МУ - Моделированные колебания, спектральный анализ, линейная фильтрация (1238769), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Äðóãèìè ñëîâàìè, íà âåêòîðíîé äèàãðàììå, ãäå íåñóùåå êîëåáàíèå èçîáðàæàåòñÿ íåïîäâèæíûì âåêòîðîì S 0 , êîëåáàíèÿ f1 (t), f2 (t) èçîáreplaementsðàæàþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî âåêòîðàìè S 1 è S 2 , êîòîðûå âðàùàþòñÿ (ïðîòèâ èïî ÷àñîâîé ñòðåëêå) ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ Ω (ñ ïåðèîäîì T = 2π/Ω).Íà ðèñ. 11 ïîêàçàíû ïîñëåäîâàòåëüíûå ñòàäèè âåêòîðíîãî ñëîæåíèÿ íåñóùåãî êîëåáàíèÿ ñ áîêîâûìè ãàðìîíèêàìè.çàïèøåì f (t) â âèäåf (t) = a0 cos ω0 t cos ϕ(t) − sin ω0 t sin ϕ(t) . îáùåì ñëó÷àå çàêîí ìîäóëÿöèè (19) ïðèâîäèò ê äîâîëüíî ñëîæíîìó ñïåêòðó (ñ áîëüøèì ÷èñëîì ñëàãàåìûõ ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé).
Ìû ðàññìîòðèì ñëó÷àé m ≪ 1 (ìàëàÿ ãëóáèíà ìîäóëÿöèè àçû), êîãäà ìîæíî èñïîëüçîâàòü ïðèáëèæ¼ííûå âûðàæåíèÿ: cos ϕ(t) ≈ 1, sin ϕ(t) ≈ ϕ(t) (ìû îòáðàñûâàåìâåëè÷èíû ïîðÿäêà m2 è âûøå). Òîãäàf (t) = a0 cos ω0 t − a0 m sin ω0 t cos Ωt,15èëè (ò. ê. 2 sin α cos β = sin(α + β) + sin(α − β)):ma0π ma0πf (t) = a0 cos ω0 t ++. (20)cos (ω0 + Ω)t +cos (ω0 − Ω)t +2222Ýòî è åñòü èñêîìîå ïðåäñòàâëåíèå êîëåáàíèÿ f (t) â âèäå ñóììû ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé.Ñðàâíèì îðìóëû (18) è (20). Ïåðâàÿ èç íèõ ðàçëîæåíèå â ñïåêòðplaementsêîëåáàíèÿ, ìîäóëèðîâàííîãî ïî àìïëèòóäå, âòîðàÿ êîëåáàíèÿ, ìîäóëèðîâàííîãî ïî àçå. Ýòè êîëåáàíèÿ ñèëüíî ðàçëè÷àþòñÿ ïî îðìå (ñðàâíèòåîñöèëëîãðàììû íà ðèñ.
6á è 6â), îäíàêî èõ ñïåêòðû âåñüìà ïîõîæè (ðèñ. 12). îáîèõ ñëó÷àÿõ â ïðàâîé ÷àñòè òðè ñëàãàana0åìûõ, òðè ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèÿ, èìåþùèõma0 îäèíàêîâûå ÷àñòîòû (ω0 , ω0 ± Ω) è àìïëèòóäû2(a0 íåñóùèå êîëåáàíèÿ, ma0 /2 áîêîâûå ãàðìîíèêè). àçëè÷èå âûãëÿäèò íåáîëüøèì: áîêîâûåω0 ω0ãàðìîíèêèîòëè÷àþòñÿ àçîâûì ñäâèãîì π2 . Îäíàcnêî ýòî ðàçëè÷èå ïðèâîäèò ê êàðäèíàëüíîìó îòëè÷èþ â îðìå (â îñöèëëîãðàììå f (t)) ðåçóëüòèðóa02þùåãîñèãíàëà. Âåêòîðíûå äèàãðàììû íà ðèñ.
13ma0à)4ïîÿñíÿþòýòîò ðåçóëüòàò: ïîâîðîò âåêòîðîâ S 1 èá)ω0 ω S îòíîñèòåëüíî âåêòîðà S íà π (ðèñ. 13à, ñð. ñ−ω00202g replaementsèñ. 12ðèñ. 11à) ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî ñ òå÷åíèåì âðåìåíè (ðèñ. 13á, â, ã) ñóììàðíûé âåêòîð (èçîáðàæ¼í ïóíêòèðîì) èçìåíÿåò óãîëíàêëîíà, íå èçìåíÿÿ (ñ òî÷íîñòüþ äî âåëè÷èíû ïîðÿäêà m2 ) ñâîåé äëèíû,÷òî è ñîîòâåòñòâóåò àçîâîé ìîäóëÿöèè.
Ýòîò ïðèìåð ïîä÷¼ðêèâàåò, êàêóþîãðîìíóþ ðîëü èãðàþò àçîâûå ñîîòíîøåíèÿ ïðè ñëîæåíèè êîëåáàíèé.4.3. Ñïåêòð ïåðèîäè÷åñêîãî ïðîöåññààññìîòðèì òåïåðü ïåðèîäè÷åñêèé êîëåáàòåëüíûé ïðîöåññ îáùåãî âèäàf (t) = f (t + T ), ãäå T ïåðèîä ïðîöåññà.  ýòîì ñëó÷àå óíêöèÿ f (t) ìîæåòáûòü ïðåäñòàâëåíà ñóììîé ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé ñ êðàòíûìè ÷àñòîòàìèωn = nω0 , ãäå T = 2π/ω0 :f (t) =XnÄåéñòâèòåëüíî, äëÿ ëþáîãî t óíêöèÿ (21) ïîâòîðÿåò ñâî¼ çíà÷åíèå ÷åðåçâðåìÿ T , ïîñêîëüêóeinω0 (t+T ) = einω0 t einω0 T = ei2πn einω0 t = einω0 t .Ñïåêòð {cn } ìîæíî íàéòè ñëåäóþùèì îáðàçîì: äîìíîæèì îáå ÷àñòè ðàâåíñòâà (21) íà e−imω0 t è ïðîèíòåãðèðóåì ïî t çà âðåìÿ, ðàâíîå ïåðèîäó (îò − T2äî + T2 ).
Ïîëó÷èìTZ/2f (t)e−imω0 tdt =Xâ)á)t=0t=T8ã)t=T4TZ/2ei(n−m)ω0 t dt.−T /2Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî èíòåãðàë â ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà åñòüTZ/2ei(n−m)ω0 tdt =0Tïðè n 6= m,ïðè n = m.(Èíòåãðàë îò óíêöèé cos(n − m)ω0 t è sin(n − m)ω0 t çà âðåìÿ T , ðàâíîåöåëîìó ÷èñëó ïåðèîäîâ êîëåáàíèÿ ýòèõ óíêöèé, ðàâåí 0 ïðè n 6= m.) Ñëåäîâàòåëüíî, ïîëó÷àåìt=T2èñ. 13Èòàê, èçìåíèâ àçó íåñóùåãî êîëåáàíèÿ (èëè áîêîâûõ ãàðìîíèê) íà π2 ,ìû ìîæåì ïðåîáðàçîâàòü êîëåáàíèå, ìîäóëèðîâàííîå ïî àçå, â àìïëèòóäíîìîäóëèðîâàííîå êîëåáàíèå. Ýòî èçâåñòíûé â ðàäèîòåõíèêå ¾ïðè¼ì ñ èçìåíåíèåì àçû íåñóùåé¿.×èòàòåëü ìîæåò ñàìîñòîÿòåëüíî ïðîàíàëèçèðîâàòü ¾ïðè¼ì áåç íåñóùåé¿:÷òî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìîäóëèðîâàííîå êîëåáàíèå f (t), åñëè ¾óáðàòü¿ ïåðâîåñëàãàåìîå íåñóùåå êîëåáàíèå a0 cos ω0 t?16cnn−T /2−T /2à)(21)cn einω0 t .cm1=TTZ/2f (t)e−imω0 t dt.(22)−T /2Ôîðìóëà (22) äà¼ò ïðàâèëî íàõîæäåíèÿ êîýèöèåíòîâ ðàçëîæåíèÿ ïåðèîäè÷åñêîé óíêöèè â ðÿä Ôóðüå.Çàäà÷à 5.
Íàéòè ñïåêòð ïåðèîäè÷åñêîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïðÿìîóãîëüíûõèìïóëüñîâ äëèòåëüíîñòè τ ñ ïåðèîäîì ñëåäîâàíèÿ èìïóëüñîâ T > τ (ðèñ. 14).Èñïîëüçóÿ (22), íàõîäèì17plaements1èñóíîê ñîîòâåòñòâóåò ñèòóàöèè, êîãäà 3ω0 = ∆ω , T = 3τ . Êàê âèäíî èçðèñóíêà, ñïåêòðàëüíûå ãàðìîíèêè, èìåþùèå çàìåòíóþ àìïëèòóäó, ñîñðåäîòî÷åíû â èíòåðâàëå ÷àñòîò |ω| . ∆ω = 2π/τ .f (t)1cn =TtτTτZ/21 · e−inω0 t dt4.4. Ñïåêòð íåïåðèîäè÷åñêîãî ñèãíàëà−τ /2èñ.
14(íà èíòåðâàëå èíòåãðèðîâàíèÿ T /2 6 t 6 T /2 óíêöèÿ f (t) îòëè÷íà îò íóëÿè ðàâíà åäèíèöå ëèøü â îáëàñòè |t| < τ /2). Äàëåå1cn =TτZ/2−τ /2τ /2e−inω0 t1 1d(−inω0 t) =e−inω0 t =−inω0T −inω0−τ /2τ=22Teinω0 τ /2 − e−inω0 τ /2.2inω0 τ /2àññìîòðèì çàäà÷ó ðàçëîæåíèÿ â ñïåêòð ïðîèçâîëüíîãî ñèãíàëà f (t).Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ïðîèçâîëüíûé ñèãíàë íå ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí â âèäå (13) ëèáî (14), ò. å. â âèäå ñóììû ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé ñ äèñêðåòíûìíàáîðîì ÷àñòîò ωn .
 îáùåì ñëó÷àå íåîáõîäèì íåïðåðûâíûé íàáîð ãàðìîíèê, íåîáõîäèìî ñóììèðîâàòü ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ, ÷àñòîòû êîòîðûõíåïðåðûâíî çàïîëíÿþò íåêîòîðûé (áûòü ìîæåò, áåñêîíå÷íûé) èíòåðâàë ÷àñòîò. Òî åñòü íåîáõîäèìî èìåòü íå òîëüêî êîëåáàíèÿ ñ ÷àñòîòàìè ω1 , ω2 , . . .,ωn , íî òàêæå è âñå ÷àñòîòû â ïðîìåæóòêå ìåæäó íèìè. Ïðè ýòîì ðÿä (13)çàìåíÿåòñÿ èíòåãðàëîì Ôóðüå:Îêîí÷àòåëüíî íàõîäèìf (t) =cn =τTsin nω0 τ /2nω0 τ /2C(ω)ω0ω0 2ω02∆ωèñ. 15Ñïåêòð {cn } ïîêàçàí íà ðèñ. 15. Ïóíêòèðíîé êðèâîé èçîáðàæåíà óíêöèÿτ sin ωτ /2.C(ω) =Tωτ /2Î÷åâèäíî, ïðè ω = nω0 ýòà óíêöèÿ ïðèíèìàåò çíà÷åíèå, ðàâíîå cn : cn == C(nω0 ). Ïîëóøèðèíà ∆ω ãëàâíîãî ìàêñèìóìà ýòîé óíêöèè îïðåäåëÿåòñÿóñëîâèåì sin ωτ /2 = 0:τ∆ω · = π2èëè18(24)C(ω)eiωt dω.−∞(23).cnPSfrag replaements∞Z12πÌíîæèòåëü C(ω) = a(ω)eiϕ(ω) ïîêàçûâàåò, ñ êàêèì âåñîì (ò.
å. ñ êàêîé àìïëèòóäîé a(ω) è ñ êàêîé íà÷àëüíîé àçîé ϕ(ω)) íåîáõîäèìî ñêëàäûâàòü ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ ðàçíûõ ÷àñòîò, ÷òîáû ïðè ñóììèðîâàíèè (èíòåãðèðîâàíèè)îáðàçîâàòü çàäàííûé ñèãíàë f (t). Ôóíêöèÿ C(ω) íàçûâàåòñÿ ñïåêòðîì (èëèïðåîáðàçîâàíèåì Ôóðüå) ñèãíàëà f (t).Êàê íàéòè ñïåêòð, åñëè ñèãíàë f (t) èçâåñòåí? Ïðèâåä¼ì îðìóëó, âûâîäêîòîðîé äàí â ï. 8.3:∞ZC(ω) =(25)f (t)e−iωt dt.−∞Ñîîòíîøåíèå (25) ìàòåìàòèêè íàçûâàþò ïðÿìûì ïðåîáðàçîâàíèåì Ôóðüå, àîðìóëó (24) îáðàòíûì ïðåîáðàçîâàíèåì Ôóðüå.
Ñâÿçü (24) ìåæäó óíêöèÿìè f (t) è C(ω) ñèìâîëè÷åñêè çàïèñûâàåòñÿ â âèäå f (t) ↔ C(ω).Êàê ÿñíî èç (25), ñïåêòð äåéñòâèòåëüíîé óíêöèè (f (t) ≡ f ∗ (t)) îáëàäàåò îïðåäåë¼ííîé ñèììåòðèåé: C(ω) = C ∗ (−ω) è, ñëåäîâàòåëüíî, |C(ω)| == |C(−ω)| (∗ çíàê êîìïëåêñíîãî ñîïðÿæåíèÿ). Ìàòåìàòèêè íàçûâàþò ýòîñâîéñòâî ýðìèòîâîñòüþ.Çàäà÷à 6. àçëîæåíèå â ñïåêòð ïðÿìîóãîëüíîãî èìïóëüñà äëèòåëüíîñòè τ(ðèñ. 16à). Èñïîëüçóÿ (25), ïîëó÷àåìC(ω) =∆ω · τ = 2π.τZ/2−τ /2e−iωt1dt =−iωτZ/2−τ /219e−iωt d(−iωt) = τsin ωτ /2.ωτ /2PSfrag replaementsSfrag replaementsf (t)1C0 (ω)C(ω)2πτ− 2πτtτZ(ω)á)à)ω−Ω2∆ωωΩ02Ω0ω02Ωωèñ. 16èñ.
17Ôóíêöèÿ C(ω) ïîêàçàíà íà ðèñ. 16á.Ïîëåçíî ñðàâíèòü ñïåêòð îòäåëüíîãî èìïóëüñà ñî ñïåêòðîì ïåðèîäè÷åñêîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè îäèíàêîâûõ èìïóëüñîâ (ðèñ. 15): ñïåêòð èìïóëüñàC(ω) (ñ ìíîæèòåëåì 1/T ) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ¾îãèáàþùóþ¿ ÷àñòîêîëà ñïåêòðàëüíûõ êîìïîíåíò cn ïåðèîäè÷åñêîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èìïóëüñîâ.
Âìåñòî äèñêðåòíîãî ñïåêòðà {cn } ïîëó÷àåì íåïðåðûâíûé ñïåêòð C(ω).Ìîäóëü óíêöèè C(ω) îïðåäåëÿåò àìïëèòóäû ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèéðàçíûõ ÷àñòîò, ñóììà êîòîðûõ îáðàçóåò èìïóëüñ f (t). Êàê âèäíî èç ãðàèêà,îñíîâíîé âêëàä äàþò ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ, ÷àñòîòû êîòîðûõ çàïîëíÿþò èíòåðâàë |∆ω| < 2πτ . Ýòî ïîëóøèðèíà ãëàâíîãî ìàêñèìóìà óíêöèèsin ωτ /2.Äèàïàçîí÷àñòîò∆ω ìîæíî íàçâàòü øèðèíîé ñïåêòðà C(ω).ωτ /2Ìû ïîëó÷èëè çàìå÷àòåëüíîå ñîîòíîøåíèå, ñâÿçûâàþùåå ìåæäó ñîáîéäëèòåëüíîñòü ñèãíàëà ñ øèðèíîé åãî ñïåêòðà:ò. å.
ñïåêòð ïåðåíîñèòñÿ ïî îñè ÷àñòîò íà âåëè÷èíó ω0 (ðèñ. 17).Èç îðìóëû (27) ÿñíî, ÷òî åñëè ñïåêòð óíêöèè f0 (t) ëîêàëèçîâàí â îáëàñòè ÷àñòîò |ω| 6 Ω (ðèñ. 17à), òî ñïåêòð êîìïëåêñíîé óíêöèè z(t) íåñîäåðæèò îòðèöàòåëüíûõ ÷àñòîò (ðèñ. 17á) Z(ω) ≡ 0 ïðè ω < 0, åñëè ω0 > Ω.(26)τ · ∆ω ≈ 2π.Ýòî ñîîòíîøåíèå èìååò óíèâåðñàëüíûé õàðàêòåð.
Îíî îêàçûâàåòñÿ ñïðàâåäëèâûì ïî ïîðÿäêó âåëè÷èíû äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ñèãíàëà f (t). ×åì áîëüøåäëèòåëüíîñòü ñèãíàëà (ëèáî áîëüøå èíòåðâàë âðåìåíè, â òå÷åíèå êîòîðîãîïðîèñõîäèò åãî çàìåòíîå èçìåíåíèå), òåì óæå ñïåêòð ñèãíàëà ∆ω , è, íàîáîðîò, ÷åì êîðî÷å ñèãíàë (èëè áûñòðåå ïðîèñõîäèò èçìåíåíèå ñèãíàëà), òåìøèðå åãî ñïåêòð, ò. å.
òðåáóåòñÿ áîëåå øèðîêèé èíòåðâàë ÷àñòîò ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé, îáðàçóþùèõ â ñóììå äàííûé ñèãíàë.  ýòîì ñîñòîèò ñìûñëçàìå÷àòåëüíîãî ñîîòíîøåíèÿ (26), êîòîðîå íàçûâàåòñÿ ñîîòíîøåíèåì íåîïðåäåë¼ííîñòåé.Ñïåêòð óíêöèè f0 (t) åñòü C0 (ω): f0 (t) ↔ C0 (ω). Íàéòè ñïåêòðZ(ω) êîìïëåêñíîé óíêöèè z(t) = f0 (t)eiω0 t .Ñîãëàñíî (25) çàïèøåìÇàäà÷à 8.Íàéòè ñâÿçü ìåæäó ñïåêòðîì ìîäóëèðîâàííîãî êîëåáàíèÿf (t) = a(t) cos[ω0 t + ϕ(t)]è ñïåêòðîì êîìïëåêñíîé óíêöèèãäå f0 (t) = a(t)eiϕ(t) êîìïëåêñíàÿ óíêöèÿ, ñîäåðæàùàÿ âñþ èíîðìàöèþî ìåäëåííî ìåíÿþùèõñÿ çàêîíàõ ìîäóëÿöèè τ > 2π/ω0 . Ïîëó÷àåì, ÷òî ñïåêòðC0 (ω) óíêöèè f0 (t) îòëè÷åí îò íóëÿ ëèøü â îáëàñòè ÷àñòîò |ω| 6 Ω ≃ 2π/τ ,ïðè÷¼ì ω0 > Ω.Îòìåòèì, ÷òî ñàìè óíêöèè f (t) è z(t), ñîãëàñíî îðìóëå Ýéëåðà, ñâÿçàíû î÷åâèäíûì ðàâåíñòâîì:f (t) = Re z(t) =Z(ω) =−∞f0 (t)eiω0 t·e−iωtdt =∞Zf0 (t)e−∞20−i(ω−ω0 )tdt = C0 (ω − ω0 ).(27)1[z(t) + z ∗ (t)].2Ïîñêîëüêó Z(ω) ≡ 0 ïðè ω < 0, òî z(t) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå1z(t) =2πÇàäà÷à 7.∞Zf (t) = Re z(t),z(t) = a(t)ei[ω0 t+ϕ(t)] = f0 (t)eiω0 t ,∞ZZ(ω)eiωt1dω =2π∞ZZ(ω)eiωt dω.0−∞Òîãäà äëÿ êîìïëåêñíî-ñîïðÿæ¼ííîé óíêöèè z ∗ (t) èìååì1z (t) =2π∗∞Z∗Z (ω)e−iωt1dω =2π0Z0−∞21Z ∗ (−ω)eiωt dω,îòêóäà ÿñíî, ÷òî óíêöèÿ z ∗ (t) èìååò ñïåêòð Z ∗ (−ω), îòëè÷íûé îò íóëÿ ëèøüâ îáëàñòè ÷àñòîò ω < 0.
Ñêëàäûâàÿ ëåâûå è ïðàâûå ÷àñòè äâóõ ïîñëåäíèõðàâåíñòâ, íàõîäèì∞Z12f (t) =2πplaements[Z(ω) + Z ∗ (−ω)]eiωt dω.−∞Òàêèì îáðàçîì, ñïåêòð C(ω) ìîäóëèðîâàííîãî êîëåáàíèÿ f (t) èìååò âèäC(ω)12 Z(ω)1 ∗2 Z (−ω)Ìíîæèòåëü e−iωτ (íå çàâèñÿùèé îò ïåðåìåííîé èíòåãðèðîâàíèÿ t′ ) âûíîñèòñÿèç-ïîä çíàêà èíòåãðàëà:∞Z′−iωτC(ω) = e(28)f0 (t′ )e−iωt dt′ = C0 (ω) · e−iωτ ,−∞èëè ñèìâîëè÷åñêè f0 (t − τ ) ↔ C0 (ω)e−iωτ , ò.å. ñìåùåíèå ñèãíàëà âî âðåìåíèíà τ (çàïàçäûâàíèå) ïðèâîäèò ê óìíîæåíèþ åãî ñïåêòðà íà e−iωτ (òåîðåìàñìåùåíèÿ).11PSfrag replaementsZ(ω) + Z ∗ (−ω),22ò.
å. ðàâåí ñóììå äâóõ íåïåðåêðûâàþùèõñÿñïåêòðîâ (ðèñ. 18).ÑîîòâåòñòâåííîC0 (ω)C(ω) =−ω00ωω0èñ. 18Z(ω) =2C(ω) ïðè0ïðèω > 0,ω < 0.Âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ öåëåñîîáðàçíî ðåøàòü çàäà÷ó ðàçëîæåíèÿ â ñïåêòððåàëüíîãî ìîäóëèðîâàííîãî êîëåáàíèÿC(ω)ωz(t) = a(t)ei[ω0 t+ϕ(t)] ,êîòîðûé íå ñîäåðæèò îòðèöàòåëüíûõ ÷àñòîò, åñëè ðå÷ü èä¼ò î ìåäëåííî ìåíÿþùèõñÿ âî âðåìåíè çàêîíàõ ìîäóëÿöèè a(t) è ϕ(t). Òîãäà ñïåêòð C(ω) ðåàëüíîãî êîëåáàòåëüíîãî ïðîöåññà ñîâïàäàåò (ñ òî÷íîñòüþ äî ìíîæèòåëÿ 1/2) ñîñïåêòðîì êîìïëåêñíîãî ñèãíàëà z(t) ïðè ω > 0. Ñïåêòð æå C(ω) ïðè ω < 0 âñèëó ñâîéñòâà ýðìèòîâîñòè óðüå-îáðàçà äåéñòâèòåëüíîé óíêöèè íàõîäèòñÿñ ïîìîùüþ ðàâåíñòâà C(−ω) = C ∗ (ω).Çàäà÷à 9.
Ñïåêòð óíêöèè f0 (t) åñòü C0 (ω): f0 (t) ↔ C0 (ω). Íàéòè ñïåêòðóíêöèè f (t) = f0 (t − τ ).Èìååì∞ZC(ω) =f0 (t − τ )e−iωt dt.−∞Ïîñëå çàìåíû ïåðåìåííûõ t = t − τ (dt = dt′ ) ïîëó÷àåì′C(ω) =∞Z′f0 (t′ )e−iω(t +τ ) dt′ .−∞22ω0−ω0èñ. 19PSfrag replaementsà)f0 (t)á)f (t) = a(t) cos[ω0 t + ϕ(t)],íàéäÿ ñïåêòð êîìïëåêñíîé óíêöèèωf (t)ttτ2− τ2− τ2τ2èñ. 20Ïóñòü f0 (t) ↔ C0 (ω). Íàéòè ñïåêòð C(ω) óíêöèè f (t) == f0 (t) cos ω0 t.Èñïîëüçóÿ îðìóëó Ýéëåðà, çàïèøåìÇàäà÷à 10.11f0 (t)eiω0 t + f0 (t)e−iω0 t .22Ñîãëàñíî ðåøåíèþ çàäà÷è 7, èìååìf (t) =11(29)C0 (ω − ω0 ) + C0 (ω + ω0 ),22ò. å. ñïåêòð C0 (ω) (óìíîæåííûé íà 1/2) ïåðåíîñèòñÿ ïî îñè ÷àñòîò âëåâî èâïðàâî íà íåñóùóþ ÷àñòîòó ω0 (ðèñ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
