МУ - Моделированные колебания, спектральный анализ, линейная фильтрация (1238769), страница 5
Текст из файла (страница 5)
å. çàêîí àçîâîé ìîäóëÿöèè îêàçûâàåòñÿ óòåðÿííûì ïðè êâàäðàòè÷íîìäåòåêòèðîâàíèè.åøèòü ïðîáëåìó ìîæíî, èñêàçèâ îïðåäåë¼ííûì îáðàçîì àìïëèòóäíîàçîâûå ñîîòíîøåíèÿ â ñïåêòðå àçîâî-ìîäóëèðîâàííîãî êîëåáàíèÿ (ïðåâðàòèâ òàêèì îáðàçîì êîëåáàíèå, ìîäóëèðîâàííîå ïî àçå â àìïëèòóäíî-ìîäóëèðîâàííîå êîëåáàíèå), ïîñëå ÷åãî èñêàæ¼ííûé òàêèì îáðàçîì ñèãíàë ìîæíîïîäàòü íà âõîä êâàäðàòè÷íîãî äåòåêòîðà.Âåðí¼ìñÿ â êà÷åñòâå ïðèìåðà ê ìîäóëèðîâàííîìó êîëåáàíèþ ñ çàêîíîìàçîâîé ìîäóëÿöèè ϕ(t) = m cos Ωt (ïðè m ≪ 1). àçëîæåíèå â ñïåêòð ýòîãîêîëåáàíèÿ èìååò âèä (îðìóëà (20))ma0π ma0πf (t) = a0 cos ω0 t ++.cos (ω0 + Ω)t +cos (ω0 − Ω)t +2222àññìîòðèì ïðè¼ì áåç íåñóùåé. Ïîñëå óñòðàíåíèÿ íåñóùåãî êîëåáàíèÿ a0 cos ω0 t ïîëó÷àåì ñèãíàëπ ma0πma0+=cos (ω0 + Ω)t +cos (ω0 − Ω)t +f˜(t) =2222= ma0 cos Ωt sin ω0 t.çàêîí àçîâîé ìîäóëÿöèè (ïðàâäà â èñêàæ¼ííîì âèäå) âûÿâëåí: èçìåíåíèåâûõîäíîãî ñèãíàëà äåòåêòîðà ïðîèñõîäèò ñ óäâîåííîé ÷àñòîòîé:g(t) =m2 a20(1 + cos 2Ωt).4(38)Çàäà÷à 14.
Ïðè¼ì ñ èçìåíåíèåì àçû íåñóùåé. Ïîñëå èçìåíåíèÿ àçûíåñóùåãî êîëåáàíèÿ íà π2 :πa0 cos ω0 t → a0 cos ω0 t +,2èìååìπ+f˜(t) = a0 cos ω0 t +2ma0π ma0π++.cos (ω0 + Ω)t +cos (ω0 − Ω)t +2222Òåïåðü àçîâûå ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó âñåìè ãàðìîíèêàìè îêàçàëèñü òàêèìèæå, êàê è â àìïëèòóäíî-ìîäóëèðîâàííîì êîëåáàíèè (17). Äåéñòâèòåëüíî, ïîñëå ïðîñòûõ ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷àåìf˜(t) = −a0 (1 + m cos Ωt) sin ω0 t.Ìû ïðåîáðàçîâàëè êîëåáàíèå, ìîäóëèðîâàííîå ïî àçå (ñ çàêîíîì àçîâîéìîäóëÿöèè ϕ(t) = m cos Ωt) â àìïëèòóäíî-ìîäóëèðîâàííîå êîëåáàíèå f˜(t) ñçàêîíîì ìîäóëÿöèèa(t) = a0 (1 + m cos Ωt).Íà âûõîäå êâàäðàòè÷íîãî äåòåêòîðà, ñîãëàñíî (37), ïîëó÷àåì1 211(39)a (t) = a20 (1 + m cos Ωt)2 ≃ a20 + a20 m cos Ωt,222ò. å.
ïåðåìåííàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ ñèãíàëà íà âûõîäå äåòåêòîðà âîñïðîèçâîäèòáåç èñêàæåíèÿ çàêîí àçîâîé ìîäóëÿöèè èñõîäíîãî ñèãíàëà f (t).g(t) ≃8. ÄîïîëíåíèåÇàäà÷à 13.328.1. Ïðåäñòàâëåíèå îδ -óíêöèèδ -óíêöèÿ ýòî ìàòåìàòè÷åñêàÿ èäåàëèçàöèÿ ðåàëüíîãî î÷åíü ¾ñèëüíîãî¿ è êîðîòêîãî èìïóëüñà. àññìîòðèì ïðÿìîóãîëüíûé èìïóëüñ äëèòåëüíîñòè τ è âûñîòîé 1/τ , òàê ÷òî ¾ïëîùàäü¿ èìïóëüñà τ · 1/τ ðàâíÿåòñÿ 1. Áóäåì33ïîñòåïåííî óìåíüøàòü äëèòåëüíîñòü èìïóëüñà τ , óâåëè÷èâàÿ åãî ¾âûñîòó¿òàê, ÷òî ïëîùàäü îñòà¼òñÿ êîíñòàíòîé, ðàâíîé 1 (ðèñ. 28).Pτ (t)Sfrag replaementsPτ (t)Pτ (t)1/τ1/τ1/τtτPτ (t)ttττtτèñ. 28Snθmθnplaements ïðåäåëå ïðè τ → 0 ïîëó÷àåì èäåàëèçèðîâàííûé ñèãíàë, íàçûâàåìûé δ -èìïóëüñîì: óíêöèÿ δ(t)ðàâíà íóëþ âñþäó, êðîìå ìîìåíòà âðåìåíè t = 0, ãäåýòà óíêöèÿ ðàâíà áåñêîíå÷íîñòè, ïðè ýòîì+∞Zïðåäåëîì êîòîðîé (ïðè ∆ω → 0) ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàë (41).
ż ãåîìåòðè÷åñêàÿèíòåðïðåòàöèÿ ñóììà âåêòîðîâ, èçîáðàæ¼ííûõ íà ðèñ. 29: êàæäîå ñëàãàå1 in∆ωtìîå 2πe∆ω (ïðè èêñèðîâàííîì t 6= 0) èçîáðàæàåòñÿ âåêòîðîì äëèíû1ñóãëîìíàêëîíà θn = n∆ωt. Óãîë ìåæäó äâóìÿ ñîñåäíèìè âåêòîðàìè∆ω2π∆θ = ∆ωt ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè ∆ω → 0, è ìû ïîëó÷àåì ñïëîøíîé âååðâåêòîðîâ, â êîòîðîì äëÿ êàæäîãî âåêòîðà S n ñ óãëîì íàêëîíà θn íàéä¼òñÿàíòèêîëëèíåàðíûé âåêòîð S m ñ óãëîì íàêëîíà θm = θn + π , ïîýòîìó ñóììàâñåõ ýòèõ âåêòîðîâ ðàâíà íóëþ äëÿ ëþáîãî t 6= 0. Î÷åâèäíî, ÷òî ïðè t = 0âñå âåêòîðû ñêëàäûâàþòñÿ êîëëèíåàðíî è èíòåãðàë (41) ðàâåí áåñêîíå÷íîñòè.
Ìû ïîëó÷àåì, òàêèì îáðàçîì,Ìíîæèòåëü12π∞Zδ(t) dt = 1.τ →0Pτ (t) =ïðè |t| 6 τ2 ,ïðè |t| > τ2 .1τ0ïîñêîëüêósin at.a→∞ πtÈìååò ìåñòî âàæíàÿ îðìóëà:12πeiωt dω,(41)−∞ò. å. δ -óíêöèÿ ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà ñóììîé ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèéâñåâîçìîæíûõ ÷àñòîò, ïðè÷¼ì âñå êîëåáàíèÿ ñóììèðóþòñÿ ñ îäèíàêîâûì ¾âåñîì¿.Ïîÿñíèì ñìûñë îðìóëû (41). àññìîòðèì èíòåãðàëüíóþ ñóììó∞X1 in∆ωte∆ω,2πn=−∞34t = 0,t 6= 0.a→∞sin att= 2πδ(t),sin atdt = π.t−∞δ(t) = limδ(t) =dω = lim 2∞Z(40)Ìîæíî ïîëó÷èòü δ -óíêöèþ è â äðóãîì ïðåäåëüíîì ïåðåõîäå, íàïðèìåð:∞Zeiωt−∞ãäå Pτ (t) îáîçíà÷åíà óíêöèÿ∞ ïðè0 ïðèÿâëÿåòñÿ íîðìèðîâî÷íûì. Äåéñòâèòåëüíî,δ(t) = lim Pτ (t),èñ.
29eiωt dω =−∞−∞Sm∞Z12πàññìîòðèì èíòåãðàëPSfrag replaementsZ1τf (t′ )Pτ (t − t′ ) dt′ ,f (t′ )Pτ (t′ − t)ãäå Pτ (t) êîðîòêèé èìïóëüñ åäèíè÷íîé ïëîùàäèt′′äëèòåëüíîñòè τ (îðìóëà (40)); f (t ) îáû÷íàÿtèñ. 30¾õîðîøàÿ¿ óíêöèÿ; ïðîèçâåäåíèå f (t′ )Pτ (t − t′ )îòëè÷íî îò íóëÿ ëèøü â ìàëîé îêðåñòíîñòè τ ìîìåíòà âðåìåíè t′ = t. Óìåíüøàÿ äëèòåëüíîñòü èìïóëüñà τ , âñåãäà ìîæíî äîáèòüñÿ, ÷òîáû â ýòîé îêðåñòíîñòè óíêöèÿ f (t′ )áûëà êîíñòàíòîé (ðàâíîé çíà÷åíèþ â ìîìåíò âðåìåíè t′ = t) (ðèñ. 30).
Òîãäà∞Zf (t′ )Pτ (t − t′ ) dt′ ≃ f (t)−∞35τt+Z2t− τ2Pτ (t − t′ ) dt′ ≃ f (t). ïðåäåëå ïðè τ → 0 Pτ (t − t′ ) → δ(t − t′ ), à ïðèáëèæ¼ííîå ðàâåíñòâî ñòàíîâèòñÿ òî÷íûì, ìû ïîëó÷àåìf (t) =∞Z(42)f (t′ )δ(t − t′ ) dt′ .−∞Ýòó îðìóëó ìîæíî ñ÷èòàòü îïðåäåëåíèåì δ -óíêöèè.Ñîãëàñíî (42), ñèãíàë f (t) ïðåäñòàâëÿf (t′ )δ(t − t′ )plaementsåòñÿ ñóïåðïîçèöèåé δ -èìïóëüñîâ, äåéñòâóþf (t)ùèõ â ðàçëè÷íûå ìîìåíòû âðåìåíè t′ , ïðè÷¼ì âåñàìè-êîýèöèåíòàìè â ýòîé ñóïåðtïîçèöèèÿâëÿþòñÿ çíà÷åíèÿ ñàìîé óíêöèè′tt′ (ïåðåìåííàÿ èíòåãðèðîâàíèÿâìîìåíòûèñ. 31′t ïðîáåãàåò âåñü èíòåðâàë âðåìåíè, â êîòîðîì óíêöèÿ f (t) îòëè÷íà îò íóëÿ â îáùåì ñëó÷àå îò −∞ äî +∞.
(Âåðòèêàëüíûå ëèíèè íà ãðàèêå (ðèñ. 31) èçîáðàæàþò δ -èìïóëüñû (ñ âåñîâûììíîæèòåëåì f (t′ )), ñïëîøü çàïîëíÿþùèå îñü âðåìåíè.)÷àñòîòíîé õàðàêòåðèñòèêîé è èìïóëüñíûì îòêëèêîìËèíåéíûé èëüòð ìîæíî õàðàêòåðèçîâàòü îòêëèêîì h(t) íà δ -èìïóëüñ,êîòîðûé íàçûâàþò èìïóëüñíûì îòêëèêîì:Åñëè íà ëèíåéíûé èëüòð â ìîìåíò âðåìåíè t = 0 ïîäåéñòâîâàë âõîäíîéδ -èìïóëüñ, òî ïðè t > 0 ñèñòåìà îêàçûâàåòñÿ ñâîáîäíîé îò âíåøíåãî âîçäåéñòâèÿ è â íåé íà÷èíàåòñÿ òàê íàçûâàåìûé ïåðåõîäíîé ïðîöåññ (íàïðèìåð,ïðîöåññ ñâîáîäíûõ çàòóõàþùèõ êîëåáàíèé) ýòî è åñòü èìïóëüñíàÿ ðåàêöèÿ.g replaementsh(t)02LRh(t)δ(t)h(t)τ=τ = RCt0èñ.
3236(ïî îïðåäåëåíèþ ÷àñòîòíîé õàðàêòåðèñòèêè), òî îêîí÷àòåëüíîZ1H(ω)eiωt dω,h(t) =2πτ(44)çàíà ñ åãî èíåðöèîííîñòüþ τ ñîîòíîøåíèåì íåîïðåäåë¼ííîñòåé: ∆ω · τ ≈ 2π .Ïðèìåðû : 1) êîëåáàòåëüíûé êîíòóð∆ω ≃ δ,(43)h(t) = L[δ(t)].δ(t)(çäåñü èñïîëüçîâàíî ñâîéñòâî ëèíåéíîñòè) è äàëåå, ò. ê.L eiωt = H(ω)eiωtò. å. ÷àñòîòíàÿ õàðàêòåðèñòèêà ÿâëÿåòñÿ ïðåîáðàçîâàíèåì Ôóðüå èìïóëüñíîãî îòêëèêà: h(t) ↔ H(ω). Ñëåäîâàòåëüíî, øèðèíà ïîëîñû èëüòðà ∆ω ñâÿ8.2. Èìïóëüñíûé îòêëèê ëèíåéíîãî èëüòðà. Ñâÿçü ìåæäóh(t)τÂàæíîé õàðàêòåðèñòèêîé èìïóëüñíîé ðåàêöèè ÿâëÿåòñÿ å¼ äëèòåëüíîñòü,êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ ïîñòîÿííîé âðåìåíè èëüòðà.
Ïîñòîÿííàÿ âðåìåíè õàðàêòåðèçóåò èíåðöèîííîñòü èëüòðà, åãî ñïîñîáíîñòü ðåàãèðîâàòü íà áûñòðûå èçìåíåíèÿ âõîäíîãî ñèãíàëà. Ïðèìåðû èìïóëüñíûé îòêëèê êîëåáàòåëüíîãî êîíòóðà è RC -èëüòðà ïîêàçàíû íà ðèñ. 32.Ïðåäñòàâëÿÿ δ -èìïóëüñ ñ ïîìîùüþ îðìóëû (41), èìååìZZ11h(t) = Leiωt dω =L eiωt dω2π2πτ=1;δ∆ωτ ≃ 1;2) RC -èëüòð (ñì. çàäà÷ó 1)1|H(ω)| = p.1 + (ωRC)2√1Ïîëîñà ïðîïóñêàíèÿ (íà óðîâíå 1/ 2) ðàâíà ∆ω = RC.
Ïîñòîÿííàÿ âðåìåíèτ = RC . Âíîâü ïîëó÷àåì ∆ωτ ≃ 1.Ñëåäóåò îáðàòèòü âíèìàíèå, ÷òî ñîîòíîøåíèå íåîïðåäåë¼ííîñòåé âèäà∆ωτ ≃ 2π ñïðàâåäëèâî òîëüêî ïî ïîðÿäêó âåëè÷èíû.8.3. Ê âûâîäó îðìóëû ïðÿìîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ÔóðüåtÄîìíîæèì îáå ÷àñòè ðàâåíñòâà (24) íà e−iω t è ïðîèíòåãðèðóåì ïî t âïðåäåëàõ îò −∞ äî +∞:′+∞Z−∞f (t)e−iω ′ t1dt =2π+∞Z +∞Z−∞ −∞37C(ω)ei(ω−ω′)tdωdt.Ìåíÿÿ ïîðÿäîê èíòåãðèðîâàíèÿ â ïðàâîé ÷àñòè ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà, ïîëó÷èì +∞+∞+∞ZZZ′′1C(ω) f (t)e−iω t dt =ei(ω−ω )t dt dω.2π−∞−∞−∞Èñïîëüçóÿ (41), íàõîäèì +∞+∞+∞ZZZ′1i(ω−ω )tC(ω)edt dω =C(ω)δ(ω − ω ′ ) dω = C(ω ′ ).2π−∞−∞−∞Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ δ -óíêöèè (42).
Ìåíÿÿ äàëååîáîçíà÷åíèå ω ′ → ω , ïîëó÷àåì (25):C(ω) =+∞Zf (t)e−iωtdt.−∞Ôîðìóëà äà¼ò ïðàâèëî äëÿ íàõîæäåíèÿ ñïåêòðà çàäàííîãî ñèãíàëà f (t) (ìûïîëüçîâàëèñü åþ ïðè ðåøåíèè çàäà÷ 611).8.4. Ëèíåéíàÿ èëüòðàöèÿ. Âðåìåííîé ïîäõîä ê ðåøåíèþ çàäà÷èëèíåéíîé èëüòðàöèèÏðåäñòàâèì ñèãíàë f (t), ïîñòóïàþùèé íà âõîä ëèíåéíîãî ñòàöèîíàðíîãîèëüòðà, ñ ïîìîùüþ (42):f (t) =+∞Zðåàêöèþ L[δ(t − t′ )] = h(t − t′ ) (â ñèëó ñòàöèîíàðíîñòè èëüòðà ñìåùåíèå ìîìåíòà âîçíèêíîâåíèÿ δ -èìïóëüñà ïðèâîäèò ê òàêîìó æå ñìåùåíèþ âî âðåìåíè èìïóëüñíîé ðåàêöèè áåç èçìåíåíèÿ å¼ óíêöèîíàëüíîãî âèäà).
Èñïîëüçóÿïîñëåäíåå ñîîòíîøåíèå, íàõîäèìf (t′ )δ(t − t′ ) dt′ .−∞Íàéä¼ì îòêëèê èëüòðà g(t) = L[f (t)]: +∞Zf (t′ )δ(t − t′ ) dt′ .g(t) = L[f (t)] = L g(t) =g(t) =+∞Zf (t′ )L [δ(t − t′ )] dt′ .−∞f (t′ )h(t − t′ ) dt′ .(45)−∞Èíòåãðàëüíàÿ îïåðàöèÿ (45) íàçûâàåòñÿ ñâ¼ðòêîé óíêöèé f (t) è h(t). Ñèìâîëè÷åñêè îðìóëà (45) çàïèñûâàåòñÿ â âèäåg(t) = f (t) ⊗ h(t).(46)Èòàê, âûõîäíîé ñèãíàë ëèíåéíîãî ñòàöèîíàðíîãî èëüòðà ÿâëÿåòñÿ ñâ¼ðòêîéâõîäíîãî ñèãíàëà ñ èìïóëüñíûì îòêëèêîì.Âàæíîå (è î÷åâèäíîå) ñâîéñòâî èìïóëüñíîé ðåàêöèè: óíêöèÿ h(t − t′ )ðàâíà òîæäåñòâåííî íóëþ ïðè t < t′ èìïóëüñíàÿ ðåàêöèÿ íå ìîæåò âîçíèêíóòü ïðåæäå, ÷åì ïîäåéñòâîâàë (â ìîìåíò t′ ) âõîäíîé δ -èìïóëüñ.ßñíî èç (45), ÷òî âûõîäíîé ñèãíàë â ìîìåíò âðåìåíè t çàâèñèò ëèøü îòçíà÷åíèÿ âõîäíîãî ñèãíàëà â ìîìåíòû âðåìåíè t′ , ïðåäøåñòâóþùèå t, âûõîäíîé ñèãíàë íå ìîæåò âîçíèêíóòü ðàíüøå, ÷åì ïîÿâèëñÿ íà âõîäå èëüòðàâõîäíîé ñèãíàë (ïîäûíòåãðàëüíàÿ óíêöèÿ â (45) òîæäåñòâåííî ðàâíà íóëþ ïðè t < t′ ).
Ýòî ñâîéñòâî âðåìåííûõ èëüòðîâ íàçûâàåòñÿ ïðèíöèïîìïðè÷èííîñòè.Ôîðìà ñèãíàëà íà âûõîäå èëüòðà ñóùåñòâåííî çàâèñèò îò ñîîòíîøåíèÿìåæäó ïîñòîÿííîé âðåìåíè èëüòðà τ è õàðàêòåðíûì âðåìåíåì τs , â òå÷åíèåêîòîðîãî âõîäíîé ñèãíàë ïðåòåðïåâàåò çàìåòíûå èçìåíåíèÿ. Åñëè çà èíòåðâàë âðåìåíè τ , ãäå èìïóëüñíûé îòêëèê çàìåòíî îòëè÷åí îò íóëÿ, âõîäíîéñèãíàë íå óñïåâàåò èçìåíèòüñÿ: f (t′ ) ≃ const ïðè |(t − t′ )| < τ (ò. å.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
