Учебник - Основные законы электромагнетизма - Иродов И.Е. (1238773), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Магнитное давление на обмотку соленоида. Увеличим мысленно радиус сечения соленоида на бг, сохраняя при этом неизменным ток /через обмотку. Тогда силы Ампера совеРшат РаботУ 6А „,„= г( 92 (ь В нашем слУчае 6Л „,„=- р5 бг, где р — искомое давление, 5 — боковая поверхность соленоида; гВ х Н' д кг(, = 6 ~ Ь') = — 5 пг. ~, 2н, ) 2п, Здесь учтено, что при ! = сонэ( и В = сонэ(. Из равенства двух этих выражений находим Р= В !2нм Магнитное давление. Полученное в последнем примере выражение для давления можно обобщить на случай, когда по разные стороны от поверхности с током (током проводимости или током намагничивания) магнитное поле 231 В Рис. 9.!8 Рис.
9.!у Теперь найдем соответствующее приращение магнитного потока сквозь контур. С этой целью обратимся к рис. 9.18. Пусть за время д! наш контур переместился из положения Г, в положение Ге Если в первом положении магнитный поток через поверхность 5 н натянутую на контур, был равен Ф н то соотаетствук>щий магнитный поток во втором положении контура может быть представлен как Ф, + бФ, т. е. как поток через поверхность 5 + с)5. Здесь бФ вЂ” интересующее нас приращение магнитного потока сквозь узкую полоску о5,.ограниченную контурами Г, и Гт.
С помощью рис. 9,18 запишем бФ=~ Вдз=~ В]бг,й(]= — !~1]дг,В]Л. (2) Здесь: 1) направление нормали и согласовано с направлением обхода контура — вектором д! (правовинтовая система); 2) направление вектора дз — элемента площади полоски — согласовано с выбором нормалей п; 3) использована циклическая перестановка в смешанном произведении: а ] Ьс] = Ь ]са] = с ] аЬ] = — ] Ьа] с. Разделив выражение (2) на Ж, найдем дФ/дг = — !)> ]чВ] 81, (3) где ч = дг/дй Остается сравнить (3) с (!), откуда и следует, что 9; = — дФ/Ы ° 9.3.
Плоская спираль с большим числом Лl витков, плотно прилегающих друг к другу, находится в однородном магнитном поле, перпендикулярном плоскости спирали (рис. 9.!9). Наружный радиус витков спирало равен а. Магнитное поле изменяется во времени по закону В = Вь з)п ый Найти амплитудное значение з. д. с. индукции, наведенной в спирали. Р е ш е н и е. Ввиду того что каждый виток спирали практически не отличается от окружности, в нем наводится э. д, с.
индукции е, = — бФ/д! = — пг Вьы соз ый 2 где г — радиус рассматриваемого витка. На интервал значений радиуса дг приходится число витков ОМ = (М/а) дт, Витки соединены последовательно, поэтому полная э. д. с. индукции в спирали У, = ~ е,(г) ОМ. Проинтегрировав, получим следующее выражение для амплитудного значения э. д. с. индукции: Рнс. 9д9 = '/зпа МВььь ° 9.4. Внутри длинного соленоида находится катушка из М витков с площадью поперечного сечения 5.
Катушку поворачивают с постоянной угловой скоростью ы вокруг оси, совпадак~щей с ее диаметром и перпендикулярной оси соленоида. При этом магнитное поле в соленоиде меняется во времени как В = В ь з)п ыд Найти э. д. с. индукции в катушке, если в момент ~ = 0 ось катушки совпадала с осью соленоида. Р е ш е н и е. В момент Г полный магнитный поток сквозь катушку гй = МВ5 соз ыс = МВ,5 гйп ы) ° соз ы) = '/эМВв5 з!и 2ый Согласно закону электромагнитной индукции У, = — дйт/д) = — '/гМВь5 ° 2ы соз 2ыс = — МВь5ы соз 2ый ° 9.5.
Бетатронное условие, Показать, что электроны в бетатроне будут двигаться по орбите постоянного радиуса гь при условии, что магнитное поле на орбите Вь равно половине среднего по площади внутри орбиты значения магнитного поля (В). т. е. Вь = /э(В) Р е ш е н и е. Представим релятивистское уравнение движения электрона др/Ж = еЕ+ е) чВь), где Š— вихревое электрическое поле, в проекциях на касательную т и нормаль п к траектории. Для этого запишем импульс электрона как р = рт и найдем его производную по времени: йр йр — ат йр - ьэ т+р = — т+т — п, (2) йт йг ш "г го где учтено, что р = гпч, гп — релятивистская масса, и дт/дс = = (о/гь) п, в чем нетрудно убедиться с помощью рис.
9.20. Действительно, дт = д~р п = (одг/г ) и, и дальнейшее очевидно. Кроме того, согласно закону электромагнитной индукции 234 та б Е = — — (В). 2 б! (3) Теперь запишем уравнение (!) с учетом формул (2) и (3) в проекциях на касательную и нормаль к траектории: (4) леднев уравнение можно переписать после сокращения на о иде р = етьВь. Продифференцируем зто уравнение по времени, приняв во внимание, что те = сопз(: бр бВ а — = ег б! О б! зктически зто достигается путем изготовления полюсных наечников специального вида (в форме усеченных конусов). Рис. 9.20 Рнс. 9.2! ° 9.6. Индукционный ток.
Квадратная проволочная рамка со стороной а и прямой длинныи проводник с постоянным такал! )в лежат в одной плоскости (рис. 9.2! ), Индуктивность рамки 1., ее сопротивление т(. Рамку повернули на 180' вокруг оси 00' 235 2пгьЕ = !с1Ф!'М, где Ф = пть (В) . Отсюда бр ь б — = еЕ = е — — (В), б! = = 2 б! ь' гл — = еоВ,. ть Из сравнения выражений (5) и (4) получаем — В = — — (В>. б! " 2 б! В частности, последнее условие будет выполнено, если В, = 'Ут (В).
! 2 ! ! л и остановили. Найти количество электричества, протекшее рамке. Расстояние Ь между осью 00' и прямым проводникон предполагается известным, Р е ш е н и е. Согласно закону Ома в процессе поворота рам. ки ток ! в ней определяется по формуле йф б! р! = — — — е —. й! Ф Поэтому искомое количество электричества 1 г ! о = ~ ! й! = — — ~ (йф+ !.
й!) = — — (Дф+ Ь б!). В~ В Поскольку рамку после поворота остановили, ток в ней пре- кратился и, следовательно, б! = О. Остается выяснить, чему равно приращение потока ЛФ сквозь рамку(ЛФ = Фт — Ф,). Выберем нормаль п к плоскости рамки, например, так, чтобы а конечном положении и было направлено за плоскость рисунка (в сторону В).
Тогда нетрудно видеть, что в конечном положении Ф, ) О, а в начальном Ф, ( О (нормаль направлена против В),и бФ оказывается равным просто потоку через площадь, ограни. чеиную конечным и начальным положениями рамки: ь-ьа бф = Фт + )Ф,) = ~ Ва г(т, Ь вЂ” а где В является функцией т, вид которой можно легко найти с по. мощью теоремы о циркуляции. Окончательно получим, опуская знак минус: Дф паата Ь+а !и й 2пу Ь вЂ” а' Найденная величина, как видим, от индуктнвности контура не зависит (а случае если бы контур был сверхпроводящим, дело бы обстояло иначе). ° 9.7.
Перемычка )2 массы гп скользит без трения по двум длинным проводящим рельсам, расположенным на расстоннии ! друг от друга (рис, 9.22). Система накодится в однородном магнитном поле, перпендикулярном плоскости контура. Левые концы рельсов замкнуты через сопротивление Я. В момент ! = О перемычке !2 сообщили вправо начальную скорость ое. Пренебрегая сопротивлением рельсов и перемычки, а также сомоиндукцией контура, найти скорость перемычки в зависимости от времени !. Р е ш е н и е. Выберем положительное направление нормали к плоскости контура за рисунок (от нас) .
Это значит, что положительное направление обхода контура (для э. д. с. индукции и тока) мы взяли по часовой стрелке — а соответствии с правилом правого винта. Из закона Ома следует: йф йб й! = — = —  — = — Вга, Й и! (!) где учтено, что при движении перемычки вправо дФ О.
и до/д! = ПВ, (2) где справа записана проекция силы Ампера на ось Х (эта величина является отрицательной, но знак минус мы не пишем, ибо, как видно вз (1), ток ! (О). Исключив ! из уравнений (! ) и (2), получим до/о = — а 6(. а = В ! /п1В. Интегрирование этого выражения с учетом начальных условий дает )и (оуоо) = — аI, о = оэе ° Роль переходных процессов. В стене (рис. 9.23) известны э. д. с. е источника, его онутреннее сопротивление т! и ондуктив.
ности сверхпроводящих катушек В, и В . Найти устиновнвшиесн токи в катуиткак после зи,чыканил клюни К. Рис. 9.22 Рис. 9.23 Р е ш е н и е. Воспользуемся правилами Кирхгофа для кон. туров 97., и 97. э: 6г, 6тт И=У вЂ” б —, У!=У вЂ” б 6! ' 1 6! Из сравнения этих выражений видно, что В установившихся токов )- ~ ! ~о = В э! то. Кроме того, ~ д! ~ —— !.э 6(э, а для ! ~о+ )эа = (о = в!а. Из уравнений (!) и (2) найдем: е г| е ~а !.
! ) ! и (2) Индукционный ток ! согласно правилу Ленца вызывает противодействующую движению силу Ампера — она будет направлена влево. Выбрав ось Х вправо, запишем уравнение движения перемычки ° 9.9. Вычисление индуктивности. Коаксиальный кабель состоит из внутреннего сплошного проводника радиусом а и наружной проводящей тонкостенной трубки радиусом Ь. Найти индуктивность единицы длины кабеля, считая распределение тока по сечению внутреннего проводника равномерным. Магнитная проницаемость всюду равна единице.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
