Учебник - Оптика - Алешкевич В.А. (1238765), страница 8
Текст из файла (страница 8)
3.8.Ñðåäíåå çíà÷åíèå êâàäðàòà îãèáàþùåé ðàâíî:áA 2 ñ =¥ò A 2M( A 2 )dA 2= 2s 2 .(3.28)0Ïîýòîìó ðàñïðåäåëåíèå (3.27) ìîæíî ïåðåïèñàòü â èíîì âèäå:æ A2 ö1exp ç - 2 ÷ .2áA ñè á A ñøM( A 2 ) =(3.29)Àíàëîãè÷íîå ðàñïðåäåëåíèå ïîëó÷àåòñÿ è äëÿ èíòåíñèâíîñòè I :M (I ) =1æ I öexp ç .áI ñè áI ñ ÷ø(3.30)Ïîñëåäíåå âûðàæåíèå áîëåå óäîáíî äëÿ ïðàêòè÷åñêèõ ïðèìåíåíèé.Ïåðåéäåì òåïåðü ê çàêîíó ðàñïðåäåëåíèÿ ôàçû j. Èíòóèòèâíî ïîíÿòíî, ÷òîâåðîÿòíîñòü «ïîïàäàíèÿ» êâàäðàòóð â ëþáîé ôðàãìåíò êîëüöà îäèíàêîâà (äëÿëþáîãî óãëà j íà ðèñ. 3.6). Ýòî çíà÷èò, ÷òî ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè M (j) = constíà èíòåðâàëå -p £ j £ p.
Ñ ó÷åòîì íîðìèðîâêè îíà ðàâíàM (j ) =1.2p(3.31)Î÷åâèäíî, ÷òî ájñ = 0.Óñòàíîâèì òåïåðü ñâÿçü ìåæäó á A 2 ñ è ïàðàìåòðàìè îñöèëëÿòîðîâ. Åñëè ïðèíÿòü, ñëåäóÿ Ðýëåþ, ÷òî ai = a = const, à ñëó÷àéíû ëèøü ôàçû ji è óãëû ai, òîèç (3.20) ïîëó÷àåìá A12 ñ = á A22 ñ = Nw (A2) s20,5(3.32)Ñëåäîâàòåëüíî,á A 2 ñ = á A12 ñ + á A22 ñ = Na 2 .0,30,1012Ðèñ. 3.836a2.23 A 2/2s2(3.33)Êàê è ñëåäîâàëî îæèäàòü, èíòåíñèâíîñòüèçëó÷åíèÿ àíñàìáëÿ ñòàòèñòè÷åñêè íåçàâèñèìûõ àòîìîâ ðàâíà ñóììå èíòåíñèâíîñòåéèçëó÷åíèÿ îòäåëüíûõ àòîìîâ.Äèàãðàììà íàïðàâëåííîñòè òàêîãî èçëó÷åíèÿ íå èìååò âûäåëåííîãî íàïðàâëåíèÿ èç-Ðèñ. 3.9ExA(t )tA(t + Dt )0tj(t )Ðèñ.
3.10j(t + Dt )çà õàîòè÷åñêîãî ðàñïîëîæåíèÿ ýëåìåíòàðíûõ äèïîëåé è ïðåäñòàâëÿåò ñîáîéñôåðè÷åñêóþ ïîâåðõíîñòü. Ïîëÿðèçàöèÿ èçëó÷åíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ ôàçîâûìèñîîòíîøåíèÿìè ìåæäó Ex è Ey â (3.17). Åñëè ó÷åñòü, ÷òî êàæäûé àòîì â ñðåäíåìèçëó÷àåò â òå÷åíèå âðåìåíè t ~ 10-8 c, òî âåêòîð E0 áóäåò õàîòè÷åñêè ìåíÿòüñâîå çíà÷åíèå è íàïðàâëåíèå çàìåòíûì îáðàçîì ëèøü íà ýòîì æå ìàñøòàáåâðåìåíè.
Ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî ïîëÿðèçàöèÿ âîëíû îñòàåòñÿ íåèçìåííîé ëèøüâ òå÷åíèå ïðîìåæóòêîâ âðåìåíè Dt = t.Âðåìÿ êîððåëÿöèè.  çàêëþ÷åíèå ýòîé ëåêöèè îáðàòèìñÿ ê âðåìåííîé çàâèñèìîñòè îãèáàþùåé A îò ôàçû j. Äëÿ ýòîãî ïåðåïèøåì âûðàæåíèå (3.16) ââèäåE(t ) =Nå E i = å a ie-t -t itcos [w 0 (t - t i ) + j i ] = E 0 (t ) cos [w 0t + j(t )] .(3.34)Çäåñü ó÷òåíî ðàäèàöèîííîå çàòóõàíèå èçëó÷åíèÿ, êîòîðîå äëÿ êàæäîãî àòîìà íà÷èíàåòñÿ â ñëó÷àéíûé ìîìåíò âðåìåíè ti.Íà ðèñ.
3.9 èçîáðàæåíà ñòðóêòóðà x-êîìïîíåíòû èçëó÷åíèÿ àíñàìáëÿ, ïðåäñòàâëÿþùåãî ñîáîé õàîòè÷åñêóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü öóãîâ ñ ðàçëè÷íûìè íàïðÿæåííîñòÿìè Eix (ðàçëè÷íûìè àìïëèòóäàìè aix è ôàçàìè ji). Öóãè ìîãóò «íàëåçàòü» äðóã íà äðóãà.  ñðåäíåì èõ äëèòåëüíîñòü ðàâíà âðåìåíè ðàäèàöèîííîãîçàòóõàíèÿ t.Êîìïîíåíòà ñóììàðíîãî ïîëÿ (3.34) èçìåíÿåòñÿ âî âðåìåíè òàê, êàê ýòîèçîáðàæåíî íà ðèñ. 3.10. Îãèáàþùàÿ A è ôàçà j ôëóêòóèðóþò âî âðåìåíè îêîëîñâîèõ ñðåäíèõ çíà÷åíèé.Åñëè ïîïûòàòüñÿ óñòàíîâèòü ïóòåì ìíîãîêðàòíûõ èçìåðåíèé ñòàòèñòè÷åñêóþ ñâÿçü ñëó÷àéíûõ çíà÷åíèé A(t) è A(t + Dt) [ëèáî j(t) è j(t + Dt)] (â ìîëåêóëÿðíîé ôèçèêå óæå èñïîëüçîâàëîñü ïîíÿòèå óñëîâíîé âåðîÿòíîñòè), òî ìîæíîñäåëàòü ñëåäóþùèé âûâîä.
Ïî ìåðå óâåëè÷åíèÿ Dt îò íóëÿ ýòà ñòàòèñòè÷åñêàÿñâÿçü ïîñòåïåííî óáûâàåò, è ïðè Dt ~ t îíà ñòàíîâèòñÿ ñóùåñòâåííî îñëàáëåííîé. Ýòî è ïîíÿòíî, ïîñêîëüêó â ìîìåíòû âðåìåíè, ðàçäåëåííûå ïðîìåæóòêîìDt = t, ìû èìååì äåëî óæå ñ ïðàêòè÷åñêè ðàçíûìè öóãàìè. Ïðè Dt ? t ýòà ñâÿçü(êîððåëÿöèÿ) ïîëíîñòüþ èñ÷åçàåò. Ïîýòîìó âðåìÿ t èãðàåò ðîëü âðåìåíèêîððåëÿöèè èçëó÷åíèÿ.
Áîëåå ñòðîãîå åãî îïðåäåëåíèå áóäåò ïðèâåäåíî â ñëåäóþùèõ ëåêöèÿõ.i =1ËÅÊÖÈß 4Åùå â XVII â. È. Íüþòîíîì áûëè âûïîëíåíû çíàìåíèòûå îïûòû ïî ðàçëîæåíèþ áåëîãî ñâåòà â öâåòíîé ñïåêòð.  ðåçóëüòàòå áûëî äîêàçàíî, ÷òî áåëûéñâåò ÿâëÿåòñÿ ñóïåðïîçèöèåé áîëüøîãî ÷èñëà âîëí, êîòîðûå â òå âðåìåíà ïðåäñòàâëÿëè â âèäå ïîòîêà ÷àñòèö, ñêîðîñòè êîòîðûõ è îïðåäåëÿþò öâåò êàæäîéñïåêòðàëüíîé êîìïîíåíòû. Ïîñëå ïðèçíàíèÿ âîëíîâîé ïðèðîäû ñâåòà óòâåðäèëàñü òî÷êà çðåíèÿ, ÷òî öâåò ñïåêòðàëüíîé êîìïîíåíòû îïðåäåëÿåòñÿ èñêëþ÷èòåëüíî åå ÷àñòîòîé.Âûïîëíåííûå âïîñëåäñòâèè ìíîãî÷èñëåííûå îïûòû ïî èçó÷åíèþ ñïåêòðàëüíîãî ñîñòàâà ðàçíîîáðàçíûõ èñòî÷íèêîâ ñâåòà ïîêàçàëè, ÷òî ëþáîé èñòî÷íèê èñïóñêàåò ñâåòîâûå âîëíû, ÷àñòîòû êîòîðûõ çàíèìàþò êîíå÷íûé èíòåðâàë ÷àñòîò, èëè ñïåêòðàëüíûé èíòåðâàë.Îáðàòèìñÿ ê ñïåêòðàëüíîìó ñîñòàâó èçëó÷åíèÿ àíñàìáëÿ àòîìîâ. Ñïåêòðàëüíûé ñîñòàâ ñâåòà ñâÿçàí ñ ïîâåäåíèåì âî âðåìåíè íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ, è ýòà ñâÿçü çàäàåòñÿ èíòåãðàëîì Ôóðüå.Èíòåãðàë Ôóðüå.
Èç êóðñà ìàòåìàòèêè èçâåñòíî, ÷òî ëþáóþ àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìóþ íà èíòåðâàëå -∞ < t < ∞ ôóíêöèþ f (t) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäåèíòåãðàëà Ôóðüå:f (t ) =1p¥1¥ò [à(w) cos wt + b(w) sin wt ] d w = p ò f 0 (w) cos [wt - j(w)] d w.0(4.1)0Ôóíêöèè a(w) è b(w) íàõîäÿòñÿ èç îáðàòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå:a(w) =¥òf (t ) cos wt dt ;-¥b(w) =¥òf (t ) sin wt dt .(4.2)-¥Åñëè f (t) ÷åòíàÿ ôóíêöèÿ, òî b = 0, à åñëè íå÷åòíàÿ, òî a = 0.
Ôóíêöèèa(w), b(w) è f 0 = a 2 + b 2 íàçûâàþòñÿ ñïåêòðàëüíûìè àìïëèòóäàìè, èëè ôóðüå-àìïëèòóäàìè. Îáðàòèì âíèìàíèå, ÷òî f0 ÿâëÿåòñÿ ÷åòíîé ôóíêöèåé ÷àñòîòû: f0(w) = f0(-w). Ôàçà j ÿâëÿåòñÿ íå÷åòíîé ôóíêöèåé ÷àñòîòû: j(w) = -j(-w).Ïîñëåäíåå ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî a(w) = a(-w), b(w) = -b(-w).Áîëåå óäîáíûì äëÿ âû÷èñëåíèé ÿâëÿåòñÿ êîìïëåêñíîå ïðåäñòàâëåíèå èíòåãðàëà (4.1). Ñâîéñòâà ÷åòíîñòè f0(w) è j(w) ïîçâîëÿþò ðàñøèðèòü ôîðìàëüíîîáëàñòü èíòåãðèðîâàíèÿ â îáëàñòü îòðèöàòåëüíûõ ÷àñòîò (ôèçè÷åñêîãî ñìûñëàîíè íå èìåþò):f (t ) =¥1ò f 0 (w) cos [wt - j(w)] d w.2p -¥(4.3)Ââåäåì êîìïëåêñíóþ ñïåêòðàëüíóþ àìïëèòóäó (êîìïëåêñíóþ ôóðüå-àìïëèòóäó) µf 0 (w) = f 0 (w )e -i j(w ). Òîãäà èíòåãðàë (4.3) çàïèøåòñÿ â âèäå38f (t ) =¥1ò µf 0 (w)e i wt d w ,2p -¥(4.4)ãäåµf (w) =0¥òf (t )e -i wt dt .(4.5)-¥Ôîðìóëû (4.4) è (4.5) ïðåäñòàâëÿþò ïðÿìîå è îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèÿÔóðüå â êîìïëåêñíîì âèäå, êîòîðûå áóäåì èñïîëüçîâàòü â äàëüíåéøåì.
Îáðàòèì âíèìàíèå, ÷òî êîìïëåêñíàÿ ñïåêòðàëüíàÿ àìïëèòóäà µf 0 (w) = a(w) - ib(w),ïîýòîìó µf 0*(w) = µf 0 (-w) (çâåçäî÷êà îçíà÷àåò çíàê êîìïëåêñíîãî ñîïðÿæåíèÿ).Äëÿ ïðàêòè÷åñêèõ öåëåé âû÷èñëÿþò ñïåêòðàëüíóþ ïëîòíîñòü | µf 0 (w)| 2, ïîñêîëüêó èìåííî ýòó âåëè÷èíó ìîæíî ýêñïåðèìåíòàëüíî èçìåðèòü. Ðàññìîòðèìíåñêîëüêî ïðèìåðîâ.n Ïðèìåð 1. Ïóñòü f (t ) = a0 cos w 0t . Âîñïîëüçóåìñÿ äåéñòâèòåëüíûì ïðåäñòàâëåíèåì (4.2). Ïîñêîëüêó f (t) ÷åòíàÿ ôóíêöèÿ, òî b = 0. Ñëåäîâàòåëüíî,¥f 0 (w) = a(w) =ò a0 cos w 0t cos wt d w = pa0d(w - w 0 ).(4.6)-¥Çäåñü d(w - w0) äåëüòà-ôóíêöèÿ Äèðàêà: åñëè w ¹ w0, òî d = 0, à åñëèw = w0, òî d ® ∞, ïðè ýòîì¥ò dd w = 1 . Ïðÿìîå ïðåîáðàçîâàíèå (4.1) ïîçâîëÿåò-¥âîññòàíîâèòü èñõîäíóþ ôóíêöèþf (t ) =¥¥1à(w) cos wt d w = a0 ò d(w - w 0 ) cos wt d w = a0 cos w 0t .p ò00(4.7) (4.7) èñïîëüçîâàíî ñâîéñòâî äåëüòà-ôóíêöèè, ñîãëàñíî êîòîðîìó èíòåãðàë îò ïðîèçâåäåíèÿ ëþáîé ôóíêöèè íà äåëüòà-ôóíêöèþ ðàâåí çíà÷åíèþ ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè ïðè òîì çíà÷åíèè àðãóìåíòà, ïðè êîòîðîì äåëüòàôóíêöèÿ îáðàùàåòñÿ â áåñêîíå÷íîñòü (â íàøåì ñëó÷àå àðãóìåíò w = w0).Ôóíêöèþ f (t) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå åå âðåìåííîé çàâèñèìîñòè ëèáîóêàçàòü çíà÷åíèå åå ñïåêòðàëüíîé àìïëèòóäû f0(w), ïîçâîëÿþùåé, ñîãëàñíî(4.3), âîññòàíîâèòü ôóíêöèþ.
 ïåðâîì ñëó÷àå èñïîëüçóåòñÿ åå âðåìåííîåïðåäñòàâëåíèå, âî âòîðîì ñïåêòðàëüíîå (ðèñ. 4.1).Îòìåòèì, ÷òî â ñïåêòðàëüíîì ïðåäñòàâëåíèè ïî îñè îðäèíàò îòëîæåíà âåëè÷èíà f 02(w), ïîñêîëüêó ñ íåé ñâÿçàíà èçìåðÿåìàÿ â ýêñïåðèìåíòå èíòåíñèâíîñòü ñèãíàëà, îïèñûâàåìîãî ôóíêöèåé f (t). Êðîìå òîãî, ïðè w = w0 f 02 ® ∞,Ðèñ. 4.139ïîýòîìó âûñîòà «ïàëî÷êè» äîëæíà áûòü áåñêîíå÷íî áîëüøîé.
 äåéñòâèòåëüíîñòè âñå ñïåêòðàëüíûå àìïëèòóäû êîíå÷íû, ïîñêîëüêó â ïðèðîäå íå ñóùåñòâóåò ñèãíàëîâ, äëÿùèõñÿ áåñêîíå÷íîå âðåìÿ.n Ïðèìåð 2. Ðàññìîòðèì òåïåðü ôóíêöèþ f (t ) = ae -t/t cos w 0t . Òàêàÿ ôóíêöèÿîïèñûâàåò íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ (E = f ) â îòäåëüíîì öóãå èçëó÷åíèÿ. Îïðåäåëèì | µf 0 (w)| 2, ïîëüçóÿñü êîìïëåêñíûì ïðåäñòàâëåíèåì (4.5):µf (w) =0¥ò-¥¥f (t )e -i wt dt = a ò e -t /t-¥e i w0t + e -i w0t -i wtedt .2(4.8)Îïóñêàÿ ïðîìåæóòî÷íûå âûêëàäêè, ïîëó÷èì ñïåêòðàëüíóþ ïëîòíîñòü| µf 0 (w)| 2 = µf 0 (w) µf 0*(w) = a 2w2 + 1 t2(w 02w2-w ) +4 2t.(4.9)2 2Äëÿ ñëàáîãî çàòóõàíèÿ (w0 ? 1/t) è ïðè w » w0 âûðàæåíèå (4.9) ìîæíîçíà÷èòåëüíî óïðîñòèòü, ïîëàãàÿ (w 02 - w 2 ) 2 » 4 w 02 (w 0 - w) 2. Òîãäà| µf 0 (w)| 2 »a24w 02w 02 (w 0 - w) 2 +w 022=a2 2t L(w),4(4.10)tãäåL (w ) =1t (w 0 - w)2 + 12(4.11) ëîðåíöåâà ôóíêöèÿ.Ãðàôèê ýòîé ôóíêöèè, íàçûâàåìûé ëîðåíöåâûì êîíòóðîì, ïðåäñòàâëåííà ðèñ.
4.2.Øèðèíó Dw ýòîãî êîíòóðà íàõîäÿò èç óñëîâèÿ óáûâàíèÿ ôóíêöèè L âäâîå:11=.2 æ Dw ö 2çè t÷ +12 øÐèñ. 4.240(4.12)Îòñþäà Dw = 2/t. ×åì áîëüøå âðåìÿ çàòóõàíèÿ, òåì óæå êîíòóð.  ïðåäåëå, ïðè t ® ∞Dw ® 0, êàê ýòî èìåëî ìåñòî â ïðåäûäóùåìïðèìåðå.Ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü èíòåíñèâíîñòè. Ïðèìåíèì èíòåãðàë Ôóðüå ê îïèñàíèþ ñïåêòðàëüíûõ õàðàêòåðèñòèê ñâåòà. Ïîä ôóíêöèåé f (t)áóäåì ïîäðàçóìåâàòü îäíó èç êîìïîíåíò E(t)íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ ñâåòîâîé âîëíû.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
