/Е = е,ие1/Х = о/ст, здесь с = 1/сере.
Подставив выражение для В из этого ураа- 2 кения в последнюю нз формул преобразования (8.1), получим: Е )с — о,( В'= При атом, если оз(о, то линии вектора В' имеют правовинтовое направление с вектором и,, если же о, ~ о, то — левовинтовое (ибо ток 1' в К'-системе в этом случае будет течь в обратную сторону). ° 8.5. Релятивистская заряженная частица движется в пространстве, где имеются однородные взаимно перпендикулярные электрическое и маенигное поля Е и В.
г/астана движется прямолинейно по направлению, перпендикулярному векторам Е и В. Найти Е' и В' в системе отсчета, перемещающейся поступательно вместе с частицеи. Р е ш е н и е. Из характера движения частицы следует, что ее скорость должна удовлетворять условию 'оВ = Е.
(1) Согласно формулам преобразования (8.1) Е+ (чВ) Е'= =О, ибо в нашем случае сила Лоренца, а значит, н величина Е + (чВ) равны нулю. Для магнитного поля согласно тем же формулам преобразования  — ( чЕ) /с' Расположение векторов показано на рис. 8.6, откуда видно, что (чЕ) тт В. Поэтому с учетом того, что согласно (1) о = Е/В, можно записать  — Е'/Вс' В (1 — Рт) ~) 1:р* чП:й' ' нли в векторном виде В' = В ~ ~ -~Е! В) .
Полезно убедиться, что полученные выражения удовлетворяют обоим инвариантам поля. ° 8.6. Движение заряда в скрещенных Е и В полях. Нерелятивистская частица с удельным зарядом д/пт движется и области, где созданы однородные взаимно перпендикулярные Е и В поля (рис. 8 7). В момент Г = О частица находилась в точке 0 и имела нулевую скорость, Найти закон движения частицьь х(7) и у(7). Р е ш е н и е.
Движение частицы происходит под действием силы Лоренца, причем, как нетрудно сообразить, все время в плоскости ХУ. Проще всего ее движение будет выглядеть в такой К'-системе отсчета, где будет наблюдаться только магнитное поле. Найдем зту систему отсчета. Из преобразований (8.4) следует, что Е' = О в такой системе отсчета, которая движется со скоростью чь, удовлетворяющей соотношению Е = — [ ч,В[. Лучше всего взять ту К'-систему, ~У' т Езу а х' Рис. 8.8 Рнс.
8.6 Рис. 8.7 скорость чр которой направлена в положительную сторону оси Х (рис. 8.7), ибо в такой системе отсчета частица будет двигаться перпендикулярно вектору В' и ее движение будет наиболее простым. Итак, в К'-системе отсчета, которая движется вправо со скоростью оь = Е/В, поле Е' = О и будет наблюдаться только поле В . Согласно (8.4) и рис. 8.7 В = В [ чьЕ[/с = В(1 — оьв/с ) Для нерелятивистской частицы оь <( с, и можно считать, что В'= В. В данной К'-системе отсчета частица будет двигаться только в магнитном поле, причем перпендикулярно его направлению. Уравнение движения частицы в этой системе отсчета будет иметь вид шоо/)с = Чоюд. Это уравнение записано для момента 1 = О, когда в К'-системе частица двигалась, как показано на рнс.
8.8. Так как сила Лоренца Г направлена всегда перпендикулярно скорости частицы, то ос = сопз1 и из (!) следует, что частица в К'-системе будет двигаться по окружности радиусом )7 = шоо/чВ. Таким образом, частица движстси равномерно со скоростью оь по окружности в К'-системе, которая, в свою очередь, перемещается равномерно вправо также со скоростью ое = Е/В. Так ведет себя точка у на ободе колеса (рис.
8.9), катящегося с угловой скоростью ы = о ь/К = дВ/тп. Из рнс. 8.9 сразу видно, что координаты частицы о в момент ! есть х= оь1 — К гйп м1 = а(ыг — з(п ы1), у = й — й соз Ы = а (! — соз ы1), где а = тпЕ/уВ, ы = уВ/гп. ° 8.7. В инерциаяьной К-системе отсчета имеется только однородное электрическое поле Е. Найти модули и направления векторов Е' и В' в К'-системе отсчета, движущейся по отношению к К-системе с' постояннои релятивистской скоростью чь под углом а к вектору Е. Р . 8.9 Рис.
8.!О Р е ш е н и е. Согласно формулам преобразования (8.!) с учетом того, что в К-системе В = О, получим Е~~ —— Есоз а, Ея = Ез!п а/4 — Рт, () = оь/с. Отсюда найдем модуль вектора Е'. е' /е', .те е ( а»гол а' между векторами Е' и чь по формуле Аналогичным образом найдем модуль и направление вектора В!! — — О, В» = — [чьЕ]/(с Й! — (! ), В'= В~». Это значит, что вектор В' ! ч ь и его модуль В' = о ьЕ з! и а/( с ~ 'ч' ! — )! ~/. ° 8.8.
В К-системе отсчета имеются однородные электрическоее Е и магнитное В поля одного направления. Найти модули векторов Е' и В' и угол между ними в К'-системе отсчета, движущейся с ностоннной релятивистской скоростью чь в направлении, перпендикулярном векторам Е и В.
Р е ш е н и е. Согласно формулам (8.1) в К'-системе отсчета оба вектора Е' и В' будут также расположены перпендикулярно вектору чь (рис. 8.10). Модули векторов Е' и В' находим оо формулам: Е'+ (о,))' I В'+ (ь Е/ст) Е' = В'= ' — ("/') у ! — (в /с) Угол между векторами Е' н В' определим через тангенс по формуле 1д а' =- 19 (аг + ан) = (1д ае + 19 ав)/(1 — 1д ас 1д ав). Поскольку 1д аг = о ьВ/Е и 1д ав — — о ьЕ/с В (рис. 8 10), то ь(В + Е /с") (1 — Рт) ЕВ Отсюда видно, что при оь- с(8-«1) угол а'-ни/2.
Можно сделать и обратное заключение: если в одной системе отсчета известны Е и В, причем угол между этими векторами меньше 90", то существуют системы отсчета, где оба вектора Е' и В' взаимно параллельны. ° 8.9. Инвариант ЕВ. Показать с помощью формул преобразования (8.!), что величина ЕВ является инвариантом. Р е ш е н и е. В К'-системе отсчета это произведение Е'В'= (Е1+ Е,) (В„+ В») = Е!Вц+ Е, В . (1) Перепишем последнее слагаемое с помощью формул (8.!): (Е» + [чьВ 1) (В» — [чаЕ ]/с') рт Учитывая, что векторы Е» и В» перпендикулярны вектору чь, преобразуем ~ислитель выражения (2) к виду Е»В» — (оь/с) Е»В» = Е»В» (1 — 8 ), (3) где использован тот факт, что [чьВ х] ° [чьЕх] = оьВхЕхсоза= 2 = озьВ хЕх (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
