Учебное пособие - Числовые ряды - Кузьмина (1238759), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Исследовать сходимость рядаn(n).∑∞n =1ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005=n!Стр. 28 из 59Кузьмина С.С., Шевалдина О.Я.aИмеемlimn→∞an +1a(=Числовые ряды)n +1 n! =n(n + 1)! ( n )nnn +11 ⎛ 1⎞ 2⎜1 + ⎟ . Отсюдаn +1⎝ n ⎠nn +1a= limn→∞nn11 ⎛ 1⎞ 2⎛ 1⎞ 2⋅ lim ⎜1 + ⎟ = 0 ⋅ e = 0 < 1 ,⎜1 + ⎟ = limn→∞ n + 1 n→∞ ⎝n⎠n +1⎝ n ⎠т.е. рассматриваемый ряд сходится.∞1n =1(2n − 1) ⋅ 32n −1∑Пример 40. Исследовать сходимость ряда. Оценить по-грешность приближенного равенства S ≈ S .
Найти в этом случае сумму ряда.5limПо признаку Даламбера:ряд сходится. Найдем S 5 =r =5<11111 ⋅ 3+11313 ⋅ 3+15⎛11⎜1 + + +11 ⎜24311 ⋅ 3 ⎝ 3n +1an2 n −1(2n − 1)⋅ 31=< 1,= limn → ∞ (2n + 1) ⋅ 32 n +19поэтому11111++++. Так как35793 3⋅35⋅37⋅39⋅3115 ⋅ 3n→∞a+<11111 ⋅ 3+11311 ⋅ 3+11511 ⋅ 3+<⎞119−7⎟=⋅=≈5,7⋅10< 0,000001,⎟11 1 − 1 9118 ⋅ 11 ⋅ 3⎠ 11 ⋅ 31то, для того чтобы гарантировать требуемую точность, будем вычислять каждоеслагаемое с семью знаками после запятой, делая округление на седьмом знаке.При такой точности вычислений ошибка при подсчете каждого слагаемого бу−8дет меньше, чем 5 ⋅ 10 , и накопление таких ошибок от пяти членов ряда будет меньше, чем 5 ⋅ 5 ⋅ 10−8−7< 3 ⋅ 10 . ПоэтомуS = 0,3333333 + 0,0123456 + 0,0008230 + 0,0000653 + 0,0000056 =5= 0,3465728 ≈ 0,346573 .Окончательная погрешность вычислений (т.е. сумма погрешности от отбрасывания всех членов ряда, начиная с шестого, и погрешности от неточного вычисления пяти членов ряда) будет меньше, чемГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005Стр.
29 из 59Кузьмина С.С., Шевалдина О.Я.Числовые ряды3 ⋅ 10−7+ 6 ⋅ 10−7= 9 ⋅ 10−7< 10−6= 0,000001 .Замечание. Для оценки остатка ряда можно было воспользоваться формулой r ≤na n +11− q,где q =an+2a n +1.Теорема_13 (радикальный признак Коши).
Пусть дан ряд:∞∑ an ,a > 0 ∀n∈ Ν .nn =1Если ∃q : 0 < q < 1 ∃ nq ∈ Ν :Если же ∃ n0 ∈ Ν : ∀ n ≥ n0 ⇒∀n≥n ⇒qnnan ≥ 1 , то рядa ≤ q , то ряд сходится.n∞∑ anрасходится.n =1На практике обычно применяют признак Коши в предельной форме: если существует предел:limn→∞то при 0 ≤ q < 1 ряд∞∑ anna = q,nсходится, а при q > 1 – расходится.n =1При q = 1 возможна как сходимость, так и расходимость ряда.Пример 41. Исследуем сходимость рядаИмеем limn→∞nan = limn→∞n1 ⎛ 1⎞1+ ⎟n⎜n⎠⎝2n2∞1 ⎛ 1⎞1+ ⎟n ⎜n⎠n =1 2 ⎝∑n2.n1⎛ 1⎞e= lim ⎜1 + ⎟ = > 1 ,n→∞ 2 ⎝2n⎠следовательно, по признаку Коши ряд расходится.3⎛⎜ 2nn+ 1 ⎞⎟Пример 42.
Исследуем сходимость ряда ∑ n.2⎜⎟n =1⎝ 5n + 1 ⎠∞Так как limn→∞nn = lim en→∞ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005⎛ 1ln ⎜ n⎜⎝n⎞⎟⎟⎠=eln nn →∞ nlim20= e = 1 , то limn →∞nan =Стр. 30 из 59Кузьмина С.С., Шевалдина О.Я.( n)n→∞= limn322n + 125n + 1= 1⋅Числовые ряды2< 1 . Поэтому данный ряд сходится.5∞Пример 43. Исследуем на сходимость ряд∑n =1n2n(n !)2.⎛n⎞Используя асимптотическую формулу Стирлинга n ! ~ ⎜ ⎟⎝e⎠получим limn→∞nn2n(n !)2n= lim2n2nn→∞ n⎛n ⎞⎜ ⎟ 2πn⎝e ⎠= limen→∞(2 π )21nn2πn , n → ∞ ,21nne2== e > 1.1⋅1Следовательно, данный ряд расходится.3. 4.Интегральный признак Коши-Маклорена(Маклорен Колин (1698 – 1746) – шотландский математик, ученикИ.Ньютона.)Теорема_14. Если функциятает на промежутке(a, + ∞ )f : (0, + ∞ ) → ℜ неотрицательна и не возрас-∀a > 0 , то ряд:∞∑ f (n )(3. 3)n =1и несобственный интеграл:+∞∫ f (x )dx(3.
4)a– сходятся или расходятся одновременно.Если ряд (3. 3) и интеграл (3. 4) сходятся, то справедливы следующиеоценки:+∞∫n +1ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005+∞f ( x)dx ≤ r ≤ ∫ f ( x)dx ,n(3. 5)nСтр. 31 из 59Кузьмина С.С., Шевалдина О.Я.Числовые ряды+∞∫f ( x)dx ≤ r ≤nn +1где rn =∞∑ f (k ).+∞∫ f ( x)dx + f (n + 1),(3. 6)n +1Заметим, что оценка сверху в неравенстве (3. 6) являетсяk = n +1следствием оценки сверху в неравенстве (3.
5).∞При α > 0 функция f ( x ) =[1; + ∞ ) .1x1∑Пример 44. Рассмотрим обобщенный гармонический рядn =1 nα, α ∈ℜ .положительна, убывает на промежуткеαПри α ≠ 1 имеем:+∞∫1b− α +1 b1− α1xb===−limlimlim.∫ααbbb→+∞→+∞→+∞−α+−α−α111x1x1dxdxРассмотрим три случая:1) еслиb∫b → +∞lim1dxxα0 < α < 1,b → +∞то приb1−α→ +∞ ,следовательно,= +∞ , т.е. интеграл расходится, а значит расходится и ряд (это мыустановили выше другим способом);2) если α = 1, то исходный ряд превращается в гармонический ряд, расходимость которого была доказана в п. 1.1, (впрочем, интеграл+∞∫1dxтакже расxходится);1−α3) если α > 1 , то при b → +∞ bbdx1=,b → +∞ ∫ x αα −1→ 0 , следовательно, lim1т.е.
несобственный интеграл сходится, а значит и ряд сходится.ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005Стр. 32 из 59Кузьмина С.С., Шевалдина О.Я.Если α ≤ 0 , то рядЧисловые ряды∞∑1n =1 nαрасходится, так как в этом случае не выполненонеобходимое условие сходимости ряда: lim1n →∞ nα∞1∑Итак, рядn =1 nα≠ 0.сходится при α > 1 и расходится при α ≤ 1.Пример 45. Исследовать на сходимость ряд∞1∑n ⋅ ln nn=2Введем функциюпринимаетf ′( x ) = −тельно,(положительныеβ + ln x2x ⋅ ln∫2β +1x1βx ⋅ ln x[2;+∞ ). На промежуткезначения,.
Если β + ln x > 0 , т.е.аееx>e−βэта функцияпроизводная, торавнаf ′( x ) < 0 . Следова-f ( x ) положительная функция и убывает на промежутке [a; + ∞ ) , гдеa = max 2; e+∞f (x ) =.β−β).Рассмотримнесобственныйln x = t ,bdtlimf ( x)dx = lim ∫==dx∫ β.b → +∞b → +∞ x (ln x ) βdt=2ln 2 txbdxинтеграл:Из последнего равенствавидно, что данный интеграл сходится, если β > 1 , и расходится, если β ≤ 1.Следовательно, исследуемый ряд сходится приβ > 1 и расходится приβ ≤ 1.Пример 46. Исследовать на сходимость ряд∞1.()n+n+(31)ln2n=2∑В этом случае непосредственное применение интегрального признака нецелесообразно, т.к. вычисление несобственного интеграла может оказаться затруднительным. Сравним общий член данного ряда с общим членом ряда∞1∑ n ln n .Найдем:n=2ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005Стр. 33 из 59Кузьмина С.С., Шевалдина О.Я.Числовые рядыn ln n= limn → ∞ (3n + 1)ln (n + 2 ) n → ∞lim∞Так как ряд1∑ n ln nn ln nln n1= = lim3 n→∞⎛ln n + ln⎜1 +(3n + 1)ln⎛⎜ n⎛⎜1 + 2 ⎞⎟ ⎞⎟⎝⎝ ⎝ n ⎠⎠1= .2⎞ 3⎟n⎠расходится (см.
предыдущий пример), то по предельно-n=2му признаку сравнения исходный ряд также расходится.∞∑Пример 47. Исследовать сходимость рядаn =1Так какln nnq>1nqln nnq, q > 0., если n > 3 , то в силу теоремы сравнения данный рядрасходится при 0 < q ≤ 1 .Пустьq > 1 . Так как по правилу Лопиталяпри ∀ α > 0 , то, в частности, для∀n ≥ N (α )где α =ln nnαlimln nn→∞nα1= limn → ∞ n ⋅ α n α −1=0N (α ) , такой, чтоε = 1 найдется номер≤ 1.
Число q > 1 запишем следующим образом: q = 1 + α + α ,q −1> 0 . Тогда ∀n ≥ N (α )2как обобщенный гармонический рядln nnq∞∑n =1=11+ αnln nnα⋅11+ αn≤ 1⋅11+ αn=11+ αn, и такпри ∀ α > 0 сходится, то в силутеоремы сравнения и исходный ряд сходится для всех значений q > 1 .∞Вывод: ряд∑n =1ln nnсходится, если q > 1 , и расходится, если 0 < q ≤ 1 .qЗамечание. Аналогично доказывается, что ряд∞∑n =1значенийp ∈ℜиpln nnqсходится для всехq > 1 ; кроме того, этот ряд сходится и для значенийq = 1, p < −1 (см. пример 45).ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005Стр.
34 из 59Кузьмина С.С., Шевалдина О.Я.Числовые рядыПример 48. Выясним, сколько членов ряда 1 +122+132+ ... +1n2+ … надосложить, чтобы найти сумму этого ряда с точностью до 0,001.Введем функцию f ( x) =+∞∫n +1dxx2≤r ≤n+∞∫n +1погрешностьdxx2не+11x2, x ≥ 1 . По формуле (3. 6)111≤r ≤+. Так как требуемаяn + 1 n n + 1 (n + 1)2или(n + 1)2должнапревосходить0,001,топотребуем,чтобы11+< 0,001. Тогда при n ≥ 1000 r = S − S < 0,001, значит для выnnn + 1 (n + 1)2числения суммы ряда с требуемой точностью следует сложить по меньшей мере 1000 членов ряда! Как видим, сходимость ряда весьма «медленная».Замечание.
При решении данной задачи можно было воспользоваться иоценкой (3. 5).3. 5.Метод выделения главной частиПри исследовании на сходимость ряда∞∑n =1anс неотрицательными чле-нами полезны асимптотические формулы вида:an ~an ~В случае (3. 7) ряд∞∑ ancn(n → ∞,αcαβn ln nc > 0) ,(n → ∞,c > 0) .(3. 7)(3. 8)сходится при α > 1 и расходится при α ≤ 1 ;n =1в случае (3. 8) ряд∞∑n =1a n сходится, если α = 1, β > 1 или α > 1, β ∈ ℜ , и вдругих случаях расходится.ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005Стр.
35 из 59Кузьмина С.С., Шевалдина О.Я.Числовые ряды∞∑Пример 49. Исследовать сходимость рядаn =11nЗдесь an = n n − 1 = nтельностьbn =−1= eln nn−1~ln nпри n → ∞ , так как последоваnln nявляется бесконечно малой при n → ∞ . Ряд с общим членомnln nсогласно (3. 8) расходится, поэтому исходный ряд также расходится.n∞данного ряда a n =(n⋅33ln n + 273n +n +5)~3 n ⋅ lnn7n =1 312(n⋅∑Пример 50.
Исследовать сходимость рядаα=(n n − 1).n=33ln n + 273n +n +53 lnn412n) . Общий член, n → ∞ . Здесь314> 1, β = − , и согласно (3. 8) исходный ряд сходится.23⎛ln∑ ⎜⎜ 1 +n =1⎝∞Пример 51. Исследовать сходимость ряда⎞⎟ . Замеα ⎟sin n + n ⎠1тим, что при α = 0 предел lim 1 + sin n не существует, так как не существуетn →∞предел lim sin n ; если α < 0,n→∞αто n → 0 ,(lim sin n + nn →∞α)не существует,и общий член ряда не стремится к нулю. Следовательно, при α ≤ 0 ряд расходится.
При α > 0⎛1ln⎜1 +α⎜sin n + n⎝сходится при1sin n + nα⎯n⎯⎯→ 0 . Так как ln (1 + t ) = t + o(t ), t → 0 , то→∞⎞11⎟~~ α 2 , n → ∞.α⎟nsin n + n⎠Согласно (3. 7) данный рядα> 1 и расходится при 0 < α ≤ 2 .2ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005Стр. 36 из 59Кузьмина С.С., Шевалдина О.Я.Числовые рядыОкончательно получаем: исходный ряд сходится при α > 2 и расходитсяпри α ≤ 2 .Пример 52 .
Исследовать сходимость ряда∞∑n =1ln()1 + tg 1 n.1 + arctg 1 n()Используя разложения:2()3()3ttt33ln (1 + t ) = t − + + o t , t → 0, tg t = t + + o t , t → 0,2 333()t3arctg t = t − + o t , t → 0,323()2()t2tt33находим ln (1 + tgt ) = t − ++ o t , ln(1 + arctg t ) = t − + o t , t → 0.232Следовательно, a =n23n32ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005⎛ 1 ⎞2+ o⎜⎜ 3 2 ⎟⎟ , т. е. an ~ 3 2 , и потому ряд сходится.3n⎝n ⎠Стр. 37 из 59Кузьмина С.С., Шевалдина О.Я.Числовые ряды4. Знакопеременные рядыЗнакопеременный ряд – это ряд, членами которого являются вещественные числа произвольного знака.Определение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
