Задачник по физике - Белолипецкий С.Н. (1238768), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Баумана В. В. Кузнепову, который вдохновил нас на создание этого сборника. ГЛАВА 1 МЕХАНИКА 1.1. Векторы и скаляры Сналлрами (скалярнымлл величинами) называются величины, характеризуемые только численным значением: венторалъи (венглорными величинами) - вели тины, характеризуемые не только численным значением, но и направлениеъ1 в простран- СТВР. Длина (модуль) вектора а обозначается как !а/ = а.
Единичным называется вектор, длина которого равна единипс: нулевым длина которого равна нулю; направление нулевого вектора считается неопределенным. Два вектора с плтают равными, сели их модули равны и направления совпадак>т. Если 1, .), к — единичные векторы, направленные вдоль осей Оя., Оу, О- прямоугольной декартовой системы координат (в их положительном направлении), то лкэбой вектор а может быть представлен в виде а = а,1+ а„) + а,1с, где числа а„, ар, а, называют декартовыми координатами векто- ра а: единичные векторы 1, ), 1 называк>т ортами координатных осей Ох, Оу, Ов.
Любой вектор однозначно определен своими декартовыми координатами. Если а = а 1+ аи) + о,,1с, то для вектора а мо- жет быть использовано обозначение а = (а„аю а,). Операции над векторными величинами удобно производить с использова- нием декартовых координат.
В частности, если а = (а„аъч а,) и Ь = (Ь, Ью Ь.), а о и р' -- скалярные величины, то оа = (оа,, оаю оа,), а+Ь = (а + Ь,аъ+ Ьи,аз +Ьъ): в общем случае ма+ ~ЗЬ = (оа, + рЬ„ааи + ~ЗЬи, оо,, + дЬъ) . 10 ынхлникл ГЛ. 1 Скалярное произведение вскторов а=(а„пютуа) и Ь=1е,бюеа) равно а. Ь ив и (а, Ь) = )а) (Ь( сову = аа6, + а„Ь, + ааеа, где ~р угол между направлениями векторов а и Ь; ы=,/Р~. +Р 1.1 .
Как направлены два вектора, модули которых одинаковы и равны а, если модуль их суммы равен; а) 0: б) 2а; в) а; г) азХ2; д) пу'3? 1.2 . Если а = а1 + аз, то что можно сказать о взаимной ориентации векторов а1 и аьч если: а) а = а1+аз, б) а ' = а) + аз, 2 в 2. в) а~ + ав = а1 — ав ? 1.3 . Вектор а = 31 — 43. Какова должна быть скалярная величина с, чтобы )са! = 7,5? 1.4 . Векторы а1 н а. имскзт прямоугольные декартовы ко- 1 ординаты 16,0,2) и (1,4,3) соответственно. Найдите вектор аз такой, что; а) а1 + аз + аз = 0; б) аз — аз + аз = О.
1.5 . Посыльный проходит 30 м на север, 25 м на восток„ 12 м на юг, а затем в здании поднимается на лифте на высоту 36 м. г1ему равны пройденный им путь в и перемещение Х ? 1.6 . Угол а между двумя векторами а и Ь равен 60'. Определите длину вектора с = а+ Ь и угол Д между векторами а и с. Величины векторов равны а = 3, 0 н 6 = 2, О.
1.7 . Для векторов а н Ь, определенных в предыдущей задаче, найдите длину вектора д = а — Ъ и угол у между а и с1. 1.8 . Найдите проекцию вектора а = 4, Оз+ 7., 03 на прямую, направление которой составляет угол о = 30' с оськ> Олс Вектор а и прямая лежат в плоскости тОу. ~! 1.9 . Известно, что д =- а+ ьх, +Ь+с. Векторы с1 и с заданы графи и'ски, известны такж прямые Й М ЛХ,У и ЛХ~ЛХп вдоль которых направлены векторы а и Ь (см. рвсунок). Найдитс построением вск- К задаче 1.9 торы а и Ь. 1.10Я. На координатной плоскости леОу графически заданы векторы а и Ь (см.
рисунок). Найдите длины векторов с1 = а+Ь нов=а — Ь. 1.11з. Вектор а составляет угол а = 30' с прямой АВ, а = = 3, О. 11од каким углом,З к прямой АВ нужно направить век- КИНЕМАТИКА РАВНОМИРНОГО ДВИ>КВНИЯ 11 1.2 тор Ь (5 = х'3), чтобы вектор с = а+ Ь был параллелен АВ? Найдите длину вектора с. 1.12л. Заданы три вектора: а = 3! + 2! — 1л: Ь = 2! — ! + 1л; с = л+ З~. Найдите а) а+ Ь; б) а — Ъ; в) (а„Ь): г) (а, с)Ь вЂ” (а, Ь)с, 1.13~. Угол между векторами а и Ь равен о = 60', а = 2, 0„ 5 = 1, О. Невлдите длины векторов с = (а, Ь)а+ Ь и д = 2Ь вЂ” а>>2. 1.14 . Докажите, что векторы а и Ь перпендикулярны, если а = 12, 1, -5) и Ь = 15, -5, 1).
1.15~. Найдите угол о между векторами а и Ь, если а = =11,2,3), Ь =13,2,1). К задаче 1.! О К задаче !.!В 1.16з. Вектор а составляет с осью От, угол о = 30', проекция этого вектора на ось Оу равна а, = 2,0. Вектор Ь перпендикулярен вектору а н 5 = 3., 0 (см. рисунок). Вектор с = а+ Ь. Найдите: а) проекпии вектора Ь на оси От. и Оу; б) величину с и угол о между вектором с и оськ> Ои: в) (а, Ь): г) 1а, с). 1.2. Кинематика равномерного движения Материальной пючкой называют тело, форма и размеры которого несущественны в условиях данной задачи.
Положен>ле материальной точки определяется по отношен>лю к какому-либо произвольно выбранному телу, называемому телом отсчета, с которым связана система отсчета совокупность системы координат и часов, связанных с телом отсчета. Положение точки может быть охарактеризовано радиус-еекторозл г, проведенным из начала системы координат в данную точку. Линию, описываемук> материальной точкой в пространстве, называл>т траекторией этой точки: расстояние, пройденное точкой вдоль траектории, — длиной пути (~утем) точки. Длина пути неотри>лательная сю>л>!рная величина. 12 мнхлникл гл.
1 Вектор пере,мощении (перемещение) материальной точки за промежуток времени от 1 до 1 — Ь1 это приращение радиус- вектора точки за рассматриваемый промежуток времени: Ьг = г(Г+ Ь~) — г(1). Вектор средней скорости точки (средняя скорость по перемещению) равен Лг тср— где Ьг — приращение радиус-вектора; проекции скорости на координатные оси Ьт Ьу и 1 ~ р Среднепутевая скорость равна ~Ха ""= ~и: где Ьз путь, пройденный за время Ьг; среднепутевая скорость - скалярная величина.
При движении с постоянной скоростью г(~) = го+ М; т(~) ло + ох~~ у(~) = до+ 'рг, =(~) = =о+с:~- 1.17 . Товарный поезд движется со скоростьк> в1 = 36 км!ч. я Спустя время т = 30 мин с той же станции в том же направлении вышел экспресс со скоростью оа = 72 км,'ч. Перез какое время Й после выхода товарного поезда и на каком расстоянии з от станции экспресс нагонит товарный поезд? Задачу решить аналитически и графически. 1.18~.
Из пункта А выехал велосипедист со скоростью н1 = = 25 км/ч. Спустя время 1о = 6 мин из пункта В, находящегося на расстоянии Ь = 10 км от пункта А, навстречу велосипедисту вышел пешеход. За время ~з = 50 с пешеход прошел такой же путь, какой велосипедист проехал за ~~ = 10 с. На каком расстоянии а от пункта А встретятся пешеход и велосипедист? 1.19Я.
Камень, броп|енный в горизонтальном направлении и прошедший расстояние з = 40 м, попадает в большой колокол. Удар о колокол был услышан человеком, бросившим камень, через время 1 =- 3,9 с. Какова скорость камня г, если скорость звука и =- 330 м~'с? Действие силы тяжести не рассматривать. 1.2 кинвмлтикл глвномвгного движкния 13 1.202. На тележке установлена труба. которая может поворачиваться в вертикальной плоскости (см. рисунок). Тележка движется по горизонтальной поверхности со скоростькз и = = 2 м,~с. Под каким углом о к горизонту следует установить трубу, чтобы капли дождя, падакь щие отвесно со скоростькз е = 6 м,1с, двигались в трубе параллельно ее стенкам, не задевая их? Скорость капель считать постоянной.
а 1.212. Капли дождя на окнах неподвижного трамвая оставлянзт полосы, наклоненные под углом се = = 30' к вертикали. При движении К задаче 1.20 трамвая со скоростькз в = 18 км,'ч полосы от дождя вертикальны. Найдите скорость капель дождя в в безветреннук~ погоду и скорость ветра г„. 1.22 . По неподвижному эскалатору метро пассажир поги нимается за время 1~ = 120 с, а по движущемуся (при той же скорости д~зижения относительно ступенек) за 12 = 30 с.
Определите время подъема 1з пассажира, неподвижно стоящего на движущемся эскалаторе. 1.232. Самолет летит из пункта А в пункт В и обратно со скоростью е = 300 км?ч относительно воздуха. Расстояние между пунктами А и В равно в = 900 км. Сколько времени 1 затратит самолет на весь полет, если вдоль линии АВ непрерывно дуст ветер со скоростькз и = 60 км,' ч? 1.24в. Колонна автомашин длиной В = 2 км движется со скоростью п1 = 36 км,'ч. Из начала колонны выезжает мотоциклист, который. достигнув ее конца, возвращается обратно. Скорость мотоциклиста постоянна н равна пг = 54 км,~ч. Сколько времени 1 будет в пути и какой путь в пройдет мотоциклист, пока он снова нагонит нанесло кОлОнны? 1.252.
Мимо пристани вниз по реке проходит плот. В этот момент в этом же направлении в поселок отправляется моторная лодка. За время 1 = 45 мин лодка дошла до поселка, находящегося на расстоянии в1 = 15 км от пристани, и, повернув обратно, встретила плот на расстоянии аг — 9 км от поселка. Каковы скорость и течения реки и скорость е лодки относительно воды? 1.26 .
Лодка движется под углом о к течению реки (см. г рисунок). Ее скорость относительно воды равна и, скорость те- гния равна и. Найдите скорость го лодки относительно берега реки и угол В, который составляет вектор кв с направлением течения. 14 михлникл ГЛ. 1 1.272. Лодочник, переправляясь терез реку ширин11 Ь из пункта А в пункт В (см. рисунок), все время направляет лодку под углом а к берегу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
