МУ - Моделированные колебания, спектральный анализ, линейная фильтрация (1238769), страница 2
Текст из файла (страница 2)
 ýòîì ñëó÷àå ìåäëåííîìåíÿþùèåñÿ âåëè÷èíû a(t) è ϕ(t) ïðèíÿòî íàçûâàòü àìïëèòóäîé è íà÷àëüíîéàçîé ìîäóëèðîâàííîãî êîëåáàíèÿ.Èòàê, êâàçèãàðìîíè÷åñêîå êîëåáàíèå ìîæíî õàðàêòåðèçîâàòü äâóìÿ ïàðàìåòðàìè: ïåðèîäîì íåñóùåãî êîëåáàíèÿ T0 = 2π/ω0 è âðåìåíåì τ ≫ T0 ,õàðàêòåðèçóþùèì áûñòðîòó èçìåíåíèÿ àìïëèòóäû a(t) è (èëè) íà÷àëüíîéàçû ϕ(t).Äëÿ ïåðåäà÷è ðàäèîñèãíàëîâ èñïîëüçóþòñÿ âûñîêî÷àñòîòíûå íåñóùèå êîëåáàíèÿ (îò ñîòåí êèëîãåðö äî ñîòåí ìåãàãåðö), â òî âðåìÿ êàê ìîäóëÿöèîííûå îòêëîíåíèÿ îò ñèíóñîèäàëüíîñòè, êîòîðûå îïèñûâàþòñÿ óíêöèÿìèa(t) è ϕ(t), õàðàêòåðèçóþòñÿ ñâîåé ìåäëåííîñòüþ, ò. å.
ñðàâíèòåëüíî íèçêèìèçâóêîâûìè ÷àñòîòàìè (îò äåñÿòêîâ äî òûñÿ÷ ãåðö), òàêèì îáðàçîì, íåðàâåíñòâî (6) âûïîëíÿåòñÿ, êàê ïðàâèëî, ñ áîëüøèì çàïàñîì. Äëÿ îïèñàíèÿ ìîäóëèðîâàííûõ êîëåáàíèé èñïîëüçóåòñÿ ñëåäóþùàÿ òåðìèíîëîãèÿ: ãîâîðÿò, ÷òîóíêöèÿ a(t) îïèñûâàåò çàêîí àìïëèòóäíîé ìîäóëÿöèè, à óíêöèÿ ϕ(t) çàêîí àçîâîé ìîäóëÿöèè. Èìåííî â ýòèõ óíêöèÿõ è çàëîæåíà ïåðåäàâàåìàÿèíîðìàöèÿ.Åñëè ϕ(t) = ϕ0 = const, òîà)á)èçîáðàæàåòñÿ âåêòîðîì S 0 , èìåþùèì èêñèðîâàííóþ äëèíó a0 è íàïðàâëåíèå ϕ0 , òîèñ.
8ìîäóëèðîâàííîå êîëåáàíèå íà òîé æå âåêòîðíîé äèàãðàììå åñòåñòâåííî èçîáðàçèòü â âèäå âåêòîðà, äëèíà êîòîðîãî a(t) è (èëè) óãîë íàêëîíà ϕ(t)ìåäëåííî èçìåíÿþòñÿ (ìåäëåííî åñëè ðå÷ü èä¼ò î êâàçèãàðìîíè÷åñêîìêîëåáàíèè).  ÷àñòíîñòè, àìïëèòóäíî-ìîäóëèðîâàííîå êîëåáàíèå (7) èçîáðàæàåòñÿ âåêòîðîì íåèçìåííîãî íàïðàâëåíèÿ ϕ0 , äëèíà êîòîðîãî èçìåíÿåòñÿ(ðèñ. 8à), à êîëåáàíèå (8), ìîäóëèðîâàííîå ïî àçå, âåêòîðîì íåèçìåííîéäëèíû, óãîë íàêëîíà êîòîðîãî ϕ(t) èçìåíÿåòñÿ (êà÷àíèÿ âåêòîðà íà ðèñ. 8á).Àðãóìåíò êîñèíóñà â (8) íàçûâàþò àçîé ìîäóëèðîâàííîãî êîëåáàíèÿΦ(t) = ω0 t + ϕ(t), ïðè÷¼ì â îòëè÷èå îò ãàðìîíè÷åñêîãî êîëåáàíèÿ ñêîðîñòüèçìåíåíèÿ àçû Φ̇ (âåëè÷èíà, êîòîðóþ ìîæíî íàçâàòü ÷àñòîòîé ω ) ÿâëÿåòñÿóíêöèåé âðåìåíèω(t) = Φ̇(t) = ω0 + ϕ̇(t).(11)Òàêîå êîëåáàíèå íàçûâàþò ìîäóëèðîâàííûì ïî àçå. îáùåì ñëó÷àå èìååì êàê àìïëèòóäíóþ, òàê è àçîâóþ ìîäóëÿöèþ, ò.
å.êîëåáàíèå âèäà (5).Ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå ðåàëüíîìó ìîäóëèðîâàííîìó êîëåáàíèþ (5) êîìïëåêñíóþ óíêöèþz(t) = a(t)ei[ω0 t+ϕ(t)] .(9)Åñëè âûïîëíåíî óñëîâèå êâàçèãàðìîíè÷íîñòè (6), òî ϕ̇(t) ≪ ω0 , ò. å. ìåíÿþùàÿñÿ âî âðåìåíè ÷àñòîòà ω(t) ìàëî îòêëîíÿåòñÿ îò ÷àñòîòû ω0 ãàðìîíè÷åñêîãî êîëåáàíèÿ (10).Îòìåòèì òàêæå, ÷òî åñëè ϕ(t) ìåíÿåòñÿ ïî ëèíåéíîìó çàêîíó ϕ(t) = Ωt,òî ìû ïîëó÷àåì èç (11)ω = ω0 + Ω,(12)Êîëåáàíèå (5) ÿâëÿåòñÿ äåéñòâèòåëüíîé ÷àñòüþ êîìïëåêñíîé óíêöèè z(t): f (t) = Re z(t).Ôóíêöèÿ z(t) ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ óíêöèè f0 (t) = a(t)eiϕ(t) , ñîäåðæàùåé âñþèíîðìàöèþ î çàêîíàõ ìîäóëÿöèè a(t) è ϕ(t), èóíêöèè eiω0 t ãàðìîíè÷åñêîãî íåñóùåãî êîëåáàíèÿ (çàïèñàííîãî â êîìïëåêñíîé îðìå)z(t) = f0 (t)eiω0 t .ò. å. ãàðìîíè÷åñêîå êîëåáàíèå ñî ñìåù¼ííîé ÷àñòîòîé, ïðè÷¼ì Ω ≪ ω0 ïðèóñëîâèè (6). ñèñòåìå êîîðäèíàò, â êîòîðîé ãàðìîíè÷åñêîå êîëåáàíèå ÷àñòîòû ω0 èçîáðàæàåòñÿ íåïîäâèæíûì âåêòîðîì, êîëåáàíèå ñ ÷àñòîòîé ω = ω0 +Ω èçîáðàæàåòñÿ âåêòîðîì, ìåäëåííî âðàùàþùèìñÿ ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè ñ ÷àñòîòîéΩ, åñëè Ω > 0 è ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå ïðè Ω < 0.Îñöèëëîãðàììû ïðîöåññîâ íà ðèñ.
6à, á ÿâëÿþòñÿ ïðèìåðàìè àìïëèòóäíîìîäóëèðîâàííûõ êîëåáàíèé, à íà ðèñ. 6â ïðèìåð êîëåáàíèÿ, ìîäóëèðîâàííîãî ïî àçå.1011plaements eiω0 tf0 (t)eiω0 tf0 (t)èñ. 74. Ñïåêòðàëüíîå ðàçëîæåíèåÊàêîâà ñâÿçü ìåæäó êîýèöèåíòàìè ýòèõ ðàçëîæåíèé: êîìïëåêñíûì êîýèöèåíòîì cn è äåéñòâèòåëüíûìè ÷èñëàìè an , ϕn ? Êàæäîå ñëàãàåìîå ðÿäà(14) ìîæíî ñ ïîìîùüþ îðìóëû Ýéëåðà:4.1. Äåéñòâèòåëüíàÿ è êîìïëåêñíàÿ îðìà ñïåêòðàëüíûõðàçëîæåíèéÈòàê, ïðè èçó÷åíèè ëèíåéíûõ ñèñòåì (èëüòðîâ) âîçíèêàåò íåîáõîäèìîñòü ïðåäñòàâëåíèÿ ïðîèçâîëüíîãî ñèãíàëà (ìîäóëèðîâàííîãî êîëåáàíèÿ)f (t) â âèäåXf (t) =cn eiωn t .(13)Ïðåäñòàâëåíèå (13) íàçûâàåòñÿ ðàçëîæåíèåì ñèãíàëà f (t) â ðÿä Ôóðüå, à îòäåëüíûå ñëàãàåìûå ðÿäà (ñîñòàâëÿþùèå ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ) cn eiωn tíàçûâàþò ãàðìîíèêàìè.
Ñîâîêóïíîñòü êîýèöèåíòîâ cn íàçûâàåòñÿ ñïåêòðîì óíêöèè f (t), ïðè ýòîì |cn | îïðåäåëÿåò àìïëèòóäó ãàðìîíèêè ÷àñòîòûωn , à arg cn íà÷àëüíóþ àçó.àâåíñòâî (13) óòâåðæäàåò, ÷òî ìîæíî ïîäîáðàòü àìïëèòóäû è àçû ñëàãàåìûõ ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé, à òàêæå èõ ÷àñòîòû òàê, ÷òîáû ïîëó÷èòüâ ñóììå çàäàííûé ñèãíàë f (t).  äàëüíåéøåì ìû áóäåì ãîâîðèòü (åñëè íå äåëàåòñÿ ñïåöèàëüíûõ îãîâîðîê) î ñèãíàëàõ, îïèñûâàåìûõ äåéñòâèòåëüíûìèóíêöèÿìè f (t). Ïîäðîáíåå óñëîâèÿ, íàëàãàåìûå íà óíêöèè f (t), ïðè âûïîëíåíèè êîòîðûõ âîçìîæíî ðàçëîæåíèå (13), èçó÷àþòñÿ â êóðñàõ ìàòåìàòèêè.Çäåñü æå îòìåòèì çàìå÷àòåëüíûå ìàòåìàòè÷åñêèå ñâîéñòâà ãàðìîíè÷åñêèõóíêöèé.Âî-ïåðâûõ, ãàðìîíè÷åñêîå êîëåáàíèå eiω0 t ÷àñòîòûìîæåò áûòü ïðåäPω0 íåñòàâëåíî ñóïåðïîçèöèåé ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèécn eiωn t äðóãèõ ÷àñòîòωn 6= ω0 , êàêèå áû êîýèöèåíòû cn , ò.
å. àìïëèòóäû è àçû ñëàãàåìûõãàðìîíèê, ìû íè ñòàðàëèñü ïîäîáðàòü. Ìàòåìàòè÷åñêè ýòî ñâîéñòâî íàçûâàþò îðòîãîíàëüíîñòüþ: óíêöèÿ eiω0 t íå èìååò ¾ïðîåêöèè¿ íà ëþáóþ äðóãóþóíêöèþ eiωn t ïðè ω0 6= ωn , ïîäîáíî òîìó êàê âåêòîð, ïàðàëëåëüíûé îñè z ,íåâîçìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììû âåêòîðîâ, ïàðàëëåëüíûõ îñÿì x è y .Âòîðîå âàæíåéøåå ìàòåìàòè÷åñêîå ñâîéñòâî åäèíñòâåííîñòü ïðåäñòàâëåíèÿ (13): ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé íàáîð íåîáõîäèìûõ ÷àñòîò ωn è åäèíñòâåííûé íàáîð îòâå÷àþùèõ ýòèì ÷àñòîòàì àìïëèòóä an è àç ϕn , îáåñïå÷èâàþùèõ ïðåäñòàâëåíèå óíêöèè f (t) â âèäå ñóïåðïîçèöèè ãàðìîíè÷åñêèõóíêöèé. Íàêîíåö, íå âäàâàÿñü â ìàòåìàòè÷åñêèå äåòàëè, îòìåòèì åù¼ îäíîâàæíîå îáñòîÿòåëüñòâî: ëþáîé èçè÷åñêè ðåàëèçóåìûé êîëåáàòåëüíûé ïðîöåññ ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí â âèäå ñóììû (áûòü ìîæåò, â âèäå íåïðåðûâíîéñóììû èíòåãðàëà) ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé.Íàðÿäó ñ ðàçëîæåíèåì (13) ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ ðàçëîæåíèå äåéñòâèòåëüíûõ óíêöèé â ðÿä Ôóðüå âèäàf (t) =Xan cos(ωn t + ϕn ).12(14)cos α =eiα + e−iα2ïðåäñòàâèòü â âèäåan cos(ωn t + ϕn ) =an iϕn iωn t an −iϕn −iωn te+e,ee22îòêóäà ÿñíî, ÷òî ðàçëîæåíèÿ (13) è (14) áóäóò òîæäåñòâåííû, åñëè ñóììèðîâàíèå â (13) ïðîâîäèòü êàê ïî ïîëîæèòåëüíûì ÷àñòîòàì ωn (èìåþùèì ïîíÿòíûé èçè÷åñêèé ñìûñë), òàê è ïî îòðèöàòåëüíûì (îðìàëüíî ââåä¼ííûì)÷àñòîòàì ωn , ïðè÷¼ì ñîîòâåòñòâóþùèå êîýèöèåíòû èìåþò âèäcn =1an eiϕn ,2c−n =1an e−iϕn2(15)(êîýèöèåíòû c−n ñîîòâåòñòâóþò îòðèöàòåëüíûì ÷àñòîòàì −ωn ), ò.å êàæäîìó ñëàãàåìîìó an cos(ωn t + ϕn ) ðÿäà (13) ñîîòâåòñòâóþò äâà ñëàãàåìûõcn eiωn t è c−n e−iωn t ðÿäà (14).Ìû âèäèì, ÷òî ïðè ðàçëîæåíèè{cn }äåéñòâèòåëüíûõ óíêöèé f (t) â ðÿäà)replaementsÔóðüå êîýèöèåíòûPSfragðàçëîæåíèÿc−n íà îòðèöàòåëüíûõ ÷àñòîòàõ ñâÿçàíû ñ êîýèöèåíòàìè cn ïðîñòûìϕ1ϕ2ñîîòíîøåíèåì cn = c∗−n , ò.
å. ÿâëÿϕ3ϕ4þòñÿ êîìïëåêñíî-ñîïðÿæ¼ííûìè. Òàωêèì îáðàçîì, ãàðìîíèêè ñ îòðèöà−ω4 −ω3 −ω2−ω1 0 ω1 ω2 ω3 ω4òåëüíûìè ÷àñòîòàìè íå íåñóò êàêîéëèáî äîïîëíèòåëüíîé èíîðìàöèè î{an }ñèãíàëå f (t).á)Ñïåêòð óíêöèè f (t) ïðèíÿòîèçîáðàæàòü â âèäå ãðàèêà (ðèñ. 9):äëèíà ñòðåëî÷êè íà êàæäîé ÷àñòîòå ωn îïðåäåëÿåòñÿ ìîäóëåì êîýèöèåíòà cn (ò.
å. àìïëèòóäîé ñîîòωâåòñòâóþùåãî ãàðìîíè÷åñêîãî êîëåωωωω12340áàíèÿ). Ñëåäóåò óêàçàòü òàêæå àçûèñ. 9ϕn ñïåêòðàëüíûõ êîìïîíåíò.Ñîîòâåòñòâóþùåå ðàçëîæåíèå (14) (â ðÿä êîñèíóñîâ) ïðåäñòàâëåíî íà ãðàèêå ðèñ. 9á: çäåñü íåò îòðèöàòåëüíûõ ÷àñòîò, à äëèíû ñòðåëî÷åê íà ïîëîæèòåëüíûõ ÷àñòîòàõ â ñîîòâåòñòâèè ñ (15) óäâàèâàþòñÿ. Ïðè ýòîì ïîñòîÿííûå13ñîñòàâëÿþùèå (íà ÷àñòîòå ω = 0) â ðàçëîæåíèÿõ (13) è (14) îäèíàêîâû: a0 == c0 .Ïîä÷åðêí¼ì åù¼ ðàç, ÷òî ìû ãîâîðèì î ðàçëîæåíèè â ðÿä Ôóðüå (ëèáîðÿä (13), ëèáî ðÿä (14)) äåéñòâèòåëüíûõ óíêöèé f (t).PSfragàññìîòðèì âíà÷àëå ëèøü íåñêîëüêî ïðîñòûõ èçè÷åñêè èíòåðåñíûõ ïðèìåðîâ.4.2. Ïðèìåðû ñïåêòðàëüíûõ ðàçëîæåíèéf (t) = a0 cos2 ω0 t.
Èñïîëüçóÿ èçâåñòíîå òðèãîíîìåòðè÷åñêîå òîæäåñòâî, çàïèøåìÇàäà÷à 2.f (t) =à)a0a0a0a0a0+cos 2ω0 t =+ ei2ω0 t + e−i2ω0 t .22244cnplaementsa02a04a04−2ω002ω0aná)a020a02(16)Ïåðâîå èç ðàâåíñòâ (16) ðàçëîæåíèå â ðÿä(14), âòîðîå â ðÿä (13). Êîíñòàíòó a0 /2 ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ãàðìîíè÷åñêîå êîëåáàíèå íóëåâîé ÷àñòîòû, ïîýòîìó ðàâåíñòâî (16) ω ýòî åñòü ïðåäñòàâëåíèå êîëåáàíèÿ f (t) â âèäåñóììû äâóõ ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé îäèíàêîâîé àìïëèòóäû a0 /2 ñ ÷àñòîòàìè ω1 = 0 èω2 = 2ω0 (âî âòîðîì ñëó÷àå ñ ÷àñòîòàìè 2ω0è −2ω0 ).
Ñïåêòð ïðîöåññà f (t) ïðåäñòàâëåí íàðèñ. 10à (ðàçëîæåíèå â ðÿä (13)) è íà ðèñ. 10áω (ðàçëîæåíèå â ðÿä (14)).2ω0èñ. 10àññìîòðèì àìïëèòóäíî-ìîäóëèðîâàííîå êîëåáàíèåÇàäà÷à 3.f (t) = a(t) cos ω0 t,ãäå a(t) = a0 (1 + m cos Ωt).(17)Êîíñòàíòà m < 1 íàçûâàåòñÿ ãëóáèíîé ìîäóëÿöèè. Ìû èìååìf (t) = a0 (1 + m cos Ωt) cos ω0 t =ma0ma0cos(ω0 + Ω)t +cos(ω0 − Ω)t.= a0 cos ω0 t +22(18)ma0ma0cos(ω0 + Ω)t, f2 (t) =cos(ω0 − Ω)t22ma00ñ ÷àñòîòàìè ñîîòâåòñòâåííî ω0 , ω0 + Ω, ω0 − Ω è àìïëèòóäàìè a0 , ma2 , 2 .Êîëåáàíèå f0 (t) íàçûâàåòñÿ íåñóùèì êîëåáàíèåì, à f1 (t) è f2 (t) áîêîâûìè ãàðìîíèêàìè. Óñëîâèå êâàçèãàðìîíè÷íîñòè êîëåáàíèÿ f (t): Ω ≪ ω0 .
Â14à)á)S0S1â)S0S2t=0t=T8S1S2ã)S1S0t=T4S0S1S2S2t=T2èñ. 11 ïðîöåññå êîëåáàíèé îñòà¼òñÿ íåèçìåííûì íàïðàâëåíèå ñóììàðíîãî âåêòîðà S = S 0 + S 1 + S 2 , èçìåíÿåòñÿ ëèøü åãî äëèíà (îò ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ a0 (1 + m) äî ìèíèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ a0 (1 − m)), ÷òî ñîîòâåòñòâóåòàìïëèòóäíîé ìîäóëÿöèè.Çàäà÷à 4. àññìîòðèì òåïåðü ïðèìåð àçîâîé ìîäóëÿöèè (êîëåáàíèå, ìîäóëèðîâàííîå ïî àçå):f (t) = a0 cos(ω0 t + ϕ(t)),ãäå ϕ(t) = m cos Ωt.(19)Êîíñòàíòà m ãëóáèíà ìîäóëÿöèè àçû îïðåäåëÿåò äèàïàçîí èçìåíåíèÿíà÷àëüíîé àçû (îò −m äî +m) èëè (åñëè îáðàòèòüñÿ ê âåêòîðíîé äèàãðàììå) ¾àìïëèòóäó êà÷àíèÿ¿ âåêòîðà S (ðèñ.
8á). Èñïîëüçóÿ èçâåñòíîå òðèãîíîìåòðè÷åñêîå òîæäåñòâîcos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β,Èòàê, àìïëèòóäíî-ìîäóëèðîâàííîå êîëåáàíèå ñ çàêîíîì ìîäóëÿöèè (17) ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå ñóììû òð¼õ ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé (òð¼õ ãàðìîíèê):f0 (t) = a0 cos ω0 t, f1 (t) =ýòîì ñëó÷àå öåëåñîîáðàçíî ðàññìàòðèâàòü êîëåáàíèÿ f1 (t) è f2 (t) êàê êîëåáàíèÿ ÷àñòîòû ω0 , íà÷àëüíàÿ àçà êîòîðûõ ìåíÿåòñÿ ïî çàêîíó ϕ1 (t) = +Ωt èϕ2 (t) = −Ωt.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
