МУ - Моделированные колебания, спектральный анализ, линейная фильтрация (1238769), страница 6
Текст из файла (страница 6)
ïðèτs ≫ τ ), òî ñîãëàñíî (45)g(t) ≃ f (t)−∞Äàëåå, ìåíÿÿ ïîðÿäîê ëèíåéíûõ îïåðàöèé, ïîëó÷àåì+∞Z+∞Zh(t − t′ ) dt′ = K · f (t),−∞ãäåK=+∞Zh(t − t′ ) dt′ = const.−∞åçóëüòàò âîçäåéñòâèÿ δ -èìïóëüñà δ(t − t′ ), âîçíèêàþùåãî íà âõîäå ëèíåéíîé ñèñòåìû â ìîìåíò âðåìåíè t = t′ , ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé èìïóëüñíóþ ýòîì ñëó÷àå ñèãíàë íà âûõîäå èëüòðà ïîâòîðÿåò îðìó âõîäíîãî ñèãíàëà.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå èëüòð óñðåäíÿåò è ñãëàæèâàåò áûñòðûå èçìåíåíèÿâõîäíîãî ñèãíàëà, ïðîèñõîäÿùèå çà âðåìÿ τs < τ .3839Ñóùåñòâóþò, òàêèì îáðàçîì, äâà ïîäõîäà ê ðåøåíèþ çàäà÷è ëèíåéíîéèëüòðàöèè. Îäèí ïîäõîä íàçûâàþò âðåìåííûì: ñîîòíîøåíèå (45) ñâÿçûâàåòìåæäó ñîáîé óíêöèè âðåìåíè âõîäíîé è âûõîäíîé ñèãíàëû f (t) è g(t),ïðè ýòîì ñâîéñòâà èëüòðà ïîëíîñòüþ îïèñûâàþòñÿ èìïóëüñíûì îòêëèêîìh(t).Äðóãîé ïîäõîä (ñïåêòðàëüíûé) ïðèâîäèò ê ñîîòíîøåíèþÎáðàçóåì âñïîìîãàòåëüíûé ñèãíàë f˜(t), ñïåêòð êîòîðîãî C̃(ω) ÿâëÿåòñÿïåðèîäè÷åñêèì ïîâòîðåíèåì C(ω) (ðèñ.
33) ñ ïåðèîäîì ω0 :B(ω) = C(ω) · H(ω),ïðè÷¼ì ω0 > 2Ω, ò. å. îòäåëüíûå ñëàãàåìûå â ñóììå (47) íå ïåðåêðûâàþòñÿ(ðèñ. 33).Î÷åâèäíî, ÷òî ñïåêòð C(ω) ìîæåò áûòü ïîëó÷åí èç C̃(ω) óìíîæåíèåìïîñëåäíåãî íà åäèíè÷íî-íóëåâóþ óíêöèþ:1 ïðè |ω| 6 ω0 /2,P (ω) =0 ïðè |ω| > ω0 /2ò. å. äà¼ò ñâÿçü ìåæäó ñïåêòðàìè (ïðåîáðàçîâàíèÿìè Ôóðüå) âõîäíîãî C(ω)è âûõîäíîãî B(ω) ñèãíàëîâ. Ïðè òàêîì ïîäõîäå ñâîéñòâà ëèíåéíîãî èëüòðàîïèñûâàþòñÿ ÷àñòîòíîé õàðàêòåðèñòèêîé H(ω), êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ óðüå-ïðåîáðàçîâàíèåì èìïóëüñíîãî îòêëèêà.Ìû äîêàçàëè ïîïóòíî âàæíóþ òåîðåìó óðüå-àíàëèçà: óðüå-ïðåîáðàçîâàíèå ñâ¼ðòêè äâóõ óíêöèé f1 (t) è f2 (t) ðàâíî ïðîèçâåäåíèþ óðüå-îáðàçîâC1 (ω) è C2 (ω) ñâîðà÷èâàåìûõ óíêöèé:f1 (t) ⊗ f2 (t) ↔ C1 (ω) · C2 (ω).( íàøåì ñëó÷àå f1 (t) = f (t) âõîäíîé ñèãíàë èëüòðà f2 (t) = h(t) åãî èìïóëüñíûé îòêëèê, C1 (ω) è C2 (ω) = H(ω) ñîîòâåòñòâåííî èõ ïðåîáðàçîâàíèÿÔóðüå.)8.5.
Òåîðåìà ÊîòåëüíèêîâàÄëÿ öåëåé îáðàáîòêè èíîðìàöèè ÷àñòî íåîáõîäèìî çàäàâàòü ñèãíàë f (t)íàáîðîì âûáîðî÷íûõ çíà÷åíèé f (tn ), âçÿòûõ â äèñêðåòíîé ñîâîêóïíîñòè ìîìåíòîâ âðåìåíè tn . ßñíî, ÷òî åñëè âûáîðî÷íûå çíà÷åíèÿ âçÿòû äîñòàòî÷íîáëèçêî äðóã ê äðóãó, òî ñèãíàë äîñòàòî÷íî òî÷íî àïïðîêñèìèðóåòñÿ ïóò¼ì èíòåðïîëèðîâàíèÿ ïî ýòèì çíà÷åíèÿì. Íî îêàçûâàåòñÿ, ÷òî äëÿ îïðåäåë¼ííîãîêëàññà ñèãíàëîâ âîçìîæíî òî÷íîå âîññòàíîâëåíèå ñèãíàëà ïî åãî âûáîðî÷íûì çíà÷åíèÿì (ò.
å. íàáîð âûáîðî÷íûõ çíà÷åíèé â äèñêðåòíûå ìîìåíòûâðåìåíè tn îïðåäåëÿåò àáñîëþòíî òî÷íî çíà÷åíèÿ ñèãíàëà â ëþáîé ïðîìåg replaementsæóòî÷íûé ìîìåíò âðåìåíè). Ýòî êëàññ ñèãíàëîâ ñ èíèòíûì ñïåêòðîì.Èòàê, ïóñòü èìååòñÿ ñèãíàë f (t), ñïåêòð êîòîðîãî C(ω) îòëè÷åí îò íóëÿ ëèøü â èíòåðâàëå ÷àñòîò |ω| 6 Ω (ñèãíàë ñ èíèòíûì ñïåêòðîì), ò. å.C(ω) ≡ 0 ïðè |ω| > Ω (Ω = ωmax ìàêñèìàëüíàÿ ÷àñòîòà â ñïåêòðå C(ω)).P (ω)ω0C(ω)02Ωω0èñ. 3340∞Xn=−∞(47)C(ω − nω0 ),(óíêöèÿ P (ω) ïðÿìîóãîëüíèê øèðèíû ω0 , ïîêàçàííûé íà ðèñóíêå ïóíêòèðîì):C(ω) = P (ω) · C̃(ω).(48)Ïóñòü íà âõîä ëèíåéíîãî èëüòðà ñ ÷àñòîòíîé õàðàêòåðèñòèêîé H(ω) = P (ω)ïîñòóïàåò ñèãíàë f˜(t), ñïåêòð êîòîðîãî C̃(ω). Ôèëüòð ñ òàêîé õàðàêòåðèñòèêîé ïðîïóñêàåò áåç èñêàæåíèÿ ãàðìîíèêè ñ ÷àñòîòàìè |ω| 6 ω0 /2 è îáðåçàåòâñå ãàðìîíèêè âõîäíîãî ñèãíàëà ïðè |ω| > ω0 /2.
Íà âûõîäå èëüòðà ìû ïîëó÷àåì ñîãëàñíî (48) ñèãíàë f (t) ñî ñïåêòðîì C(ω).Ôóíêöèþ C̃(ω), êàê è ëþáóþ ïåðèîäè÷åñêóþ óíêöèþ (å¼ ïåðèîä ðàâåíω0 ), ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ðÿäà Ôóðüå (21):∞XC̃(ω) =2πcn ein ω0 ω ,(49)n=−∞ãäå êîýèöèåíòû cn íàõîäÿòñÿ ñ ïîìîùüþ (22):ω021cn =ω0Zω− 20C̃(ω)e2πω−in ω01dω =ω0ZΩ2πC(ω)e−in ω0 ω dω(50)−ΩC̃(ω)ω−ω0C̃(ω) =ω02ω0(íà èíòåðâàëå [− ω20 , ω20 ] óíêöèÿ C̃(ω) îòëè÷íà îò íóëÿ ëèøü ïðè |ω| < Ωè ñîâïàäàåò íà ýòîì èíòåðâàëå ñ C(ω)). Ñðàâíèâàÿ ïîñëåäíåå âûðàæåíèå ñîðìóëîé (24), äàþùåé ðàçëîæåíèå óíêöèè f (t) â èíòåãðàë Ôóðüå, ïîëó÷àåì2π2πcn =f nω0ω041è, ïîäñòàâëÿÿ ýòè çíà÷åíèÿ cn â (49), èìååì∞2π2π2π Xf n· ein ω0 ω ,C̃(ω) =ω0 n=−∞ω0f (t)(51)ò. å.
êîýèöèåíòû ðÿäà Ôóðüå (49) îïðåäåëÿþòñÿ çíà÷åíèÿìè óíêöèè f (t)â îòñ÷¼òíûõ òî÷êàõ tn = 2πω0 n. Èñïîëüçóÿ îðìóëó (51) äëÿ C̃(ω), íàõîäèì èç(48):∞X2π2πin 2π ωC(ω) =(52)e ω0 .P (ω) ·f nω0ω0n=−∞Íàéäåííîå âûðàæåíèå äëÿ ñïåêòðà C(ω) èñïîëüçóåì äëÿ íàõîæäåíèÿ ñîáñòâåííî ñèãíàëà f (t) (îðìóëà (24)):#Z"∞X2π2π2π1in ωωe 0 e−iωt dω,P (ω)f nf (t) =2πω0ω0n=−∞èëèf (t) =Z∞2π1 X2πf nP (ω)ein ω0 ω e−iωt dω.ω0 n=−∞ω0Èíòåãðàë â ïîñëåäíåì âûðàæåíèè ìîæíî çàïèñàòü â âèäå∞Z−∞ω02P (ω)e2π−iω(t−n ω0)Zdω =−e2π−iω(t−n ω)ω020dω = 2sin ω20 (t − n 2πω0 )t − n 2πω0(ñì. çàäà÷ó 6 íà ñ. 19).Îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì îðìóëó, âûðàæàþùóþ ñîäåðæàíèå òåîðåìû Êîòåëüíèêîâà:∞ω2πX2π sin 20 (t − n ω0 )f (t) =f n(53).ω02πω02 (t − n ω0 )n=−∞PSfrag replaementst0tmèñ.
34íàçûâàþòñÿ óíêöèÿìè îòñ÷¼òîâ. Îíè îáëàäàþò çàìå÷àòåëüíûì ñâîéñòâîì: âìîìåíò âðåìåíè tm = m ω2π0 â ñóììå (53) îêàçûâàåòñÿ îòëè÷íûì îò íóëÿ òîëüêî îäíî ñëàãàåìîå ñ n = m, ò. å. ¾âêëþ÷àåòñÿ¿ îäíà èç óíêöèé îòñ÷¼òîâ,âñå ïðî÷èå ñëàãàåìûå (ñ n 6= m) îáðàùàþòñÿ â ýòîò ìîìåíò â íóëü. Äåéñòâèòåëüíî, ïðè t = tm = m ω2π0 óíêöèÿ αm (t) = 1, ïðè ýòîì âñå αn (tm ) = 0 ïðèn 6= m. Èëëþñòðàöèåé ýòîãî ñâîéñòâà óíêöèé îòñ÷¼òîâ ÿâëÿåòñÿ ðèñ. 34, ãäåïóíêòèðîì ïîêàçàíà óíêöèÿ αm (t) (óìíîæåííàÿ íà çíà÷åíèå ñèãíàëà f (t)â ìîìåíò âðåìåíè tm ).  ëþáîé ïðîìåæóòî÷íûé ìîìåíò âðåìåíè t 6= n ω2π0âêëàä â ñèãíàë f (t) äàþò âñå ñëàãàåìûå â ñóììå (53).ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÀÒÓÛ1.
Ñèâóõèí Ä.Â. Îáùèé êóðñ èçèêè. Ýëåêòðè÷åñòâî. Ò. 3. Ì: Íàóêà, 1983.2. Ôåéíìàí ., Ëåéòîí ., Ñýíäñ Ì. Ôåéíìàíîâñêèå ëåêöèè ïî èçèêå. Ò. 2. 5. Ì: Ìèð. 1966.Èç èçëîæåííîãî ÿñíî, ÷òî èìååòñÿ ïðîèçâîë â âûáîðå èíòåðâàëà ìåæäóππîòñ÷¼òíûìè òî÷êàìè ëèøü áû îí áûë íå áîëüøå âåëè÷èíû Ω; ( 2πω0 6 Ωïîñêîëüêó ω0 > 2Ω).  ïðîòèâíîì ñëó÷àå îòäåëüíûå ñëàãàåìûå â ïåðèîäè÷åñêîì ïîâòîðåíèè ñïåêòðà C(ω) áóäóò ¾íàëàãàòüñÿ¿ äðóã íà äðóãà, è ñèãíàë íàâûõîäå èëüòðà ñ ÷àñòîòíîé õàðàêòåðèñòèêîé P (ω) îêàæåòñÿ èñêàæ¼ííûì:èëüòð ¾ïðîïóñòèò¿ íå òîëüêî ãàðìîíèêè, ñîäåðæàùèåñÿ â ñïåêòðå C(ω), íîè ÷àñòè÷íî ãàðìîíèêè ñìåù¼ííûõ ñëàãàåìûõ C(ω ± nω0 ) (ðèñ.
33).Ôóíêöèè2πsin ω0 (t − n ω)0αn (t) = ω0 22π2 (t − n ω0 )4243ÑîäåðæàíèåÏðåäèñëîâèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31. Ëèíåéíûå èëüòðû. àðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ.×àñòîòíàÿ õàðàêòåðèñòèêà . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42. Âåêòîðíîå ïðåäñòàâëåíèå ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8ÌÎÄÓËÈÎÂÀÍÍÛÅ ÊÎËÅÁÀÍÈß,ÑÏÅÊÒÀËÜÍÛÉ ÀÍÀËÈÇ,ËÈÍÅÉÍÀß ÔÈËÜÒÀÖÈß3. Ìîäóëèðîâàííûå êîëåáàíèÿ. Àìïëèòóäíàÿ è àçîâàÿ ìîäóëÿöèè. . . . .
. . 94. Ñïåêòðàëüíîå ðàçëîæåíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Ó÷åáíî-ìåòîäè÷åñêîå ïîñîáèå4.1. Äåéñòâèòåëüíàÿ è êîìïëåêñíàÿ îðìà ñïåêòðàëüíûõ ðàçëîæåíèé 124.2. Ïðèìåðû ñïåêòðàëüíûõ ðàçëîæåíèé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.3.
Ñïåêòð ïåðèîäè÷åñêîãî ïðîöåññà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.4. Ñïåêòð íåïåðèîäè÷åñêîãî ñèãíàëà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195. Ëèíåéíàÿ èëüòðàöèÿ (ñïåêòðàëüíûé ìåòîä) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 26ËÎÊØÈÍ åííàäèé ààèëîâè÷ÊÎÇÅË Ñòàíèñëàâ Ìèðîíîâè÷6. Äèåðåíöèðóþùèå è èíòåãðèðóþùèå öåïî÷êè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287. Äåìîäóëÿöèÿ è êâàäðàòè÷íîå äåòåêòèðîâàíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298. Äîïîëíåíèå . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338.1. Ïðåäñòàâëåíèå î δ -óíêöèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33åäàêòîð Î.Ï. ÊîòîâàÊîððåêòîð È.À. ÂîëêîâàÏîäïèñàíî â ïå÷àòü 07.05.2009. Ôîðìàò60 × 841/16 . Áóìàãà îñåòíàÿ.8.2.
Èìïóëüñíûé îòêëèê ëèíåéíîãî èëüòðà. Ñâÿçü ìåæäó ÷àñòîòíîéõàðàêòåðèñòèêîé è èìïóëüñíûì îòêëèêîì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Ïå÷àòü îñåòíàÿ. Óñë. ïå÷. ë. 2,8. Ó÷.-èçä. ë. 2,6. Òèðàæ 600 ýêç.8.3. Ê âûâîäó îðìóëû ïðÿìîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå . . . . . .
. . . . . . . . . 37îñóäàðñòâåííîå îáðàçîâàòåëüíîå ó÷ðåæäåíèå8.4. Ëèíåéíàÿ èëüòðàöèÿ. Âðåìåííîé ïîäõîä ê ðåøåíèþ çàäà÷èëèíåéíîé èëüòðàöèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38¾Ìîñêîâñêèé èçèêî-òåõíè÷åñêèé èíñòèòóò8.5. Òåîðåìà Êîòåëüíèêîâà . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4044Çàêàç -037.âûñøåãî ïðîåññèîíàëüíîãî îáðàçîâàíèÿ(ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò)¿Îòäåë àâòîìàòèçèðîâàííûõ èçäàòåëüñêèõ ñèñòåì ¾èçòåõ-ïîëèãðà¿141700, Ìîñêîâñêàÿ îáë., ã. Äîëãîïðóäíûé, Èíñòèòóòñêèé ïåð., 945.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
