Учебник - Общий курс физики. Оптика - Сивухин Д.В. (1238764), страница 172
Текст из файла (страница 172)
ф 123, Нелинейная поляризация среды 1. Изобретение лазеров сделало возможным экспериментировать с интенсивными световыми пучками, в которых напряженность электрического поля ие пренебрежимо мала по сравнению с внутри- атомными и цнутримолекулярными полями (см. 5 5, пункт 3). В таких пучках возникают уже нглинейныг оптические явления, и притом не только как малые поправки к линейным, но также и как явления крупного масштаба, нашедшие важные практические применения. О некоторых нелийейных явлениях в оптике (увеличение прозрач- 726 ЛАЗЕРЫ И НЕЛИНЕЙНАЯ ОПТИКА !гл х! ности среды с увеличением интенсивности света, вынужденное рассеяние Мандельп(увма — Бриллюэна, вынужденное комбинационное рассеяние) уяге говорилось в главе НП1 (см. ээ" 91, 99, 100). При распространении света в среде все такие явления связаны прежде всего с нелинейной зависимостью вектора поляризации среды Р от напряженности электрического поля Е световой волны. Среду мы будем предполагать однородной, не будем учитывать ее магнитные свойства и пространственную дисперсию.
Если поле Е еще не очень сильное, то вектор Р можно разложить по степеням составляющих вектора Е и оборвать такое разложение на несколь. ких первых членах. Тогда в общем случае, когда среда анизотропна, можно написать Р =а!»Е»+а!»!Е»Е!+а!»!„Е»Е!Е„,+..., (123.1) где в соответствии с общепринятой тензорной символикой подразумевается, что по дважды повторяющимся индексам производится суммирование.
Здесь тензор а,, есть обычная или линейная поляризуемоеть среды, а тенэоры высших порядков а,м, а,„, ... называются соответственно квадратичной, кубичной й пр. поляризуемоетями, Поле Е предполагается монохромшпичееким, а поляризуемости а — функциями частоты ьт. Для изотропной среды все тензоры аьм агы, ... вырождаютсл в скаляры. Если каждая точка среды является центром симметрии, то все поляризуемости четных порядков обращаются в нуль. (Четиость определяется числом индексов без первого.) Действительно, изменим на противоположные направления всех координатных осей. Тогда изменятся знаки у Е» и Е,, но агы останется неизменным, так как начало координат, как и всякая точка среды, есть ее центр симметрии.
Не изменится и весь квадратичный член а;„,Е„Е,. Но знак Р! изменится на противоположный. Чтобы соотношение (123.1) осталось справедливым и в новой системе координат, должно быть а!»! — — О. Так же докажем, что должны обращаться в нуль и остальные поляризуемости четных порядков. С наличием квадратичной поляризуемости связаны многие нелинейные оптические явления, Из доказанного выше следует, что в изотропных средах нелинейные квадратичные явления невозможны.
Тем не менее и при рассмотрении таких явлений можно пользоваться моделью изотроппой среды, полагая Р = аЕ+ а» ЕЕ+ а» Е'Е+..., где поляризуемости а, а„а„... являются уже скалярами. Такое упрощение вполне допустимо при качественном рассмотрении возможных нелинейных оптических явлений. Надо только иметь в виду, что в кристаллах в выбранном направлении могут распространяться волны не всех, а только избранных поляризаций. Соотношение (123.2) приближенно применимо к каждой из таких волн, причем 727 нелинейная поляРизьция сРеды 4 ия для различных волн поляризуемости а, а„ ... имеют разные зна- чения.
Кроме того, волны разных поляризаций могут нелинейно взаимодействовать, обмениваясь энергией друг с другом. Такое взаимодействие должно иметь место при тензорной связи (123.1) между Р и Е. Но оно было бы невозможно, если бы эта связь была скалярной типа (123.2). Понятно, что при нашем подходе влияние такого взаимодействия может быть учтено только качественно. 2. Разобьем поляризацию Р на линейную и нелинейную части: Р = Р, + Рюп Нелинейная часть определяется выражением Рня "- а,ЕЕ )-аьЕеЕ+ э (123.3) а линейная Р, =- аЕ. В соответствии с этим и индукция Хл = Е + + 4пР представится суммой линейной части Х1, = Е+ 4пР„и не- линейной Хл„, 4яР„. Линейная часть, очевидно, равна Р, = еЕ, где е — обычная диэлектрическая проницаемость среды, как она определяется в линейной электродинамике.
После этого запишем систему фундаментальных уравнений Максвелла в следующем виде: е дЕ 4п дР„, го1 Н вЂ” —— с дь с д1 — В~ (123.4) с дС й! у (ЕЕ) — 4я д(ч Р„„ се(7 Н О. Для решения такой системы применяем метод последовательных приближений. В нулевом приближении в уравнении (123.4) отбрасываем правые части. Получатся обычные уравнения линейной электродинамики. В качестве нулевого приближения возьмем плоскую волну Е = Е, А соз (о( — йг), (123.5) где волновой вектор Ф удовлетворяет обычному соотношениюФ = = аы'!с'. Для нахождения первого приближения в (123.3) отбросим кубичные и высшие члены, а в квадратичном члене а,ЕЕ поле Е заменим его выражением (123.5) в нулевом приближении. После этого снова получатся линейные уравнения, но уже неоднородные, с известными правыми частями. Эти правые части могут быть истолкованы как добавочные источники волн, обусловленные нелинейной частью поляризации среды.
Каждый элемент объема йУ среды переизлучает волны как диполь Герца с добавочным дипольным моментом Р, йУ. Эти излучения, накладываясь на волну (123.5), и создают волновое поле Е„-(- Е, в первом приближении. Второе приближение находится так же. Для этого выражение (123.3) обрываем на членах третьей степени, заменяя в оборванном выражении вектор Е на Е, + Е„после чего вычисляем поле Е, + Е, + Е, во втором приближении, и т. д. 728 ЛАЗЕРЫ И НЕЛИПЕПНАЯ ОПТИКА )Гл х! К изложенному надо еще добавить, что следует понимать под а в уравнениях (123.4), когда среда обладает дисперсией.
Ответ заключается в следующем, Если взять какое-либо приближение, то в правой части уравнений (!23.4) появятся слагаемые не только с исходной частотой ы, но и с частотами 2ы, Зы, ... Могут появиться и другие частоты, как, например, при параметрической генерации света (см. $ 126). Надо Е и гл искать в виде суммы монохроматических полей с теми же частотами. Уравнение (123.4) следует написать для каждой частоты в отдесгьности, сохранив в правой 'части только члены той же частоты и понимая под е значение функции е также при той эке частоте.
Именно такой символический смь)сл имеет система уравнений (!23.4). й 124. Первое приближение. Оптическое детектирование. Генерация вторых гармоник, суммарной н разностной частот 1. Нелинейная добавка (123.3) к поляризации среды, вычисленная в нулевом приближении, равна Р„, = игЕ! = — '+ — 'соз 2 (ы! — Фк).
(124.1) игЛ2 и)А2 2 Первое слагаемое в этом выражении не зависит от времени. С ним связано так называемое оптическое детектирование, т. е. возникновение в нелинейной среде постоянной электрической поляризации при прохождении через нее мощной световой волны. Это явление аналогично-выпрямлению синусоидального электрического тока, Его можно наблюдать, если между обкладками конденсатора, одна из которых заземлена через большое сопротивление, поместить кристалл (например, кварца) и пропустить через него световой пучок от рубинового лазера.
Вследствие детектирования световой пучок возбуждает в цепи конденсатора импульс электрического тока, который можно обнаружить с помощью осциллографа. 2. Второе слагаемое в (!24.1) гармонически меняется во времени. С ним связана генерация в нелинейной среде второй гармоники, т, е. волны с удвоенной частотой с)г = 2ы. Для нахождения поля этой гармопики поступаем так, как изложено в предыдущем параграфе, Переходя к комплексной форме, получаем систему уравнений го! лт — " — = гь) — '"' ААеп !"' с дг с (124.2) дЬ Е=-д!т И=О. Найдем сначала частное решение этой системы Š— А е)2 ггс! — Ас) 24Г и„е)2 гы — ьг) гвнвалция втоэых гхвмоник тх9 $ 124] соответствующее вынужденным колебаниям о частотой 2в].
Из второго уравнения обычным путем находим, что векторы Е и Н вюимно перпендикулярны. Аналогично, из последних двух уравнений следует, что (ФА,) (ФЕ,) = О, т. е. рассматриваемая плоская волна поперечна как в отношении вектора Е, так и в отношении вектора Н. Учтя это, а также соотношение Щ = в'е (а]), из первых двух уравнений получим 2пае А1=е(,) (9, АА. Надо еще удовлетворить условию, чтобы на входе в нелинейную среду (где мы поместим начало координат) интенсивность второй гармоники обращалась в нуль.
Для этого к частному решению, найденному выше, надо добавить общее решение соответствующей однородной системы уравнений и подобрать амплитуду его так, чтобы указанное условие выполнялось. Возвращаясь снова к вещественной форме записи, таким путем получим Е, = "~' АА (соз (в],( — 2йк) — соз (в],( — й,г)), (124.3) где Ц = в],'е (в],)/с'. 3. Таким образом, вторая гармоника представляет собой наложение двух волн одной и той же частоты «], = 2вл вынужденной волны соз (м,( — 2йг) и свободно распространяющейся волны — соз (в],г — й,г). Обе волны распространяются в одном и том же направлении, но с различными фазовыми скоростями. Поэтому по мере распространения будет меняться разность фаз между ними и возникнет характерное в таких случаях явление биений.
Интенсивность г', второй гармоники найдется возведением в квадрат и последующим усреднением по времени выражения (124.3). Опуская численные коэффипненты и обозначая через 1 интенсивность исход. ной волны, таким путем найдем и(вгхЧх (з]п 5 '1х (124. 4) где х — расстояние, пройденное волной, и введено обозначение (124.5) При этом в знаменателе формулы (124.4) мы пренебрегли различием между показателями преломления и (в]) и и (2в]), Когда р = О, и, 2п, ..., интенсивность первой гармоники обра'щается в нуль. Максимумы интенсивности получаются примерно 7ЗО [ГЛ.
Х4 ЛАЗЕРЫ И НЕЛИНЕННАЯ ОПТИКА посередине между минимумами. Таким образом, с возрастанием х ин:генснвность второй гармоники возрастает, когда р лежит при. близительно между нулем и п/2, между и и Зп/2 и т. д. В этих случаях энергия переходит от исходной волны ко второй гармонике.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
