МУ - Моделированные колебания, спектральный анализ, линейная фильтрация (1238769), страница 4
Текст из файла (страница 4)
19).  ÷àñòíîñòè, ïóñòü f0 (t) ïðÿìîóãîëüíûé èìïóëüñ äëèòåëüíîñòè τ (ðèñ. 20à):(1 ïðè |t| 6 τ /2,f0 (t) = Pτ (t) =0 ïðè |t| > τ /2.C(ω) =23Òîãäà f (t) = f0 (t) cos ω0 t îáðûâîê êîñèíóñîèäû (öóã) äëèòåëüíîñòè τPSfrag replaements(ðèñ. 20á). Ñîãëàñíî (29), ïîëó÷àåìτ sin(ω + ω0 )τ /2τ sin(ω − ω0 )τ /2C(ω) =+,2(ω − ω0 )τ /22(ω + ω0 )τ /2ihSfrag replaementsãäå C0 (ω) = τ sinωτωτ/2/2 ñïåêòð èìïóëüñà f0 (t) (ñì.
çàäà÷ó 6).Ñïåêòðû C0 (ω) è C(ω) ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 21.τà)C0 (ω)|S(ω)|C(ω)á)ω−3ω0 −2ω0τ /2ωωω0−ω0−ω002∆ωω02ω03ω0èñ. 23PSfrag replaementsC(ω)èñ. 21C0 (ω)Íàéòè ñïåêòð C(ω) ñèãíàëà f (t), ÿâëÿþùåãîñÿ ïåðèîäè÷åñêèìïîâòîðåíèåì ñèãíàëà f0 (t) ↔ C0 (ω):Çàäà÷à 11.f (t) =N−1Xn=0(ïðè êîíå÷íîì N ).f0 (t − nT )2∆ΩÈñïîëüçóÿ òåîðåìó ñìåùåíèÿ (28), ïîëó÷àåìθC(ω) = C0 (ω)plaementsNθθR θθÂûðàæåíèåS=N−1Xe−inθ(θ = ωT )ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü êàê ñóììó êîëåáàíèé,àçû êîòîðûõ ñîñòàâëÿþò àðèìåòè÷åñêóþ ïðîãðåññèþ. Íà âåêòîðíîé äèàãðàììå êàæäûé ïîñëåäóþùèé âåêòîð åäèíè÷íîé äëèíû ïîâ¼ðíóò íà óãîë θ ïî îòíîøåíèþ ê ïðåäûäóùåìó. Ïîëó÷àåì ÷àñòü ìíîãîóãîëüíèêà, âïèñàííîãî â îêðóæíîñòü, ðàäèóñR êîòîðîé ðàâåí (ðèñ.
22)1.R=2 sin 2θ242ω03ω0 4ω0Ñóììàðíûé âåêòîð èìååò äëèíóe−inωT .|S| = 2R sinsin N2θ2π − N θ=.2sin θ2Óãîë ïîâîðîòà âåêòîðà ϕ = (N − 1) 2θ . Ïîëó÷àåìN−1Xn=0èñ. 22ωω0èñ. 24n=0S1N−1X0n=0Îêîí÷àòåëüíî èìååìeinωT =sin N 2ωT i N −1 ωT.e 2sin ωT2C(ω) = C0 (ω)sin N 2ωT i N −1 ωTe 2.sin ωT2Ïîëó÷àåì íàáîð óçêèõ (ïðè N ≫ 1) ñïåêòðàëüíûõ ìàêñèìóìîâ âûñîòîé,sin N ωT2ðàâíîé N (ò. ê. sin ωT= N íà ÷àñòîòàõ ωn = nω0 , êðàòíûõ ω0 = 2πT ),225ñ ïîëóøèðèíîé ∆ω = N2πT , êîòîðóþ ìîæíî íàéòè èç óñëîâèÿ sin N ωT= 02(ðèñ.
23). Ìàêñèìóìû ïðîìîäóëèðîâàíû ¾îãèáàþùåé¿ óíêöèåé C0 (ω),ñïåêòðàëüíàÿ øèðèíà êîòîðîé îïðåäåëÿåòñÿ äëèòåëüíîñòüþ ñèãíàëà f0 (t):∆ω ≃ 2πτ . Ôóíêöèÿ C(ω) èìååò âèä, ïîêàçàííûé íà ðèñ. 24 (óíêöèÿ C0 (ω)èçîáðàæåíà íà ðèñóíêå ïóíêòèðîì).Ïðè N → ∞ âûñîòà ñïåêòðàëüíûõ ìàêñèìóìîâ ñòðåìèòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè, à èõ øèðèíà ∆ω ê íóëþ: ìû ïîëó÷àåì ¾÷àñòîêîë¿ δ -óíêöèé.Ñóììèðóÿ îòêëèêè, ïîëó÷àåìg(t) =12πZC(ω)H(ω)eiωt dω.Âûõîäíîé ñèãíàë èëüòðà g(t) (êàê è ëþáîé ñèãíàë) ìîæíî ïðåäñòàâèòü ëèáîâ âèäå ðÿäà Ôóðüå:Xg(t) =bn eiωn t ,(32)ëèáî â âèäå èíòåãðàëà Ôóðüå:5. Ëèíåéíàÿ èëüòðàöèÿ (ñïåêòðàëüíûé ìåòîä)Åù¼ ðàç îïèøåì àëãîðèòì ðåøåíèÿ çàäà÷è ëèíåéíîé èëüòðàöèè (ñïåêòðàëüíûé ìåòîä).1.
Ïåðâûé øàã ïðåäñòàâëåíèå âõîäíîãî ñèãíàëà èëüòðà â âèäå ñóïåðïîçèöèè ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé: ëèáî â âèäå ðÿäà Ôóðüå (13), ëèáî èíòåãðàëàÔóðüå (24). Ñïåêòð C(ω) âõîäíîãî ñèãíàëà f (t) íàõîäèòñÿ ñ ïîìîùüþ ñîîòíîøåíèé (22) èëè (25). ñëó÷àå äèñêðåòíîãî ñïåêòðà, íàïðèìåð ïåðèîäè÷åñêîé óíêöèè f (t),íàõîäèì íàáîð êîýèöèåíòîâ cn ðÿäà Ôóðüå ñ ïîìîùüþ îðìóëû (22).2.
Âòîðîé øàã íàõîæäåíèå ÷àñòîòíîé õàðàêòåðèñòèêè èëüòðà H(ω), ò. å.îòêëèêà èëüòðà íà ãàðìîíè÷åñêîå âíåøíåå âîçäåéñòâèå åäèíè÷íîé àìïëèòóäû:eiωt → L → H(ω)eiωt .Ñóììèðóÿ îòêëèêè íà êàæäîå ãàðìîíè÷åñêîå ñëàãàåìîå âõîäíîãî ñèãíàëàcn eiωn tcn eiωn t → L → cn H(ωn )eiωn t ,3.íàõîäèì ðåçóëüòèðóþùèé âûõîäíîé ñèãíàë èëüòðà g(t) (îòêëèê íà çàäàííîåâõîäíîå âîçäåéñòâèå f (t)):(31)g(t) =12πZB(ω)eiωt dω.(33)Èç ñðàâíåíèÿ (30) è (32), (31) è (33) ñëåäóåò, ÷òî ñïåêòð âûõîäíîãî ñèãíàëà(íàáîð êîýèöèåíòîâ ðàçëîæåíèÿ bn â ñëó÷àå äèñêðåòíîãî ñïåêòðà) ëèáîóíêöèÿ B(ω) (â ñëó÷àå íåïðåðûâíîãî ñïåêòðà) íàõîäÿòñÿ ñ ïîìîùüþ ðàâåíñòâbn = cn H(ωn ),B(ω) = C(ω) · H(ω),(34)êîòîðûå ëåæàò â îñíîâå ñïåêòðàëüíîãî ìåòîäà ðåøåíèÿ çàäà÷è ëèíåéíîéèëüòðàöèè. ÷àñòíîñòè, ðàâåíñòâà (34) ïîäñêàçûâàþò ïóòü ðåøåíèÿ çàäà÷è ñåëåêöèè,êîòîðàÿ âîçíèêàåò ïðè ïðè¼ìå ðàäèîñèãíàëîâ. Ïóñòü íà âõîä êîëåáàòåëüíîãîêîíòóðà ïðè¼ìíèêà ïîñòóïàþò ñèãíàëû äâóõ ðàäèîñòàíöèé, âåäóùèõ ïåðåäà÷è íà íåñóùèõ ÷àñòîòàõ ω0 è ω1 .
Ýòî ìîäóëèðîâàííûå êîëåáàíèÿfs (t) = a(t) cos(ω0 t + ϕ1 (t))èfn (t) = a(t) cos(ω1 t + ϕ2 (t)).1C(ωn )eiωn t dωîòêëèê íà êàæäîå ãàðìîíè÷åñêîå ñëàãàåìîå âõîäíîãî ñèãíàëà 2πåñòü11C(ωn )eiωn t dω → L →C(ωn )H(ωn )eiωn t dω.2π2πÈõ ñïåêòðû Cs (ω) è Cn (ω). Òðåáóåòñÿ âûäåëèòü ïîëåçíûé ñèãíàë fs (t) èîòñåÿòü ïîìåõè (ñèãíàë fn (t)).Òðåáîâàíèÿ, ïðåäúÿâëÿåìûå ê ÷àñòîòíîé õàðàêòåðèñòèêå êîíòóðà, âûòåêàþò èç ñîîòíîøåíèé (34).
Âî-ïåðâûõ, êîíòóð íåîáõîäèìî íàñòðîèòü íà íåñóùóþ ÷àñòîòó ñèãíàëà fs (t), ò. å. ðåçîíàíñíàÿ ÷àñòîòà êîíòóðà ωð äîëæíàñîâïàäàòü ñ ω0 : ωð ≃ ω0 . Ïðè ýòîì äîáðîòíîñòü êîíòóðà Q äîëæíà áûòü äîñòàòî÷íî áîëüøîé, ÷òîáû â ïðåäåëû ïîëîñû ïðîïóñêàíèÿ êîíòóðà ∆ω = ωQ0íå ïîïàëè ñïåêòðàëüíûå êîìïîíåíòû ïîìåõ ω1 , |ω1 −ω0 | > ∆ωê . Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ÷òîáû ïîëåçíûé ñèãíàë áûë ïðèíÿò áåç èñêàæåíèé, íåîáõîäèìî, ÷òîáûïîëîñà ÷àñòîò ïîëåçíîãî ñèãíàëà ∆Ω, îïðåäåëÿåìàÿ õàðàêòåðíûì âðåìåíåì τèçìåíåíèÿ óíêöèé a(t) è ϕ(t), îïèñûâàþùèõ çàêîí ìîäóëÿöèè (∆Ω·τ ≈ 2π ñîîòíîøåíèå íåîïðåäåë¼ííîñòåé), áûëà ìåíüøå ïîëîñû ïðîïóñêàíèÿ êîíòóðà∆Ω ≪ ∆ωê .
Âñåì ýòèì óñëîâèÿì óäîâëåòâîðÿåò ÷àñòîòíàÿ õàðàêòåðèñòèêà,2627g(t) =Xcn H(ωn )eiωn t.(30)n ñëó÷àå íåïðåðûâíîãî ñïåêòðà:1f (t) =2π∞ZC(ω)eiωt dω,−∞èçîáðàæ¼ííàÿ íà ðèñ. 25 (ïîêàçàíû ñèãíàëû fs (t) è fn (ω) ñ äèñêðåòíûìèñïåêòðàìè Cs (ω) è Cn (ω)).Sfrag replaementsÂõîäíîé ñèãíàëf (t) =èQdf=dtH(ω)∆ωêg(t) ≈ RC∆Ω1ω0ω1ωB(ω) = [Fs (ω) + Fn (ω)] · H(ω) ≃ Fs (ω) · H(ωð ) ≃ Q · Cs (ω).Ñïåêòðàëüíûå êîìïîíåíòû íà ÷àñòîòàõ ω ≈ ω1 îêàçûâàþòñÿ ïîäàâëåííûìè,ïîñêîëüêó B(ω) = Cn (ω) · H(ω) ≃ 0. Äåéñòâèòåëüíî, èç âûðàæåíèÿ äëÿ ÷àñòîòíîé õàðàêòåðèñòèêè ðåçîíàíñíîãî êîíòóðà (ñì.
çàäà÷ó 1) ñëåäóåò (ïðèQ ≫ 1): H(ω) ≈ 1 ïðè ω ≪ ωð , H(ω) ≈ Q ïðè ω ≈ ωð = ω0 è H(ω) ≈ (ωê /ω)2ïðè ω ≫ ωð . Ïîýòîìó ïåðâîå ñëàãàåìîåCs (ω)H(ω) ≃ Cs (ω)Q,ïðè ω ≫ ω0 ïðåíåáðåæèìî ìàëî. ω 20ωïðèω≪1.RCè ïðè ωRC ≫ 1 (ω ≫1,1 + iωRC1RC )1ïîëó÷àåì H(ω) ≈ iωRC. Âûõîäíîé ñèãíàëZ11g(t) ≈C(ω)eiωt dω.RC iωÂõîäíîé ñèãíàëf (t) =ZC(ω)eiωt dω,ïîýòîìóZtf (t′ ) dt′ =ZtZZ′1C(ω)eiωt dω.C(ω) eiωt dt′ dω =iω00Òàêèì îáðàçîì, èìååì èíòåãðèðóþùóþ öåïî÷êó:6.
Äèåðåíöèðóþùèå è èíòåãðèðóþùèå öåïî÷êèàññìîòðèì RC -öåïî÷êó, èçîáðàæ¼ííóþ íà ðèñ. 1á. ż ÷àñòîòíàÿ õàðàêòåðèñòèêà (ñì. çàäà÷ó 1, ñ. 6)1.H(ω) =dfdtH(ω) =Ñïåêòð âûõîäíîãî ñèãíàëà íàõîäèì ñ ïîìîùüþ (34):Cn (ω)H(ω) ≃ Cn (ω)iωC(ω)eiωt dω.2. Äëÿ RC -öåïî÷êè íà ðèñ. 1à (âûõîäíîé ñèãíàë g(t) íàïðÿæåíèå íà êîíäåíñàòîðå) èìååì (ñì. ñ. 6)èñ. 25à âòîðîåC(ω)eiωt dωÒàêèì îáðàçîì, èìååì äèåðåíöèðóþùóþ öåïî÷êó:Cn (ω)Cs (ω)ZZiωRC1 + iωRC1ïðè ωRC ≪ 1 (ò.
å. ïðè ω ≪ RC) åñòü H(ω) ≈ iωRC . Òîãäà âûõîäíîé ñèãíàë(íàïðÿæåíèå íà ñîïðîòèâëåíèè)ZZiωtg(t) = H(ω)C(ω)e dω ≈ RC (iω)C(ω)eiωt dω.281g(t) ≈RCZtf (t′ ) dt′0ïðèω≫1RC(ïîëàãàåì f (0) = 0).7. Äåìîäóëÿöèÿ è êâàäðàòè÷íîå äåòåêòèðîâàíèåÏîñëå òîãî êàê ñ ïîìîùüþ ëèíåéíîãî èëüòðà îñóùåñòâëåíà çàäà÷à ñåëåêöèè âûäåëåíèå èç ìíîæåñòâà ñèãíàëîâ èíòåðåñóþùåãî íàñ ïîëåçíîãîñèãíàëà f (t) = a(t) cos ω0 t + ϕ(t) (ìîäóëèðîâàííîãî êîëåáàíèÿ), íåîáõîäèìî29ðåøèòü ïðîáëåìó äåìîäóëÿöèè ïðåîáðàçîâàíèÿ âûñîêî÷àñòîòíîãî êîëåáàòåëüíîãî ïðîöåññà f (t) (ãàðìîíè÷åñêèå ñîñòàâëÿþùèå êîòîðîãî çàïîëíÿþòèíòåðâàë ÷àñòîò ω0 − ∆Ω < ω < ω0 + ∆Ω â îêðåñòíîñòè íåñóùåé ÷àñòîòûω0 ) â íèçêî÷àñòîòíûå ¾çâóêîâûå¿ êîëåáàíèÿ a(t) è ϕ(t), ñîäåðæàùèå íåïîñðåäñòâåííî ïåðåäàâàåìóþ èíîðìàöèþ (ðå÷ü, ìóçûêà, òåëåâèçèîííîå èçîáðàæåíèå è ò.
ï.). Òàêóþ òðàíñîðìàöèþ ÷àñòîò íåâîçìîæíî îñóùåñòâèòü ñïîìîùüþ ëèíåéíîãî èëüòðà. Ìû ðàññìîòðèì ìåòîä êâàäðàòè÷íîãî äåòåêòèðîâàíèÿ. Èäåàëüíûé êâàäðàòè÷íûé äåòåêòîð èìååò âîëüò-àìïåðíóþ õàðàêòåðèñòèêó i = const · V 2 . Äåìîäóëÿòîð äîëæåí âêëþ÷àòü â ñåáÿ òàêæå èíåðöèîííîå óñòðîéñòâî, ðåàãèðóþùåå íà íèçêî÷àñòîòíûå êîëåáàíèÿ, èç êîòîðûõñîñòîÿò çàêîíû ìîäóëÿöèè a(t) è ϕ(t), íî íå óñïåâàþùåå ñëåäèòü çà êîëåáàplaementsíèÿìè, ïðîèñõîäÿùèìè ñ ÷àñòîòàìè ïîðÿäêà ω0 .Ïóñòü óíêöèÿ a(t), îïèñûâàþùàÿ çàêîí àìïëèòóäíîéìîäóëÿöèè, ñîäåðæèò íèçêî÷àñòîòíûåDf (t)êîëåáàíèÿCÒXa(t) =cn einΩt .èñ. 26Òîãäà ìîäóëèðîâàííîå êîëåáàíèåf (t) = a(t) cos ω0 tñîäåðæèò ÷àñòîòû ω0 ± nΩ:f (t) =XÁóäåì ïîëàãàòü, ÷òî âðåìÿ óñðåäíåíèÿ ∆t óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ2π≪ ∆t ≪ τ,ω0ãäå τ õàðàêòåðíîå âðåìÿ èçìåíåíèÿ óíêöèé a(t) è ϕ(t), îïèñûâàþùèõçàêîí ìîäóëÿöèè ñèãíàëà f (t).àññìîòðèì ïðèìåðû.Íà âõîä êâàäðàòè÷íîãî äåòåêòîðà ïîäàíî àìïëèòóäíî-ìîäóëèðîâàííîå êîëåáàíèå f (t) = a(t) cos ω0 t.
Íàéòè ñèãíàë íà âûõîäå äåòåêòîðà.Çàäà÷à 12.1g(t) =∆tt+Z∆t2a2 (t′ ) cos2 ω0 t′ dt′ .t− ∆t2Ïîñêîëüêó ∆t ≪ τ (τ âðåìÿ, â òå÷åíèå êîòîðîãî óíêöèÿ a(t) ìîæåò çàìåòíî èçìåíèòüñÿ), òî íà èíòåðâàëå óñðåäíåíèÿ ∆t óíêöèþ a2 (t′ ) ìîæíîñ÷èòàòü êîíñòàíòîé, ðàâíîé çíà÷åíèþ a2 (t) â ñåðåäèíå èíòåðâàëà óñðåäíå∆t′íèÿ: a2 (t′ ) ≈ a2 (t) ïðè t − ∆t2 < t < t + 2 . Òîãäà ïîëó÷àåì1g(t) ≃ a2 (t) ·∆tcn ei(ω0 +nΩ)t ,(36)t+Z∆t2cos2 ω0 t′ dt′ =t− ∆t2à òîê äåòåêòîðà (ïðîïîðöèîíàëüíûé f (t)) åñòüXXi(t) =cn ei(ω0 +nΩ)t ·cm ei(ω0 +mΩ)t .21= a2 (t)∆t1∆tt− ∆t230111= a2 (t) + a2 (t)22∆tf 2 (t) dt.(35)t+Z∆t2cos 2ω0 t′ dt′ .t− ∆t2Ïîñëåäíåå ñëàãàåìîå ïðåíåáðåæèìî ìàëî ïî ñðàâíåíèþ ñ ïåðâûì, åñëè èíòåðâàë óñðåäíåíèÿ ñîäåðæèò áîëüøîå ÷èñëî ïåðèîäîâ çíàêîïåðåìåííîé óíêöèècos 2ω0 t′ (ò.
å. ïðè ∆t ≫ ωπ0 ). Îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåìg(t) ≃t+ ∆t2f (t) → D → g(t) = f 2 (t) =1(1 + cos 2ω0 t′ ) dt′ =2t− ∆t2Îí ñîäåðæèò êîìáèíàöèîííûå ÷àñòîòû âèäà (ω0 + nΩ) ± (ω0 + mΩ), êîòîðûåðàñïàäàþòñÿ íà âûñîêèå ÷àñòîòû 2ω0 + (n + m)Ω è íèçêèå ÷àñòîòû (n − m)Ω,çà êîòîðûìè òîëüêî è ìîæåò ñëåäèòü ðåãèñòðèðóþùèé ïðèáîð (òåëåîí).Íà ðèñ. 23 òåëåîí øóíòèðóåòñÿ ¼ìêîñòüþ, ïðîïóñêàþùåé âûñîêî÷àñòîòíóþ÷àñòü òîêà.Ìû íå áóäåì äàëåå èíòåðåñîâàòüñÿ êîíêðåòíûì óñòðîéñòâîì äåìîäóëÿòîðà êâàäðàòè÷íîãî äåòåêòîðà è áóäåì ïîëàãàòü, ÷òî ñèãíàë íà âûõîäå äåòåêòîðà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êâàäðàò âõîäíîãî ñèãíàëà, óñðåäí¼ííûé çà íåêîòîðîå âðåìÿ ∆t, îïðåäåëÿåìîå èíåðöèîííîñòüþ ðåãèñòðèðóþùåãî óñòðîéñòâàZt+Z∆t21 2a (t),2(37)ò. å.
ñèãíàë íà âûõîäå äåòåêòîðà ñîäåðæèò èíîðìàöèþ î çàêîíå àìïëèòóäíîé ìîäóëÿöèè âõîäíîãî ñèãíàëà.31Sfrag replaementsà)á)f (t)Íà âûõîäå êâàäðàòè÷íîãî äåòåêòîðà èìååìg(t)0t1g(t) =∆tt+Z∆t2m2 a20f˜2 (t′ ) dt′ ≃cos2 Ωt,2t− ∆t2èñ. 27Íà ðèñ. 27á èçîáðàæåíî êîëåáàíèå g(t) íà âûõîäå êâàäðàòè÷íîãî äåòåêòîðà ïðè a(t) = a0 (1 + m cos Ωt).Ïóñòü íà âõîä êâàäðàòè÷íîãî äåòåêòîðà ïîñòóïàåò àçîâî-ìîäóëèðîâàííîå êîëåáàíèåf (t) = a0 cos(ω0 t + ϕ(t)).Ñèãíàë íà âûõîäå äåòåêòîðàg(t) =1∆tt+Z∆t2a20 cos2 (ω0 t′ + ϕ(t′ )) dt′ .t− ∆t2Ïîñêîëüêó íà èíòåðâàëå óñðåäíåíèÿ óíêöèÿ ϕ(t′ ), îïèñûâàþùàÿ çàêîíàçîâîé ìîäóëÿöèè, îñòà¼òñÿ êîíñòàíòîé (ðàâíîé çíà÷åíèþ ϕ(t) â ñåðåäèíåèíòåðâàëà óñðåäíåíèÿ ϕ(t′ ) ≈ ϕ(t) ≈ ϕ0 ), òî ïîëó÷àåìg(t) ≃1 2a = const,2 0ò.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
