Учебник - Оптика - Алешкевич В.А. (1238765), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Íî òîãäàf (t) ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíîé ôóíêöèåé. Ñëó÷àéíûìè áóäóò è ôóðüå-àìïëèòóäû a, b, f0 è ôàçà j.Êðîìå òîãî, â ðåàëüíîì ýêñïåðèìåíòå âðåìÿíàáëþäåíèÿ îãðàíè÷åíî, ïîýòîìó íà ïðàêòèêåìîæíî àíàëèçèðîâàòü ñèãíàë ft(t), òàêîé, ÷òîft(t) = f (t) ïðè 0 < t < tí;ft(t) = 0 ïðè tí < t < ∞, t < 0,(4.13)ãäå tí — âðåìÿ íàáëþäåíèÿ.Âîçíèêàåò âîïðîñ î âûáîðå ýòîãî âðåìåíè. Âîñïîëüçóåìñÿ ðàâåíñòâîì Ïàðñåâàëÿ, êîòîðîå ïîëó÷àåòñÿ èç (4.4) è (4.5):¥òf 2 (t )dt =-¥¥1ò | µf 0 (w)| 2d w .2p -¥(4.14) ýòîì ðàâåíñòâå, â ëåâîé ÷àñòè âî âðåìåííîœì, â ïðàâîé — â ñïåêòðàëüíîìïðåäñòàâëåíèè, ñòîèò âåëè÷èíà, ñâÿçàííàÿ ñ ïëîòíîñòüþ ýíåðãèè âîëíû.Åñëè ïðèìåíèòü ýòî ðàâåíñòâî ê ñëó÷àéíîé è óñå÷åííîé âî âðåìåíè ôóíêöèè ft(t), òî ìîæíî ñîêðàòèòü ïðåäåëû èíòåãðèðîâàíèÿ ïî âðåìåíè è çàïèñàòü1títíò0f t2 (t )dt =| µf 0 t (w)| 21dw .òtí2p -¥¥(4.15)Çàìåòèì, ÷òî â ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü òàêæå çàâèñèò îò âðåìåíè íàáëþäåíèÿ è ÿâëÿåòñÿ, êðîìå òîãî, ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé.Åñëè óñòðåìèòü âðåìÿ íàáëþäåíèÿ ê áåñêîíå÷íîñòè, òî èíòåãðàë ñëåâà áóäåò ñòðåìèòüñÿ ê ïðåäåëó, ðàâíîìó á f 2 ñ, ïîýòîìót¥| µf 0 t (w)| 21 í 2(4.16)á f 2 ñ = limftdt=()limò tò t í ®¥ pt í d w.t í ®¥ tí 00Ñëåäîâàòåëüíî, äîëæåí ñóùåñòâîâàòü ïðåäåë ó ïîäûíòåãðàëüíîãî âûðàæåíèÿ â ïðàâîé ÷àñòè (4.15):| µf (w)| 2S (w) = lim 0 t.(4.17)t í ®¥pt íÔóíêöèÿ S(w) íàçûâàåòñÿ ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòüþ èíòåíñèâíîñòè, åñëèðå÷ü èäåò î ñâåòîâîé âîëíå.Äåéñòâèòåëüíî, ïðèìåíèòåëüíî ê îïòèêå ïåðåïèøåì (4.16) â âèäå¥I = áE 2 ñ = ò S (w)d w.(4.18)0 óçêîì ñïåêòðàëüíîì äèàïàçîíå dw âîëíà èìååò èíòåíñèâíîñòüdI = S (w)d w,(4.19)ïîýòîìó S(w) è íàçûâàåòñÿ ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòüþ èíòåíñèâíîñòè.Îáñóäèì âîïðîñ î âûáîðå âðåìåíè íàáëþäåíèÿ.

Äëÿ òîãî ÷òîáû âû÷èñëèòüñ õîðîøåé òî÷íîñòüþ á f 2 ñ, íåîáõîäèìî ïðîâîäèòü èçìåðåíèÿ òàê äîëãî, ÷òîáûíàáðàòü ñòàòèñòèêó ñëó÷àéíûõ èçìåíåíèé îãèáàþùåé è ôàçû. Êàê óæå îòìå÷àëîñü, A è j õàîòè÷åñêè ìåíÿþòñÿ íà ìàñøòàáå âðåìåíè t.  òå÷åíèå âðåìåíè tí÷èñëî òàêèõ ñëó÷àéíûõ çíà÷åíèé áóäåò ïîðÿäêà tí/t. Åñëè tí ~ (103 — 104)t, òîòàêîãî âðåìåíè âïîëíå äîñòàòî÷íî äëÿ íàõîæäåíèÿ ñðåäíèõ çíà÷åíèé.Îáðàùàåò íà ñåáÿ âíèìàíèå òîò ôàêò, ÷òî ñóùåñòâîâàíèå ïðåäåëà (4.16)ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî ïðè tí ® ∞ ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü | µf 0 t | 2 % tí, ïðè ýòîì ååôëóêòóàöèè ìîíîòîííî óìåíüøàþòñÿ.41Ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü, åå êîíòóð è øèðèíà. Ïóñòü èìååòñÿ èçëó÷åíèå ââèäå ñëó÷àéíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè îäèíàêîâûõ öóãîâ f (t - tl), ãäå tl — ñëó÷àéíîå âðåìÿ ïîÿâëåíèÿ öóãà. Ðàññ÷èòàåì ñïåêòðàëüíóþ ïëîòíîñòü ñëó÷àéíîãîñèãíàëàF (t ) =Nål =1f (t - t l ),ãäå ÷èñëî N ÷ëåíîâ ñóììû çàâèñèò îò âðåìåíè íàáëþäåíèÿ.

Ñîãëàñíî (4.5)ñïåêòðàëüíàÿ àìïëèòóäàFµ0 (w) =¥N¥ò F (t )e -i wt dt = åòl =1-¥f (t - t l )e -i wt dt =-¥Nål =1µf 0 (w)e -i wtl .(4.20)ÒîãäàN| Fµ0 (w)| 2 = Fµ0 (w) Fµ0*(w) = | µf 0 (w )| 2 åNå e i w (t - tll =1 m =1m).(4.21)Åñëè äëèòåëüíîñòü öóãà ðàâíà t, òî èõ ÷èñëî çà âðåìÿ íàáëþäåíèÿ tíâ ñðåäíåì ðàâíî N = tí/t. Åñëè N âåëèêî, òî äâîéíàÿ ñóììà áóäåò ðàâíà ñóììå÷ëåíîâ ïðè l = m. Îñòàëüíûå ñëàãàåìûå ñêîìïåíñèðóþò äðóã äðóãà. Ïîýòîìó ïðèN ® ∞ ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü| Fµ0 (w)| 2 = | µf 0 (w)| 2 N = | µf 0 (w)| 2tí.t(4.22)Òîãäà ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü èíòåíñèâíîñòè ñèãíàëà F (t) áóäåò ðàâíàS (w) =| Fµ0 (w)| 2 | µf 0 (w)| 2=.pt ípt(4.23)Îíà ñîâïàäàåò ñî ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòüþ èíòåíñèâíîñòè äëÿ îäíîãîöóãà.Åñëè îáðàòèòüñÿ ê ïðèìåðó 2 è âûðàæåíèÿì (4.10) è (4.11), òî ìîæíî ñäåëàòü âûâîä î òîì, ÷òî ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü èçëó÷åíèÿ íåâçàèìîäåéñòâóþùèõàòîìîâ îïèñûâàåòñÿ ëîðåíöåâîé ôóíêöèåé, à ñïåêòðàëüíàÿ ëèíèÿ èõ èçëó÷åíèÿèìååò ëîðåíöåâûé êîíòóð, øèðèíà êîòîðîãî îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíà âðåìåíèðàäèàöèîííîãî çàòóõàíèÿ: Dw = 2/t.Åñëè t ~ 10-8 c, òî Dw = 2 × 108 c-1, Dn = Dw/2p ~ 3 × 107 Ãö.

Øèðèíà ëèíèè,ñâÿçàííàÿ ñ ðàäèàöèîííûì çàòóõàíèåì, íàçûâàåòñÿ åñòåñòâåííîé øèðèíîé.Äî ïîÿâëåíèÿ ëàçåðîâ áûëî ïðèíöèïèàëüíî íåâîçìîæíî ïîëó÷èòü áîëåå óçêóþëèíèþ (øèðèíîé, ìåíüøå åñòåñòâåííîé).Óäàðíîå óøèðåíèå ñïåêòðàëüíîé ëèíèè. Ñàìîé óçêîé ñïåêòðàëüíîé ëèíèåéîáëàäàåò ïó÷îê ëåòÿùèõ è ñëàáîâçàèìîäåéñòâóþùèõ âîçáóæäåííûõ àòîìîâ.

Ñ òàêèìè ïó÷êàìè â êîíöå XIX — íà÷àëå XX â. áûëè ïðîâåäåíû ïðåöèçèîííûåýêñïåðèìåíòû äëÿ ñîçäàíèÿ ýòàëîíà âðåìåíè, äëèíû è äðóãèõ öåëåé.Åñëè æå àòîìû íàõîäÿòñÿ â çàìêíóòîì îáúåìå, òî îíè ñòàëêèâàþòñÿ ñ íåéòðàëüíûìè àòîìàìè, èîíàìè è ýëåêòðîíàìè, ñî ñòåíêàìè ñîñóäà, à â òâåðäîìòåëå — ñ êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêîé. Ïðè òàêèõ ñòîëêíîâåíèÿõ â ñàìîì öóãåïî÷òè ñêà÷êîîáðàçíî èçìåíÿåòñÿ ôàçà èñïóñêàåìîãî èçëó÷åíèÿ. Èíûìè ñëîâàìè, êàæäûé öóã ïðèîáðåòàåò ñëó÷àéíóþ ôàçîâóþ ìîäóëÿöèþ.42 êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêå ïîêàçûâàåòñÿ, ÷òî ñòîëêíîâåíèå àòîìîâïðèâîäèò ê óìåíüøåíèþ âðåìåíè æèçíè âîçáóæäåííîãî ñîñòîÿíèÿ. Óìåíüøåíèåâðåìåíè æèçíè âëå÷åò óâåëè÷åíèå øèðèíû ñïåêòðàëüíîé ëèíèè èçëó÷åíèÿêàê îòäåëüíîãî àòîìà, òàê è âñåãî àíñàìáëÿ.Òàêîå óøèðåíèå íàçûâàåòñÿ ñòîëêíîâèòåëüíûì, èëè óäàðíûì.

Îíî îòíîñèòñÿ ê îäíîðîäíîìó óøèðåíèþ, ïîñêîëüêó â îäèíàêîâîé ñòåïåíè óøèðÿþòñÿêîíòóðû ñïåêòðàëüíûõ ëèíèé èçëó÷åíèÿ êàæäîãî àòîìà.Îïðåäåëèì øèðèíó è ôîðìó ñïåêòðàëüíîé ëèíèè èçëó÷åíèÿ àíñàìáëÿ ïðèó÷åòå ñòîëêíîâåíèé.  ãàçå ïðè íîðìàëüíûõ óñëîâèÿõ èçëó÷åíèå àòîìà «ïîëó÷àåò» ñëó÷àéíûé ñêà÷îê ôàçû â ñðåäíåì ÷åðåç âðåìÿ tc ~ 10-10 ñ. Òîãäà îòäåëüíûéöóã äëèòåëüíîñòüþ t ~ 10-8 ñ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êàê áû ïîñëåäîâàòåëüíîñòüt/tc ~ 102 öóãîâ. Äëèòåëüíîñòü êàæäîãî èç ýòèõ ìàëåíüêèõ öóãîâ ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé.

Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî øèðèíà ñïåêòðàëüíîé ëèíèè óâåëè÷èâàåòñÿ ïðèáëèçèòåëüíî íà äâà ïîðÿäêà.Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòè èçëó÷åíèÿ áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òîF (t ) =Nå f l (t - t l ),l =1(4.24)ãäåìa cos w 0t , åñëè t l < t < t l + t l ;f l (t - t l ) = íî0, åñëè t < t l è t > t l + t l ,(4.25)— «îáðûâîê» ãàðìîíè÷åñêîãî èçëó÷åíèÿ, âîçíèêàþùèé ñëó÷àéíî â ìîìåíò âðåìåíè tl è ïðåêðàùàþùèéñÿ òàêæå ñëó÷àéíî ñïóñòÿ âðåìÿ tl (tl — ñëó÷àéíàÿ äëèòåëüíîñòü «îáðûâêà»). Ðàäèàöèîííîå çàòóõàíèå â ñèëó óñëîâèÿ tl < t íå ó÷èòûâàåòñÿ.Ïðèìåíÿÿ ê (4.24) ïðåîáðàçîâàíèÿ (4.21), ïîëó÷àåì âûðàæåíèå| Fµ0 (w)| 2 =å N l | µf 0l (w)| 2 .l(4.26)Çäåñü, â îòëè÷èå îò (4.23), Nl — ÷èñëî öóãîâ äëèòåëüíîñòüþ tl, çàðåãèñòðèðîâàííûõ çà âðåìÿ íàáëþäåíèÿ; µf 0l (w) — ôóðüå-àìïëèòóäà äëÿ òàêèõ öóãîâ,ñóììèðîâàíèå ïðîâîäèòñÿ ïî âñåì äëèòåëüíîñòÿì tl.Åñëè âðåìÿ íàáëþäåíèÿ âåëèêî, òî (4.26) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå| Fµ0 (w)| 2 =å N l á| f 0 (w)| 2 ñ,l(4.27)ãäå2á| f 0 (w)| ñ =å N l | µf 0l (w)| 2låNl(4.28)l— ñðåäíåå çíà÷åíèå êâàäðàòà ìîäóëÿ ñïåêòðàëüíîé àìïëèòóäû.Èç êóðñà ìîëåêóëÿðíîé ôèçèêè èçâåñòíî: âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ìåæäó äâóìÿ ñòîëêíîâåíèÿìè ïðîéäåò âðåìÿ, ñîîòâåòñòâóþùåå èíòåðâàëó (tl, tl + dtl),ðàâíàdp t =1æ t öexp ç - l ÷ d t l = M (t l )d t l .è tc øtñ(4.29)43Çäåñü tc — ñðåäíåå âðåìÿ ìåæäó äâóìÿ ñòîëêíîâåíèÿìè.

Òîãäà¥á| µf 0 (w)| 2 ñ = ò | µf 0l (w)| 2M (t l )d t l .(4.30)0Âíà÷àëå âû÷èñëèì ôóðüå-àìïëèòóäó «îáðûâêà» (4.25) äëèòåëüíîñòüþ tl:t l +tlµf 0l (w) == ae i F1òtl1 i w 0t+ e -i w 0t )e -i wt dt =(e2sin(w 0 - w)t l /2sin(w 0 + w)t l /2+ ae i F 2.w0 - ww0 + w(4.31)Çäåñü F1 = (w 0 - w)(t l + t l /2); F 2 = (w 0 + w)(t l + t l /2) .Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòè èñïîëüçóåì ëèøü ïîëîæèòåëüíûå÷àñòîòû. Òîãäà âòîðûì ñëàãàåìûì â (4.31) ìîæíî ïðåíåáðå÷ü è çàïèñàòü| µf 0l (w)| 2 =21 2 2 é sin(w 0 - w)t l /2 ù1= a 2 t l2 sinc 2 ((w 0 - w)t l /2) ,a tl êú44ë (w 0 - w)t l /2 û(4.32)sin x— ôóíêöèÿ, øèðîêî èñïîëüçóåìàÿ â ôèçèêå. Êâàäðàò ýòîéxôóíêöèè îïèñûâàåò êîíòóð ñïåêòðàëüíîé ëèíèè èçëó÷åíèÿ, ïðåäñòàâëÿþùåãîñîáîé ïðÿìîóãîëüíûé èìïóëüñ àìïëèòóäîé a, ÷àñòîòîé w0 è äëèòåëüíîñòüþ tl,è èçîáðàæåí íà ðèñ. 4.3.Ýòîò êîíòóð íå ÿâëÿåòñÿ ëîðåíöåâûì.

Åãî øèðèíà Dxl = p, à ñïåêòðàëüíàÿøèðèíàãäå sinc(x) =Dw l =4p,tl(4.33)ò. å. îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíà äëèòåëüíîñòè tl ïðÿìîóãîëüíîãî èìïóëüñà. Ïðîâîäÿ óñðåäíåíèÿ ïî äëèòåëüíîñòÿì tl â ñîîòâåòñòâèè ñ (4.29) è (4.30), íàõîäèìsinc2(x)1-3p-2p-p0pDxlÐèñ. 4.3442p3px=(w - w 0)tl2á| µf 0 (w)| 2 ñ ==1¥ 2 21æ t öa t c sinc 2 ((w 0 - w)t l /2) exp ç - l ÷ d t l =ò40tcè tc ø1 2 211a tc 2= a 2 t 2c L(w),22t c (w 0 - w) + 1 2(4.34)ãäåL (w ) =t 2c (w 01- w) 2 + 1(4.35)— ëîðåíöåâà ôóíêöèÿ.Äëÿ àíñàìáëÿ àòîìîâ, ñîãëàñíî (4.27), èìååì1 2 2a t c L(w)å N l .2l| Fµ0 (w)| 2 =Çà áîëüøîå âðåìÿ íàáëþäåíèÿ tí ? tc ñóììàå Nll(4.36)=ìîé ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòè èíòåíñèâíîñòè ïîëó÷àåìS (w) =| Fµ0l (w)| 2 1 2= a t ñ L(w).pt í2tí, ïîýòîìó äëÿ èñêîtñ(4.37)Òàêèì îáðàçîì, êîíòóð ñïåêòðàëüíîé ëèíèè èçëó÷åíèÿ àíñàìáëÿ ñòàëêèâàþùèõñÿ àòîìîâ ÿâëÿåòñÿ ëîðåíöåâûì.

Îäíàêî ýòîò êîíòóð çíà÷èòåëüíî óøèðåí.Åãî øèðèíà, îöåíåííàÿ ïî óðîâíþ 0,5 (íà ïîëîâèíå ýòîé øèðèíû ôóíêöèÿ Lóáûâàåò âäâîå), èç (4.35) ïîëó÷àåòñÿ ðàâíîéDw c =2.tc(4.38)Âûðàæåíèÿ äëÿ ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòè èíòåíñèâíîñòè (4.37) ìîæíîñ ó÷åòîì (4.38) è ðàâåíñòâà I0 = a2/2 (I0 — èíòåíñèâíîñòü èçëó÷åíèÿ âñåéñïåêòðàëüíîé ëèíèè) çàïèñàòü â âèäåS (w ) = I 02L(w)= I 0 g L (w),pDw c(4.39)ãäåg L (w ) =Dw c2p 4(w 0 - w)2 + (Dw c )2(4.40)— íîðìèðîâàííàÿ ôóíêöèÿ ( ò g L (w )d w = 1), êîòîðàÿ îïèñûâàåò â îïòèêå ëîðåíöåâûé êîíòóð ñïåêòðàëüíîé ëèíèè.Îöåíèì õàðàêòåðíûå âðåìåíà ïðè ñòîëêíîâåíèÿõ.

Характеристики

Список файлов книги