Учебник - Основные законы электромагнетизма - Иродов И.Е. (1238773), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Вот два примера. Пример 1. В некоторой плоскости лежат два круговых витка 1 и 2, центры которь!х совпадают (рис. 9.10). Радиусы витков а, и аз. В витке 1 течет ток!. Найти магнитный поток Ф г, охватываемый витком 2, если а, <К аз. Ясно, что непосредственно вычислить поток Фз — задача весьма сложная, нбо сложной является конфигурация самого поля.
Использование же теоремы взаимности чрезвычайно упрошает решение поставленного вопроса. Действительно, пустим тот же ток 1 по витку 2. Тогда магнитный поток Ф Р создаваемый этим током через виток 1, при условии а, ~ а, может быть найден очень просто: доста- Рис. 9.!1 Ряс. 9.10 точно умножить магнитную индукцию В а центре витка (В =- 2 = рь1у2аг) на площадь круга па, и учесть, что согласно теореме взаимности Фз = Ф Р Пример 2. Лусгь контур с током 1 имеет форму прлмоугольника. Как найти магнитный поток Ф через заштрихованную полу- плоскость (рис.
9.!1), граница которой находится на заданном расстоянии от контура? Предполагается, что эта полуплоскость и контур лежат в одной плоскости. Магнитное поле тока 1 здесь также имеет сложную конфигурацию, поэтому непосредственно вычислить интересующий нас поток Ф очень трудно. Однако решение и здесь можно весьма резко упростить, если воспользоваться теоремой взаимности. Представим себе, что ток 1 течет не по прямоугольному кон- туру, а вдоль границы полуплоскостн, огибая ее на бесконечно- сти. Магнитное поле, создаваемое этим током в области прямоугольного контура, имеет простую конфигурацию — это поле прямого тока. Поэтому найти магнитный поток Ф' сквозь прямо. угольный контур достаточно легко (путем несложного интегрирования).
А по теореме взаимности искомый поток Ф=Ф', и задача решена Однако наличие ферромагнетиков меняет дело, и теорема взаимности перестает выполняться. Убедимся в этом на следующем конкретном примере, Пример. Длинный ферромагнитный цилиндр объемом У имеет две обмотки (одна на другой). Одна обмотка содержит а, витков на единицу длины, другая — аг. Найти их взаимную индуктивность, пренебрегая краевыми эффектами Согласно (9.23) 1.м —— Фэ/1,.
Это значит, что мы должны создать ток 1, в обмотке 1 и вычислить полный магнитный поток через все витки обмотки 2. Если в обмотке 2 содержится Мт витков, то Фт — — НтВ ~5 где 5 — площадь сечения цилиндра. Имея в виду, что Нт — — ат1, 1 — длина цилиндра, В, = а,аэл,1о р, — магнитная проницаемость прп токе 1,, запишем: Ф, = р, аэа,н, У1,, У = 15. Отсюда 1'21 и1рэн1ату. Аналогично находим и В м..
1-м = Ртроа~атУ. Ввиду того что значения р, и и, в последних двух выражениях, вообще говоря, разные (в ферромагнетиках оии зависят от токов 1, и 1э), значения 1.т, и В м ие совпадают. Взаимная нндукция. Наличие магнитной связи между контурами проявляется в том, что при всяком изменении тока в одном из контуров в другом контуре возникает э. д. с. индукции. Это явление и называют в з а и м н о й индукцией. Согласно закону электромагнитной индукции э. д. с., возникающие в контурах 1 и 2, равны соответственно: йф, 61, йФ, 61,  — — = — 1 —, У = — — = — 1. —, (6.26) 61 "а' ' йт "61' Здесь предполагается, что контуры неподвижны и ферромагнетнков поблизости нет.
С учетом явления самоиндукции ток, например, 221 в контуре 1 при изменении токов в обоих контурах опреде- ляется по закону Ома как а1з лг =у 1 ~ ! щ и щ ограниченнои контуром 2 (или от выбора положительного направления обхода этого контура), Положительные направления для токов (и э. д. с.) в обоих контурах всегда можно выбрать произвольно (а с положительным направлением обхода контура однозначно — правилом пра- ем тл смс0 а) б) Рис. 9.12 вого винта — связано направление нормали п к поверхности, ограниченной контуром, т.
е. в конечном счете знак магнитного потока). Раз эти направления выбраны, величину Е „мы должны считать положительной, когда при положительных токах магнитные потоки взаимной индукции через контуры оказываются также положительными, т. е. совпадают по знаку с потоками самоиндукции. Другими словами, Е „) О, если при положительных токах в обоих контурах они «подмагничивают» друг друга, в противном случае Е,д(0.
В частных случаях можно заранее так установить положительные направления обхода контуров, чтобы получить желательный нам знак величины Е „(рис. 9.12) . 222 где У, — сторонняя э. д. с. в контуре 1 (помимо индукционных э. д. с.); Е, — индуктивность контура 1. Аналогичное уравнение можно записать и для определения силы тока 1, в контуре 2. Отметим, что на явлении взаимной индукции основано действие трансформаторов — устройств, служащих для преобразования токов и напряжений. Замечание о знаке Е „.
В отличие от индуктивности Е, которая, как было сказано, является существенно положительной величиной, взаимная индуктивность Е м — величина а л г е б р а н ч е с к а я (в частности, равная нулю) . Это связано с тем обстоятельством, что, например в (9.23), величины Ф, и 1, относятся к р а з н ы и контурам. Из рис. 9.9 сразу видно, что знак магнитного потока Ф, при данном направлении тока 1, будет зависеть от выбора нормали к поверхности, К 06 $ 95.
ЭНЕРГИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ Магнитная энергия тока. Замкнем неподвижную цепь, содержащую индуктивность !. и сопротивление гг, на источник тока с э. д. с. У,, В контуре, как мы уже знаем, начнет возрастать ток. Это приводит к появлению э. д. с. само- индукции У,.
Согласно закону Ома )г! = У, + У„откуда 9',= й! — И,. Найдем элементарную работу, которую совершают сторонние силы (т. е. источник У,) за время й. Для этого умножим предыдущее равенство на ! й: Юа! Ж = й! й — Ж! ой учитывая смысл каждого слагаемого и соотношение Ж, = = — дФ/й, запишем 6А „„= 69 + ! бФ. Мы видим, что в процессе установления тока, когда поток Ф меняется и йР ) 0 (если ! - 0), работа, которую совершает источник Я ь оказывается б о л ь ш е выделяемой в цепи джоулевой теплоты. Часть этой работы (дополнительная работа) совершается п р о т и в э. д.
с. самоиндукции. Заметим, что после того как ток установится, дФ = 0 и вся работа источника У„ будет идти только на выделение джоулевой теплоты. Итак, дополнительная работа, совершаемая сторонними силами против э. д. с. самоиндукции в процессе установления тока: бА '""" = ! ош. (9.27) Это соотношение имеет общий характер. Оно справедливо и при наличии ферромагнетиков, так как при его выводе не вводилось никаких предположений относительно магнитных свойств окружающей среды. Теперь (н далее) будем считать, что ферромагнетики отсутствуют. Тогда дФ = !.
й и 6Л"" = Е! й. (9.28) Проинтегрировав это уравнение, получим А"" = !.!'(2. По закону сохранения энергии любая работа идет на приращение какого-то вида энергии. Мы видим, что часть работы сторонних сил (ЯГ,) идет на увеличение внутренней 223 энергии проводников (с ней связано выделение джоулевой теплоты) и другая часть — в процессе установления тока — на что.то еще. Это «что.то» есть не что иное, как магнитное поле, именно его появление и связано с появлением тока.
Таким образом, мы приходим к выводу, что при отсутствии ферромагнетиков контур с индуктивностью Е, по которому течет ток 7, обладает энергией (9.2в] Ю = /27 ( l21Ав0П 1 1 Л так как п! = 0 = В/~ц~,,то В' вн Яг = — и = — Г, 2ии 2 (9.30) Зта формула справедлива для однородного поля, заполняющего объем У (как в нашем случае с соленоидом).
В общей теории показывается, что энергию )Р' можно выразить через векторы В и Н в любом случае (но при отсутствии ферромагнетиков) по формуле Подынтегральное выражение в этом уравнении имеет смысл энергии, заключенной в элементе объемом Ю. Отсюда, как и в случае электрического поля, мы приходим к выводу, что магнитная энергия также локализована в пространстве, занимаемом магнитным полем. Эту энергию называют магнитной энергией тока или собственной энергией тока, Она может быть целиком превращена во внутреннюю энергию проводников, если отключить источник 8, так, как показано на рис. 9.7: быстро повернуть ключ К из положения б в положение а. Энергия магнитного поля.
Формула (9.29) выражает магнитную энергию тока через индуктивность и ток (при отсутствии ферромагнетиков). Однако и здесь, как и в случае электрической энергии заряженных тел, энергию можно выразить непосредственно через магнитную индукцию В. Убелимся, что это так сначала на простейшем примере длинного соленоида, пренебрегая искажением поля на его торцах (краевыми эффектами). Подстановка в формулу (9,29) выражения Е = рр,п'сдает Из формул (9.30) и (9.31) следует, что магнитная энергия распределена в пространстве с объемной плотностью (9.32) Отметим, что полученное выражение относится лишь к тем средам, для которых зависимость В от Н линейная, т.
е. р в соотношении В = )ь)зоН не зависит от Н. Другими словами, выражения (9,3!) и (9.32) относятся только к пара- и диамагнетикам. К ферромагнетикам они не применимы*. Отметим также, что магнитная энергия — величина существенно положительная. Это легко усмотреть из последних двух формул. Еше об обосновании формулы (9.32). Убедимся в справедливости этой формулы, рассуждая в «обратном» порндке, а именно покажем, что если формула (9.32) справедлива, то магнитная энергия контура с током )Р = ь/-/2 С этой целью рассмотрим магнитное поле произвольного конт>ра с током I (ряс. 9.(3). Представим все поле разделенным на элсмен тарные трубки, образующие которых являются лнниямн вектора В. Выделим в одной нз таких трубок элементарный объем АУ = бм5 В соответствии с формулой (932) в этом объеме локализована энергия '/»ВН6/35.
Теперь найдем энергию д)Р в объеме всей элементарной трубки Для этого проинтегрируем послЕднее выражение вдоль оси трубки. Поток АФ = Вд5 сквозь сечение трубки пос. тоянен вдоль всей трубки, поэтому АФ можно Вынести за знак интеграла: б(р = — (у//ш= / —, бб> с ААФ 2 (3 2' Рнс. ! !.3 где использована теорема о циркуляции вектора Н (в нашем случае проекции Н, = и) И наконец, просуммир>ем энергию всех элементарных трубок: (Р= !У,/~ бб> = /ФУ2= /./'У2, где ц! — поЛный магнитный поток, охватываемый контуром с током, Ф = ЕД Это и требовалось показать.
* Это обусловлено тем, что н конечном счете выражения («ЕЗ() и (9.32) являются следствннми формулы бА«"» = /ВФ и того факта, что при отсутствии гистерезиса работа ЗА"" идет только на приращение магнитной энергии д(р. Лля ферромагнитной среды дело обстоит иначе: работа 6А»м идет еще и иа приращение внутренней энергии среды, т. е. на ее иагревание.
Определение индуктивности из выражения энергии. Мы ввели индуктивность 1. как коэффициент пропорциональности между полным магнитным потоком Ф н током !. Существует, однако, и другая возможность расчета 1. из выражения энергии. В самом деле, из сопоставления формул (9.31) и (9.29) следует, что при отсутствии ферромагнетика (9. 33) Нахождение Е таким путем свободно от неопределенности, связанной с вычислением магнитного потока Ф в формуле (9.14) — см. с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
