Учебник - Оптика - Алешкевич В.А. (1238765), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Íà ðèñóíêå ïàäàþùèå, ïîãëîùåííûå, îòðàæåííûå ôîòîíû âáëèçèåäèíè÷íûõ ïëîùàäîê (à) èçîáðàæåíû âîëíèñòûìè ñòðåëêàìè. ×òîáû íå ïåðåãðóæàòü ðèñóíîê, èçëó÷åííûå ôîòîíû èçîáðàæåíû ó äðóãèõ ïëîùàäîê (á ).Åñëè îáà òåëà èçâëå÷ü èç ïå÷è, òî, êàê îòìå÷àëîñü ðàíåå, â òåìíîòå óãîëüáóäåò áåëûì, à ìåë ÷åðíûì. Èçëó÷åíèå ïîñëåäíåãî ìàëî, à îòðàæàòü ïðàêòè÷åñêè íå÷åãî: ïëîòíîñòü ýíåðãèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ â îòêðûòîì ïðîñòðàíñòâå çíà÷èòåëüíî ìåíüøå ðàâíîâåñíîé.Äàëüíåéøåå ðàçâèòèå ó÷åíèÿ î òåïëîâîì èçëó÷åíèè áûëî ñâÿçàíî ñ óâëåêàòåëüíûì ïîèñêîì óíèâåðñàëüíîé ôóíêöèè enT, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ èçëó÷àòåëüíîé ñïîñîáíîñòüþ ÷åðíîãî òåëà (äàëåå òåðìèí «àáñîëþòíîå» óïîòðåáëÿòüíå áóäåì).Çàêîí Ñòåôàíà Áîëüöìàíà. Ïåðâûé øàã â ýòîì íàïðàâëåíèè áûë ñäåëàíàâñòðèéñêèì ôèçèêîì Í.
Ñòåôàíîì, êîòîðûé îøèáî÷íî ïîëàãàë (1879), ÷òîèçëó÷àòåëüíàÿ ñïîñîáíîñòü ëþáîãî òåëà ET ~ T 4. Ïîçäíåå åãî ñîîòå÷åñòâåííèêË. Áîëüöìàí, èñïîëüçóÿ òåðìîäèíàìèêó, äîêàçàë (1884), ÷òî ëèøü èçëó÷àòåëüíàÿ ñïîñîáíîñòü ÷åðíîãî òåëà ïðîïîðöèîíàëüíà ÷åòâåðòîé ñòåïåíè åãî òåìïåðàòóðû:eT =¥ò e nT d n = sT 4 ,(6.8)0ãäå s = 5,67 × 10-18 Âò × ì-2K-4.Óòâåðæäåíèå (6.8) ñîñòàâëÿåò ñóòü çàêîíà Ñòåôàíà Áîëüöìàíà. Åãî ìîæíîäîêàçàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì.60Ïóñòü ðàâíîâåñíîå òåïëîâîå èçëó÷åíèå íàõîäèòñÿ âíóòðè öèëèíäðà, ñòåíêèêîòîðîãî èìåþò òåìïåðàòóðó T.
Öèëèíäð çàêðûò ÷åðíûì ïîðøíåì, ïîëíîñòüþïîãëîùàþùèì èçëó÷åíèå. Ñâåòîâîå äàâëåíèå íà ïîðøåíü p = uT /3. Âíóòðåííÿÿýíåðãèÿ òåðìîäèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû èçëó÷åíèÿ U = uTV (V îáúåì öèëèíäðàæ ¶U öæ ¶p öïîä ïîðøíåì). Âîñïîëüçóåìñÿ òåðìîäèíàìè÷åñêèì òîæäåñòâîì ç=T ç- p.è ¶V ø÷ Tè ¶T ø÷ VÏîäñòàâëÿÿ â äàííîå òîæäåñòâî çíà÷åíèÿ p è U, çàïèøåì1 du1uT = T T - uT .3 dT3(6.9)Ïîñëå ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ èìååì4dTdu= T.TuT(6.10)Èíòåãðèðóÿ (6.10), îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷èìuT = [const]T 4.(6.11)Ðàññ÷èòàòü êîíñòàíòó ìîæíî ëèøü èñïîëüçóÿ êâàíòîâîå ïðåäñòàâëåíèå èçëó÷åíèÿ.
Ïåðåõîäÿ îò uT ê eT, ïîëó÷àåì çàêîí Ñòåôàíà Áîëüöìàíà.Çàêîí ñìåùåíèÿ Âèíà. Ïðåäûäóùèé çàêîí óñòàíàâëèâàåò âåñüìà ñèëüíóþçàâèñèìîñòü îáúåìíîé ïëîòíîñòè uT îò òåìïåðàòóðû T, ÷òî èìååò áîëüøîåïðàêòè÷åñêîå çíà÷åíèå. Îäíàêî îí íå äàåò îòâåòà íà âîïðîñ î ñïåêòðàëüíîéïëîòíîñòè unT. Ñëåäóþùàÿ ïîïûòêà åå íàõîæäåíèÿ áûëà ïðåäïðèíÿòà íåìåöêèì èññëåäîâàòåëåì Ì. Âèíîì (1893).
Ðàññìàòðèâàÿ àäèàáàòè÷åñêîå ñæàòèå èçëó÷åíèÿ â çåðêàëüíîì öèëèíäðå ñ ó÷åòîì äîïëåðîâñêîãî ñìåùåíèÿ ÷àñòîòûïðè îòðàæåíèè îò äâèæóùåãîñÿ ïîðøíÿ, îí ïðèøåë ê âûâîäó, ÷òîæ nöe nT = c n 3 f ç ÷ ,èT ø(6.12)ãäå f ôóíêöèÿ, âèä êîòîðîé îïðåäåëèòü íå óäàëîñü. Îäíàêî âàæíàÿ èíôîðìànöèÿ çàêëþ÷åíà â çàâèñèìîñòè ýòîé ôóíêöèè îò îòíîøåíèÿ . Åñëè, ñîãëàñíîT(6.4), çàïèñàòü (6.12) â âèäåe lT =c5 æ c öfl 5 èç lT ø÷è íàéòè ïîëîæåíèå ìàêñèìóìà ýòîé ôóíêöèè l = lmax èç óñëîâèÿòî ïîëó÷èòñÿ ñîîòíîøåíèåT l max = b,(6.13)d e lT= 0,dl(6.14)ãäå b = 2,898 × 107 D K ïîñòîÿííàÿ, íå çàâèñÿùàÿ îò òåìïåðàòóðû. Îíà ðàññ÷èòûâàåòñÿ ìåòîäàìè êâàíòîâîé ìåõàíèêè.Ôîðìóëà (6.14) ÿâëÿåòñÿ ìàòåìàòè÷åñêèì âûðàæåíèåì çàêîíà ñìåùåíèÿ Âèíà:ñ ïîâûøåíèåì òåìïåðàòóðû ïîëîæåíèå ìàêñèìóìà ôóíêöèè elT ñìåùàåòñÿ â îáëàñòü áîëåå êîðîòêèõ äëèí âîëí.
Ýòî ëåãêî íàáëþäàòü ïðè ïîâûøåíèè òåìïåðàòóðû íàãðåòûõ òåë, êîòîðûå âíà÷àëå èñïóñêàþò ÈÊ-èçëó÷åíèå è ïîýòîìóíå ñâåòÿòñÿ, çàòåì ñòàíîâÿòñÿ êðàñíûìè, à ïðè âûñîêèõ òåìïåðàòóðàõ ïðàêòè÷åñêè áåëûìè.61Ôîðìóëà Ïëàíêà. Íåóäà÷íûå ïîïûòêè ðàññ÷èòàòü ñïåêòðàëüíóþ ïëîòíîñòü unT èëè enT áûëè ñâÿçàíû ñ òåì, ÷òî çàêîíû êëàññè÷åñêîé ýëåêòðîäèíàìèêè íå ïîçâîëÿþò àäåêâàòíî îïèñàòü ïðîöåññèçëó÷åíèÿ òåë.Ðàíåå áûëî îòìå÷åíî, ÷òî êâàíòîâûé îñöèëëÿòîð èìååò äèñêðåòíûé íàáîð çíà÷åíèé ýíåðãèè. Ïîäîáíûì îáðàçîì âåäåò ñåáÿ è ýëåêòðîìàãíèòíîåïîëå. Îíî îáëàäàåò äèñêðåòíûì íàáîðîì ñîñòîÿíèé ñ îïðåäåëåííîé ýíåðãèåé (ýëåêòðîìàãíèòíîåïîëå êâàíòóåòñÿ).Ðèñ. 6.4Åñëè ðàâíîâåñíîå òåïëîâîå èçëó÷åíèå íàõîäèòñÿ â îáúåìå â âèäå êóáà L ´ L ´ L, òî ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå ìîæíî ïðåäñòàâèòüâ âèäå íàáîðà ñòîÿ÷èõ âîëí, èëè ìîä (ðèñ.
6.4).Âîëíîâûå ÷èñëà òàêèõ âîëí äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü ãðàíè÷íûì óñëîâèÿìk x L = m x p;k y L = m y p;k z L = mz p,(6.15)ãäå mx, my, mz = 1, 2, 3, ... . ¾×èñëî âîëí, ó êîòîðûõ âîëíîâûå ÷èñëà çàêëþ÷åíû â «îáúåì» dkx dky dkz,ñîãëàñíî (6.15) ðàâíîL3dk x dk y dk z .(6.16)p3Åñëè ïðèíÿòü, ÷òî ó êàæäîé âîëíû âîçìîæíû äâå âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûåïîëÿðèçàöèè, òî ÷èñëî âîëí (ìîä) â åäèíèöå îáúåìà êóáà, ó êîòîðûõ âîëíîâûå÷èñëà k = 2pn/c çàêëþ÷åíû â èíòåðâàëå k, k + dk, î÷åâèäíî, ðàâíîdN = dm x dm y dmz =dn =2dN 4pk 2dk.L38(6.17)Ïðè ïîäñ÷åòå (6.17) «îáúåì» â ïðîñòðàíñòâå âîëíîâûõ ÷èñåë âûáðàí â âèäå1/8 ñôåðè÷åñêîãî ñëîÿ ðàäèóñà k è òîëùèíîé dk, ïîñêîëüêó kx, ky, kz > 0 (ðèñ.
6.5).Åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ñðåäíÿÿ ýíåðãèÿ ìîäû, êàê è ó êëàññè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà, ïðè òåðìîäèíàìè÷åñêîì ðàâíîâåñèè áeñ = kT , òî ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü áóäåò ðàâíàu nT =dn8pn 2áeñ = nn áeñ = 3 kT .dnc(6.18)Ýòó ôîðìóëó ïîëó÷èë Äæ. Ðýëåé (1900), à çàòåìîáîñíîâàë Ä.Äæèíñ. Îíà íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé Ðýëåÿ Äæèíñà.Òîãäà èçëó÷àòåëüíàÿ ñïîñîáíîñòü ÷åðíîãî òåëàáûëà áû ðàâíàe nT =Ðèñ. 6.562c2pn 2u nT =kT .4c2(6.19)Ýòà ôîðìóëà äàåò ñîãëàñèå ñ ýêñïåðèìåíòîì ëèøüïðè ìàëûõ ÷àñòîòàõ. Ïðè n ® ∞ ôóíêöèÿ enT íåîãðàíè÷åííî âîçðàñòàåò, ÷òî, åñòåñòâåííî, ïðîòèâîðå-÷èò äåéñòâèòåëüíîñòè. Íåîãðàíè÷åííîå âîçðàñòàíèå èçëó÷àòåëüíîé ñïîñîáíîñòèïîëó÷èëî íàçâàíèå óëüòðàôèîëåòîâîé êàòàñòðîôû.×òîáû óñòðàíèòü ýòîò ïðèíöèïèàëüíûé íåäîñòàòîê, Âèí ïðåäïîëîæèë, ÷òîìîäû ñ ðàçíûìè ÷àñòîòàìè âîçáóæäåíû ïî-ðàçíîìó, à ýíåðãèÿ êàæäîé ìîäûen = hn.
Åñëè âîñïîëüçîâàòüñÿ ðàñïðåäåëåíèåì Áîëüöìàíà, òî â (6.18) nn ñëåäóåòæ hn öçàìåíèòü âåëè÷èíîé nn exp ç , à ñðåäíþþ ýíåðãèþ ïîëîæèòü ðàâíîéè kT ø÷áe nT ñ = hn . Òîãäà âìåñòî (6.19) ïîëó÷èòñÿe nT =c2ph n 3æ hn öæ hn önn exp ç hn =exp ç .÷è kT øè kT ÷ø4c2(6.20)Îäíàêî ýòà ôîðìóëà äàåò ñîãëàñèå ñ ýêñïåðèìåíòîì ëèøü â îáëàñòè áîëüøèõ ÷àñòîò, êîãäà hn ? kT. 1900 ã. Ì. Ïëàíê ýìïèðè÷åñêè çàïèñàë ñâîþ çíàìåíèòóþ ôîðìóëóe nT =2ph n 3c21,æ hn öexp ç1è kT ø÷(6.21)ïîëó÷èâøóþ íàçâàíèå ôîðìóëû Ïëàíêà. Ýòà ôîðìóëà óäèâèòåëüíî õîðîøî îïèñûâàåò èçëó÷åíèå ÷åðíîãî òåëà. Ïðè ìàëûõ ÷àñòîòàõ hn = kT îíà ñîâïàäàåòñ (6.18), à ïðè hn ? kT ñ (6.20).Ìåòîäàìè êëàññè÷åñêîé ôèçèêè ýòó ôîðìóëó ïîëó÷èòü íå óäàëîñü.
Ýòî äîêàçûâàåò, ÷òî èçëó÷åíèå âåùåñòâà ïîä÷èíåíî çàêîíàì êâàíòîâîé ôèçèêè.Ôîðìóëó Ïëàíêà ìîæíî ïîëó÷èòü, åñëè äîïóñòèòü, ÷òî ìîäà ñ ÷àñòîòîé nìîæåò èìåòü äèñêðåòíûå çíà÷åíèÿ ýíåðãèè en = nhn (n = 1, 2, 3, ¾). Âñå ìîäûâîçáóæäåíû â ðàâíîé ìåðå (êàê è ïðè âûâîäå ôîðìóëû Ðýëåÿ Äæèíñà). Ñðåäíþþ ýíåðãèþ ìîäû ìîæíî ïîäñ÷èòàòü ïî ôîðìóëå¥áe n ñ =æ nhn öå nhn exp çè - kT ÷øn =0¥æ nhn öå exp çè - kT ÷øn =0=hn= nôh n.æ hn öexp ç-1è kT ÷ø(6.22)Çäåñü èñïîëüçîâàíî ðàñïðåäåëåíèå Áîëüöìàíà äëÿ êàæäîé ìîäû. Âåëè÷èíà-1éùæ hn önô = ê exp ç- 1ú ðàâíà ñðåäíåìó ÷èñëó ôîòîíîâ â ìîäå. Ïîäñòàâèâ (6.22)è kT ø÷ëûâ (6.18) è ïåðåõîäÿ ê (6.19), ïîëó÷àåì ôîðìóëó Ïëàíêà.Òåïëîâîå èçëó÷åíèå ÿâëÿåòñÿ ñóììîé ñïîíòàííîãî è âûíóæäåííîãî èçëó÷åíèé ïðè êâàíòîâûõ ïåðåõîäàõ àòîìîâ âåùåñòâà â íàãðåòîì ñîñòîÿíèè. Ýíåðãåòè÷åñêèå óðîâíè àòîìîâ ÷åðíîãî òåëà äîëæíû ïðåäñòàâëÿòü ñîáîé ñïëîøíóþýíåðãåòè÷åñêóþ çîíó.
Ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî ÷åðíîå òåëî äîëæíî ïîãëîùàòüêâàíòû ëþáîé ýíåðãèè. Åñëè ðàññìîòðåòü ëþáóþ ïàðó ýíåðãåòè÷åñêèõ óðîâíåéàòîìîâ íàãðåòîãî âåùåñòâà, òî ïðè ïåðåõîäàõ àòîìîâ áóäåò èçëó÷àòüñÿ èëèïîãëîùàòüñÿ êâàíò ñâåòà ñ ýíåðãèåé hn = W2 - W1. Åñëè ÷èñëî àòîìîâ ñ ýíåðãèåéW1 ðàâíî N1, à ñ ýíåðãèåé W2 N2, òî â ñîñòîÿíèè ðàâíîâåñèÿ ýòè ÷èñëàñî âðåìåíåì íå äîëæíû èçìåíÿòüñÿ ïðè ñïîíòàííûõ è âûíóæäåííûõ ïåðåõîäàõ,ïîýòîìó63dN 2= -N 2 A21 - B 21u nT N 1 = 0.dt ñîñòîÿíèè òåðìîäèíàìè÷åñêîãî ðàâíîâåñèÿN2gæ W - W1 ö g 2æ hn ö= 2 exp ç - 2exp ç .÷ =èè kT ÷øN1g1kT ø g 1(6.23)(6.24)Çäåñü g1, g2 êðàòíîñòü âûðîæäåíèÿ ýíåðãåòè÷åñêîãî óðîâíÿ, ðàâíàÿ ÷èñëó óðîâíåé ñ îäíîé è òîé æå ýíåðãèåé (ãëàâíûì êâàíòîâûì ÷èñëîì), íî ñ îòëè÷àþùèìèñÿ äðóãèìè êâàíòîâûìè ÷èñëàìè.Âûðàçèâ èç (6.23) è (6.24) âåëè÷èíó unT è ïåðåéäÿ ê enT, ïîëó÷èìe nT =cA21 / B 21.4 B12 g1æ hn öexp ç1è kT ÷øB 21 g 2(6.25)Ñðàâíèâàÿ (6.25) ñ (6.21), íàõîäèì8ph n 3; B12 g 1 = B 21 g 2 .(6.26)c3Òàêèì îáðàçîì, âñå êîýôôèöèåíòû Ýéíøòåéíà ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé.
Ýòàñâÿçü íîñèò óíèâåðñàëüíûé õàðàêòåð, è îíà ñïðàâåäëèâà äëÿ ëþáîãî âåùåñòâàâíå çàâèñèìîñòè îò åãî àãðåãàòíîãî ñîñòîÿíèÿ. Ýòîò âàæíûé âûâîä áóäåò íåîäíîêðàòíî ïðèìåíåí â äàëüíåéøåì.Ïðèìåíåíèå çàêîíîâ òåïëîâîãî èçëó÷åíèÿ. Äëÿ ïðàêòè÷åñêèõ öåëåé èñïîëüçóþò èçëó÷àòåëüíóþ ñïîñîáíîñòü êàê ôóíêöèþ äëèíû âîëíû. Äëÿ ÷åðíîãî òåëà,ñîãëàñíî (6.4), îíà ðàâíàA21 = B 21e lT =c2phc 2e=Tnl2l51.æ hc öexp ç1è lkT ÷ø(6.27)Çàâèñèìîñòè elT (â îòíîñèòåëüíûõ åäèíèöàõ) îò äëèíû âîëíû ïðè ðàçíûõòåìïåðàòóðàõ ïîêàçàíû íà ðèñ. 6.6.Ïî ìåðå óâåëè÷åíèÿ òåìïåðàòóðû âîçðàñòàåò ïëîùàäü ïîä êðèâîé (~T 4),è ìàêñèìóì ñìåùàåòñÿ â îáëàñòü êîðîòêèõ äëèí âîëí.
Òåëî íà÷èíàåò ñâåòèòüñÿ,êîãäà êðèâàÿ «íàêðûâàåò» âèäèìûé äèàïàçîí äëèí âîëí.Íà ðèñ. 6.1 öâ. âêë. ïðåäñòàâëåíû ðåçóëüòàòû êîìïüþòåðíîãî ìîäåëèðîâàíèÿñâå÷åíèÿ ÷åðíîãî òåëà ïðè òðåõ ðàçëè÷íûõ òåìïåðàòóðàõ. Ïðè êàæäîé òåìïåðàòóðå ïîêàçàí ôðàãìåíò êðèâîé (6.27)è ïîä íåé âèäèìàÿ ÷àñòü ñïåêòðà, âîñïðèíèìàåìàÿ íàøèì ãëàçîì. Ðÿäîì â êâàäðàòå èçîáðàæåíà ñâåòÿùàÿñÿ ïîâåðõíîñòü÷åðíîãî òåëà. Âèäíî, ÷òî ñ ïîâûøåíèåìòåìïåðàòóðû ÷åðíîå òåëî «ðàñêàëÿåòñÿäîáåëà».Ðèñ. 6.664Êàê îòìå÷àëîñü ðàíåå, àáñîëþòíî ÷åðíîå òåëî ÿâëÿåòñÿ àáñòðàêöèåé. Íàèáîëåå áëèçêî ê íåìó èçëó÷åíèå íàãðåòîé ñôåðè÷åñêîé ïîëîñòè ñ ìàëûì îòâåðñòèåì â íåé.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
