Задачник по физике - Белолипецкий С.Н. (1238768), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Точечная частица совершает гармонические колебания вдоль осп Ох так, что начало координат совпадает с положением равновесия частицы. Известно, что в момент времени 1о координата и скорость тела равны хо и ьо соответственно. Циклическая частота колебаний равна ш. Докажите, что зависимость координаты тела от времени можно представить в виде т(1) = ха сон [о~ И вЂ” 1о)) + — ' в1п [ь~(~ — ~о)].
4.2. Динамика колебательного движения Если материальная точка совершает прямолинейные гармонические колебания вдоль оси координат Ох около положения равновесия, принятого за начало координат, то зависимость координаты т, точки от времени 8 имеет вид (см. формулу (4.1.1)), гдг в = х: х(1) = Асов(ш1+ ~ро). 6 С.н. Белолипе1жий и лр.
162 колввлния и волны гл. 4 Проекции скорости т и ускорения а точки на ось Ох равны еа э|п 1»ю1+ 'ра) и = — па соь 1»и»1+ 'ра) где аа = Аиг амплитуда скорости, аа = Аиг = паиг амплиг туда ускорения. Сила я', действуя>щая на материальную точку, равна х' = та, гх = — тиг .т,, где т, —. масса материальной точки. Следовательно, сила Р пропорциональна смещеник> материальной точки из положения равновесия и направлена в противоположнук~ сторону: х' = — тпы х1, 2, ° где 1 — орт оси О:г. Такая зависимость силы от смещения характерна для упругой силы. Поэтому силы иной физической природы, у.1овлетворяющие тому жс виду зависимости, называются кваапунругпми.
Аналогичное соотно|пение можно получить для малых колебаний маятника с закрепленной горизонтальной осью вращения, не проходящей через центр масс маятника 1осью качания): И =- —,7и» сб где ЛŠ— результирующий момент сил, приложенных к маятнику,,1 его момент инерции, о угол, характеризую1пий отклонение маятника от положения равновесия. ЛХ и,У вычисляются относительно осн качания маятника. 1(инетическая энергия материальной точки, совершающей пряъюлинейные гармонические колебания по закону хЯ = Асов 1»и»1+ ра), равна И', = — т»а = — таа в|п 1иг1+ ра) = — пиа А эш 1иЛ + ра), 1 э 1 2 .
2 1 2 2 . 2 2 2 2 И', = — тиРА ~1 — соэ12и»1+ 2~ра)). Кинети и.скан энергия матер|пгльной то ~ки совершает гармонические колебания с пиклической частотой 2ы и амплитудой г 1 4 — г»г РАг около среднего значения, равного — тиРАг.
4 Потенциальная энергия материальной точки, гармонически колеблющейся под действием квазиупругой силы, равна И'„=- — ~ Г, дх = — ты х = -ты А соэ (и»1+ ~ра), 2д1,2 2д 2 2 а или И»„= — ти»~А ~1+сов (2~1+2~р~)] = — ти»эА~[1+сое (2и»1+2р~+ )). ДИНЛМИКЛ КОЛЕВЛТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ !63 Потенциальная энергия материальной точки соверплает гармонические колебания с циклической частотой 2ал и амплитудой 1 2 2 1 4 — ть 2А2 около среднего значения, равного — гпьл2А2. Колебания 4 потенциальной и кинетической энергии совершаются со сдвигом по фазе на х, так что полная механическая энергия материальной точки при гармонических колебаниях не изменяется: И" = И' + И;, = — тлэ2А = сопв1. 2 Дифференпиальное уравнение колебаний может быть получено путем вычисления производной по времени от последнего равенства. Во всех задачах настоящего раздела с*лллтайте, что трение отсутствует, массы пружин пренебрежимо малы, а колеблквцисся тела ллрезлставляклт собой материальные точки, если иное не указано в условиях задачи.
4.16 . Материальная точка классы т, движется таким обра- 1 зом, что проекция ее радиус-вектора на ось Ох гарзюнически зависит от времени: х(1) = Асов(ьло1+ ~ро). Найдите зависимость от координаты х проекпии на ось Ох равнодействуклпей всех приложенных к телу сил Г,(х). Определите коэффициент пропорпиональности Й между г',(х) и смещением х при гармонических колебаниях тела (коэффициент квазиупрутой силы). 4.171.
Частица массы т, движется вдоль оси Ох под действием силы г,(х) = — Л(х — хо), где й и хо — некоторые известныс постоянные, причем Л ) О. Что можно сказать о виде зависимости х(1 )2 Какие кинематические величины. характеризующие движение ластипы, могут быть определены в условиях данной задачи'? Какие вели лины должньл быть дополнительно заданы в условии задачи для определения функции х(г) .' 4.181. Определите вид зависимости х(1) в условиях предыдущей задачи, считая. что дополнительно указаны значения координаты х(0) и скорости х(0) ластипы в момент времени 1 = О. 4.19 . Грузик массы т. = 200 г, прикрепленный к горизонтальной пружине жесткости й = 20 Н?зл, покоится иа гладкой горизонтальной плоскости. Второй копен пружины закреплен.
Грузику толчком сообщили горизонтальную скорость по = О, 98 зл/лп направленную вдоль оси пружины. Определите закон движения грузика х(1), считая, что направление начальной скорости совпадает с положительным направлением оси Ох. 4.202. Грузик массы т, = 200 г подвешен на вертикальной пружине жесткости й = 20 Нл'м.
Его удерживают такллм образом, что пружина остается недеформированной. В момент времени 1 = 0 груз освобождаклт. не сообщая ему начальной 164 колввлния и волны ГЛ. 4 скорости. Определите закон движения грузика х(1), считая, что ось Ох направлена вертикально вниз, а значение координаты х = О соответствует положении> нижнего конца недеформированной пружины. Сравните полученный результат с результатом задачи 4.19. 4.212. Определите период малых продольных колебаний тела массы т, в системах, показанных на рисунке, если жесткости пружинок равны Й1 и Й2.
К задаче 4.21 4.22в. Грузик массы т,, находяпипйся на горизонтальной гладкой поверхности хн,жду двумя вертикальными стенками, соединен с ними горизонталь- 1! 12 ными пружинками жесткости Й1 и а2 (см. рисунок). Определите закон движения груза. Зависит ли ответ от того, деформированы пружины в положении равновесия системы или нет? 4.232. Определите период Т малых вертикальных колебаний тела массгя т, в системе, показанной на рисунке, если жесткости пружинок равны Л1 и Л2, а трение пренебрежимо мало.
Н К задаче 4.25 К задаче 4.24 К задаче 4.23 4.242. Вертикально ориентированная пробирка с дробьк~ на дне плавает в воде (см. рисунок). Определите период 'Г малых ДИНЛМИКЛ КОЛЕБЛТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ !65 колебаний пробирки, если ее вывели из положения равновесия легким толчком в вертикальном направлении. Площадь поперечного се нлния пробирки 5', ее масса вместе с дробью и>, плотность воды р. 4.25з. Определите период Т малых колебаний ртути массы и>.
= 200 г, налитой в 11-образнук> трубку сечения о = О, 50 <плв (см. рисунок). Плотность ртути р = 13, 6. 10э кг,'мз. 4.26~. Покажите, лто при малых колебаниях математического маятника длины 5 равнодействующая приложенных к грузику сил представляет сооой квазиупругую силу. Определите коэффициент квазиупругой силы й и цикли лескую частоту колебаний а>с.
Масса грузика равна >и. 4.27~. Определите, на какук> часть от первоначальной длины должна быть укорочена нить матехлатического маятника, чтобы при подьеме на высоту 5 =. 10 км над поверхностью Земли период его колебаний не изълсни>тся. 4.28~. Определите период Т малых колебаний математического маятника длины Т = 20 см, если он находится в жидкости с плотностью в и = 3 раза меныпей плотности материала >парика. Сопротивление жидкости пренебрежимо мало. 4.29~.
11ебольшой металлический и>арик массы ьа подвешен на нити длины 5 над бесконечной неллроводящей горизонтальной плоскостьк>, равномерно заряженной с плотностьк> о. Определите период Т малых колебаний маятнлп<а, если заряд шарика равен — <> (заряды шарика и плоскости противоположны по знаку) . 4.30а. Определите период Т малых колебаний математик>ского маятника длины Ь, точка подвеса которого закреплена в кабине лифта, движущегося с постоянным ускорением а: а) вверх; б) вниз. 4.31а. Определите перл>од Т малых колебаний и положение равновесия математического маятника длиньл Л.
находящегося в вагоне, движущемся с по< тоянным горизонтальным ускоренисхл а. 4.32 . Точка подвеса математического маятника длины 5 движется относительно поверхности Земли с постоянным ускорением а. Определите период Т колебаний и угол оо, который составляет нить подноса в положении равновесия маятника с вектором ускорения свободного падения и. Вычислите эти значения при условии, что угол между векторами а и и составляет л> = 120', 7 = 21 см, а = я /2. 4.33 . Лифтер высотного здания, будучи человеком пунк- 3 туальным, повесил на стену лифта то лныс маятниковые часы, чтобы знать, когда заканчивается рабочий день.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
