Задачник по физике - Белолипецкий С.Н. (1238768), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Определите частоту ьэ и амплитуду А колебаний этой то гки под воздействием обеих волн, если эгэ— — л2 = лгг2. 4.761. Запишите уравненгге колебаний хгатерглальнойэ точки, участвующей одновременно в двух колебательных движениях, происходящих вдоль одной прямой и описываемых уравнениями: тг(1) = 4 зш 2эг [ г + — э [см] и к2 (1) = 3 вш ( 2т1 + — 7э [см]. зl "'''(,) 4.77 . Матерпальная точка участвует одновременно в двух 1 колебательных движениях, происходящих вдоль одной пряагг>й и описываемых уравнениями: хг(1) = Аэс<л ю(1+ тг) и х2(г) = 1 1 = Аз совы(1+та), где Аг = 1,0 см. А2 = 2, 0 см, гэ = —, с, т2 =- — с, ы = эг [с '].
Определите начальные фазы эгээ гл эгэ2 составляющих колебаний, амплглтуду А и начальную фазу эээгэ результируквпего колебания. Запиэпглте уравнение результирукпцего колебания. 4.78 . 51атерпальная точка участвует одновременно в двух колебательных движениях, проэпходяэцих вдоль одной прямой гл описываемых уравнениями: яг(1) = Авшаэ? и т2(1) = 0,5Авш3ы1.
Постройте (качественно) графгэк результирующего смещения. Будет ли согэтветствующее колебание гархгонглчег ким? 4.79 . Используя метод векторных диаграмм, определите 1 амплитуду А н фазу до результирующего колебания, возникающего при сложении трех гармониче<ких колебаний, описываемых уравненияхпэп яг(1) = вэпаэ1, х2(1) = 2сйп [аэ1+ — ), газ(Е) = = 2, 5 вш (ьэ1+ г) и происходящих вдоль одной прямой. Запиппгте его уравнение. 4.80 . Используя метод векторных диаграмм, определите 1 амплитуду А и фазу эдо результирующего колебания, вознглкакэщего при сложении трех гармонических колебаний, описываемых уравнениями: яэ(1) = 2айпьэ1, л2(1) = Звш'э1, хз(г) = .г 'э — 2 вш [аэ1+ — ') и происходящих вдоль одной прямой.
Запишите 2,) его уравнение. 4.81 . Два гармонических колебания г одинаковыми перио- 1 дами То = 1, 2 с гл ахггглитудахги Аэ = 5, 0 см и А2 = 2, 0 см происходят вдоль одной прямой. Каков период Т результируэощего колебангля? Пргл каких наглхгеньшнх разностях фаз ээээ составляющих колебаний амплитуда результируэощего колебания пргэнимает наглбольшее А„„, и наименьшее А„,„„значения? Определглте А„„„, гл А„,.„,.
л 3 слОжение ГЛРМОнических кОленаний 177 4.82 . Получтлте уравнение траектории матертлальной точ- ктл, которая участвует в двух взаимно перпендикулярных коле- баниях, заданных уравнениями х1с) = 2втттх121+ 1) и д11) =- = 2 вш (2х1+ — ). Укажите направление движения. 2) 4.83 . Материальная точка участвует одновременно в двух г колебательных движениях, ттротлстходящтлх вдоль взаимно пер- пендтлкулярных прямых и описываемых уравненпямтл: х1с) = Ат сов ш1 и д(с) = Аг сов — 1, где Ат = 1, О см и Аг = 2, О см, ш = тт '1ст 1. Получите уравнение траектории точки и постройте ее, указав направление движения. 4.84г. Материальная точка участвует одновреътенно в двух колебательных движениях, происходящих вдоль взаимно пер- пендикулярных прямых и оптлсываемых уравнентлями: х11) = Ат совоЛ и тдс,*с) = Аг втпсс1, гчс Ат = 2,0 см и Аг = 1,0 см. Получите уравнение траектории точки и постройте ее, указав направление движения.
4.85г. Движентле точки на плоскости задано уравненияхпл: х1с) =- Ат сов сс1 и ту1с) =- Аг вш ь3, $+т), где Ат =- 10 см, Аг =- 5 см, ш = 2 с т = — с. Получите уравнение траектории точки и посс ц с тройте ее, указав направление движентля. Определите скорость ю точки в момент времени 1т = О, 5 с. 4.86 . Движение точки на плоскости зачано уравнениями; г х(1) = Ат совсс1 и дЯ = — Аг сов 2сс1, где Ат = 2, О см, Аг = 1,0 см. Получите уравнение траектории точки и постройте ее. 4.87 . Двттженпе точки на плоскости задано уравнениями: г а) х(т) = Ав1поЛ, у(1) = Асов2сс1, б) хст) = Асовсс1, уЯ = Асов2сс1; в) х(с) = А сов 2сс1, дЯ = Ат сов сс1; г) х1с) = Ат вшсс1, тд1с) = А сов сс~;.
д) сгс 1) = Асов сс1, тд(с) — А вш (сс1+ — ' '); с) х1с) = АсовьЛ, тд(т) = Асов (2сс1+ — )с где А = 2, О см, Ат = 3, О см, Аг = 1, О см. Получите уравнение траектории точки тл постройте ее. 4.88 . Когда шарик математического маятника в момент времени 1 = О проходил положение равновесия, двигаясь со ско- ростью в в направлении остл Ох, ему сообщили такукт же ско- рость в направлении оси Од. Получите закон движения маятни- ка х1г) и у1г), а также уравнение траекторитл шарика ту1х), если 178 КОЛНВЯНИЯ И ВОЛНЬ1 ГЛ. 4 амплитуда первоначальных колебаний шарика Ао. Рассмотрите случай, когда шартлку сообтпили ту же скорость в направлении, противоположном осп Од. Плоскость хОд горизонтальна. 4.89 . В момент времени Х = О, когда шарик математиче- 3 ского маятника, колеблютцегося в вертикальной плоскости хОз, имел максимальное сметпение х(0) = +А, ему сообщили скорость в направлении оси Од, при этом амплитуда колебаний, возникптих вдоль оси Од, равна амплитуде А первоначальных колебаний вдоль оси Ох.
Получите за- ФЯЯЯ котс движенття маятнтлка х(Й) и тд(с), а также уравнение траектории шарика у(х), указав направление движения. Плоскость тд горизонтальна. Рассмотритс случай х(0) = — А. 4.90а. Маленький шарик подвешен на легкой пружине. Длина тл жесткость пружины подобраны так, О что частота вертикальных колебаний сс шарика в два раза больше частоты ал горизонтальных колебаний матемаи тичсского маятника. Покоивше.муся в 0 положении равновестля шарику в момент времени 1 = 0 сообщили неболь- К задаче 4.00 шую начальную скорость 00 (схт.
рису- нок). Получите закон движения маятника х(1) и д(с), а также уравнение траектории шарика <1~х). Как выглядит зта траектория? Как она изменяется в зависимости от угла а? 4.4. Затухающие и вынужденные колебании Зоттдхантлезл нолебонтгй называют уменьшение амплитуды колебаний, обусловленное по< тепенной потерей энерт ии колебательнслл системой. Если параметры ко тебательной сис темы не тлзменяются в ходе процесса (т.е. система является линейной), то дифференцтлальное уравнение свободных затухакпцих колебаний имеет вид 42 — + 213 — +алоза = 0: и'<2 и'с где тэ' = соттв1 > 0 - коэффициент затухания, а шс - циклтлческая частота свободных незатухающих колебаний той же системы.
Свободные колебания материальнотл точктл массы тп в вязкой среде могут быть описаны дифференциальным уравне- ! 1 зАтухАющие и Вынужденные ко!!ВБАния !79 нием дх т —, = — г — — Йх, лл2 дл где т —. коэффициент сопротивления, й —. коэффллциент квази- упругой силы. Гели р С ало, то затухающие колебания пролл! ходят по закону в(!) = Аое 'д'сов(ш1+ !ро), гДе пт = лт хо — Р— Циклическо,Я, частота (Условнол Цтгк тиче; 2 2 окая част!лота) затухающих колебаний, а постоянные Ао и !ро определены начальными условллями. 2т 2к Величину Т = — ' = ' называют периодом (условным Г 2 — йя У я периодом), а вели плну А(!) = Аое й! . амплитудотл зптухаютцтлх колебаний (Ао начальная амплитудп).
1 Промежуток времени т = —, в течение которого амплитуда 3 затухаюп!их колебаний уменыпается в е раз, называют временем релаксат!ии. Логарифмическим декрементом затухания называют безразмерную вешлчину Л, определенную выражением А(1) А(1+ Т) Логарифмический декремент затухания удовлетворяет соот- 1 ношениям Л =,ВТ = —, где Х чилло колебаний, в течение М' которых амплитуда уменыпается в е раз. Дифференциальное уравнение вынуоюдент*ых колебпнтлй ма- териальной точки, происходялцих вдоль оси Ох под действием внешней вытлухсдатощей (возмущшощсй) силы Р(г), имеет вид пгх дх т = — г — — Йх+ гк(1).
д12 л!1 Вели вынуждающая сила гармонически заел!сит от времени,. т.е. Г„(!) = го сов Й8, то решение уравнения вынужденных коле- баний имеет вид х(1) = Аое в'соя(ь2!+ ро) + Асов(ПУ вЂ” о), где постоянные Ао и !ро определены начальнымлл условиямн, А = Г/ — у ~~ «б Ю, ! ! — и! +плит Ой Сйо = ~о 180 колквлния и волны гл. 4 Уравнение установившихся вынужденных колебаний имеет внд т(1) =- Асов(й1 — а). Амплитуда смещения в случае установившихся вынужденных колебаний достигает максимума прн циклической частоте б ге — Я"'2д — ~с 8 (р та). Максимальная (резонансная) амплитуда равна го к~о Ар„ — А(йр„) 2тг)ш шЛыв 4.91г.
Амплитуда затухающих колебаний маятника за время 11 = 5 мин уменыпилась в п1 = 2 раза. За какое время 1з амплитуда уменьшится в пз = 8 раз? 4.92 . За время т = 8 мпн ахшлитуда затухающих колебаний маятника уменьшилась в и. = 3 раза. Определите коэффициент затухания Д. 4.93 . Амплитуда колебаний маятника длины Т, = 1,0 м 1 за время т =- 10 мин уменыпилась в и =- 2 раза. Определите логарифхшческий декремент затухания Л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
