Учебное пособие - Числовые ряды - Кузьмина (1238759), страница 7
Текст из файла (страница 7)
8.данные последовательности (an ) сходятся:n55n;4) an =52) a = ;nn!5) an =1) an =n3) an =6. 9.ln nnk, k > 1;nnn5 ⋅ n!;(2n ) ! ;(2 )!nnn.6) an =(2n )!Исследовать ряд на сходимость, пользуясь признаком Коши:∞n⎛ n −1 ⎞1) ∑ ⎜⎟ ;т =1 ⎝ 2n + 1 ⎠ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005∞⎛ 2n + 5 ⎞2) ∑ ⎜⎟n =1⎝ 3n − 1 ⎠2 n −1;Стр. 56 из 59Кузьмина С.С., Шевалдина О.Я.3)Числовые ряды2n∞⎛ n ⎞n⎜⎟ ;⎝ 4n − 3 ⎠∑n =1nn =11⎞⎛∑ n ⎜ arctg n ⎟ ;⎠n =1 ⎝4)∑ arcsin5)n∞∞∞∑6)n =1n!nn⎛ 2n − 5 ⎞⎜⎟⎜ 2n + 3 ⎟ ;⎝⎠.Ответы: 1) сходится; 2) сходится; 3) сходится; 4) сходится;5) расходится; 6) расходится.Найти все значения α , при которых сходится ряд:6.
10.1)∞∑n =12)3nα9n + arctg n∞∑n =1⎛ 1⎜3) ∑ ⎜ nn =1 ⎜⎝∞;⎛⎞⎜ 7 1 + n α sin π − 1⎟ ;2⎜⎟n⎝⎠⎛ n 2 +1 ⎞⎜⎟⎝⎠α⎞⎟− 1⎟ .⎟⎠41Ответы: 1) α > ; 2) α < 1; 3) α > .326. 11.Исследовать ряд на сходимость, пользуясь интегральным призна-ком Коши:1)2)∞1n =1(2n + 1)ln (5n + 1)∑∞∑n=23)2135n ⋅ ln n;;∞∑4)n=2∞5)ln n∑ n ;n =1(n − 3)∞e∑6)n∑n=2∞1;n ⋅ 3 ln n + 1n =122;nn.Ответы: 1) сходится; 2) сходится; 3) расходится; 4) расходится;5) сходится; 6) расходится.6.
12.Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость:17131925311)+ 2 − 3 + 4 + 5 − 6 + … ; 5)10 1010 1010 10ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005(− 1)n∑ n ln(n + 1)ln ln(n + 2 ) ;n =1∞Стр. 57 из 59Кузьмина С.С., Шевалдина О.Я.Числовые ряды⎛ (− 1)n ⎞+ n − n + … ;____6) ∑ n ⋅ arcsin⎜ n ⎟ ;⎜⎟n =123⎝ 3 ⎠1 1 112) − + 2 − 2 +2 3 233)4)∑n =1 3n∞∑((− 1)n+1 n 3 + 7∞41);∞12∞7) ∑+ 12 n + 5n=2(− 1)n −1 .n ln (n + 1)(− 1)n ⋅ 2 n ;n =1n4 +7Ответы: 1) сходится абсолютно; 2) сходится абсолютно; 3) сходитсяусловно; 4) сходится абсолютно; 5) сходится условно; 6) сходится абсолютно; 7) сходится условно.6. 13.Исследовать на сходимость ряды, используя признаки Абеля иДирихле:1)∞∑n =1∞2)∑n=2∞3)(− 1)n ⋅ arcsin⎛n∞5ln n⎛ πn ⎞⋅ cos ⎜ ⎟n⎝ 5 ⎠;∑ (− 1)n +1n =1⎛⎞⎜ 11⎟− cos ⎟ cos πn.4) ∑ ⎜1n⎟⎜n =1 n sin⎜⎟n⎝⎠π ⎞⎜5 ⎟;⎝ n⎠arctg nn ;Ответы: 1) сходится абсолютно; 2) сходится условно; 3) сходится условно; 4) сходится абсолютно.6.
14.1)Вычислить сумму знакочередующегося ряда:1111−5−+−+ … с точностью до 10 ;2 !2 4!4 6!6 8!823412222−92)−+−+− … с точностью до 10 .357910 3 ⋅ 102!5 ⋅ 103!7 ⋅ 104!9 ⋅ 10Ответы: 1) 0,23981 ; 2) 0,099337315.ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005Стр. 58 из 59Кузьмина С.С., Шевалдина О.Я.6. 15.Числовые рядыЧисло e = 2,7182818284590… . Каково наименьшее число k , длякоторого k -я частичная сумма ряда e = 1 +1 1 1+ + +1! 2! 3!+1+n!позволяетвычислить десять верных знаков после запятой десятичного разложения числаe?6. 16.(n !)2∑n =1 (2n ) !∞Исследовать сходимость рядаи оценить погрешностьприближенного равенства S ≈ S 5 .6.
17.Сколько членов ряда∞1∑ (2n − 1)!нужно взять, чтобы ошибкаn =1при замене суммы S этого ряда частичной суммой S n не превышала 10 − 5 ?Найти приближенно сумму ряда в этом случае.6. 18.Исследовать сходимость ряда∞∑n=2ln nn2и оценить погрешностьприближенного равенства S ≈ S 5 .ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005Стр. 59 из 59Кузьмина С.С., Шевалдина О.Я.Числовые рядыБИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК1.
Виноградова, И.А., Олехник, С.Н., Садовничий. В.А. Задачи и упражнения по математическому анализу. В 2 кн. – М. : Высш. шк., 2000.– Кн. 2. – 712 с.2. Зорич, В.А. Математический анализ. – М. : Наука. Гл. ред. физ.-мат.лит, 1981. – Ч. 1. – 544 с.3. Ильин, В.А., Садовничий, В.А., Сендов, Б.Х. Математический анализ.– М. : Изд-во МГУ, 1987. – Т.2. – 358 с.4. Кудрявцев, Л.Д., Кутасов, А.Д., Чехлов, В.И., Шабунин, М.И. Сборник задач по математическому анализу.
Интегралы. Ряды. – М. : Наука.Гл. ред. физ.-мат. лит. 1986. – 528 с.5. Практикум по высшей математике для экономистов./ Под ред.Н.Ш. Кремера. – М. : ЮНИТИ-ДАНА, 2002. – 423 с.6. Солодовников, А.С., Бабайцев, В.А., Браилов, А.В. Математика вэкономике. – М. : Финансы и статистика, 2001. – Ч. 2. – 560с.ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005Стр. 60 из 59Учебное электронное текстовое изданиеКузьмина Светлана Сергеевна,Шевалдина Ольга ЯковлевнаЧИСЛОВЫЕ РЯДЫРедакторКомпьютерная версткаН.П. КубыщенкоА.А. ШолинаРекомендовано РИС ГОУ ВПО УГТУ-УПИРазрешен к публикации 02.12.05.Электронный формат – PDFФормат 60х90 1/8Издательство ГОУ-ВПО УГТУ-УПИ620002, Екатеринбург, ул.
Мира, 19e-mail: sh@uchdep.ustu.ruИнформационный порталГОУ ВПО УГТУ-УПИhttp://www.ustu.ru.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
