Учебное пособие - Числовые ряды - Кузьмина (1238759), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Рядa1 + a 2 + ... + a n + ...(2. 1)называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из модулей его членов:a + a + ... + a + ...12(2. 2)nОпределение. Сходящийся ряд (2.1) называют условно сходящимся, еслиряд (2. 2) расходится.4. 1.Свойства абсолютно и условно сходящихся рядовТеорема 15. Если ряд (2.1) абсолютно сходится, то он сходится, причемимеет место неравенство:∞∑ an≤n =1∞∑n =1an .Теорема 16. Сумма абсолютно сходящегося ряда равна разности суммдвух положительных рядов, составленных соответственно из всех положительных членов ряда и из абсолютных величин всех его отрицательных членов.Теорема_17 (признак сравнения). Если существует сходящийся ряд с положительными членами∞∑ u n , такой, что ∀n ≥ n0 (n0 ∈ Ν )n =1a ≤ u , то рядnn∞∑ ann =1сходится абсолютно.Пример 53.
Доказать, что ряд∞⎛⎝∑ ln⎜1 + 3n =11 ⎞cos nабсолютно схо⎟ arctgnn⎠дится.ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005Стр. 38 из 59Кузьмина С.С., Шевалдина О.Я.Воспользуемсяarctgx ≤ x ,Числовые рядыизвестныминеравенствами:0 ≤ ln(1 + x ) ≤ x, x ≥ 0и1 ⎞cos n1 cos n1⎛≤3≤ 4 , откуда и следуетx ∈ ℜ : ln⎜1 + 3 ⎟ arctgnn⎠n n⎝n 3абсолютная сходимость заданного ряда.4. 1. 1.Сочетательное свойство для числовых рядовПосмотрим, как влияет на сходимость ряда группировка его членов.Пример 54. Сгруппируем формально члены следующего ряда по два, начиная с первого:∞∑ (− 1)n +1= (1 − 1) + (1 − 1) +=0+0+=0.n =1Если же формально сгруппировать члены этого же ряда по два, начиная совторого, то получим:∞∑ (− 1)n +1= 1 − (1 − 1) − (1 − 1) −=1− 0 − 0 − 0= 1.n =1Пример показывает, что группировка членов расходящегося ряда можетпривести к разным результатам.В общем случае перепишем ряд a + a + ...
+ a + ... в виде12n∞∑ an = a1 +n =1+ an + an11+1++ an +2+ ank −1+1++ an +,kгде1 = n0 < n1 < n2 <Обозначим b = akn k −1 +1+< nk <; k = 1, 2, … .+ a . Рядnk∞∑ bk =k =1называют группировкой ряда∞⎛k =1⎝∑ ⎜ ank −1++1⎞+ an ⎟k ⎠∞∑ an .n =1ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005Стр. 39 из 59Кузьмина С.С., Шевалдина О.Я.Числовые рядыТеорема 18.
Если исходный ряд∞∑ anсходится, то любая его группиров-n =1ка∞∑ bkтакже сходится, причем к той же сумме, которую имеет исходныйk =1ряд:∞∞n =1k =1∑ an = ∑ bk .Замечание. Обратное утверждение неверно. Рассмотрим ряд∞∑ (− 1)n +1.n =1Если b = 1 − 1, k = 1, 2, … , тоk∞∑ (− 1)n +1∞∑b =k =1k∞∑0 = 0,в то время как исходный рядk =1расходится. Однако справедлива следующая теорема.n =1Теорема 19. Пустьlim an = 0 , а последовательность натуральных чиселn→∞nk возрастает:1 = n0 < n1 < n2 <Тогда ряд∞∑ an< nk <; k = 1, 2, … .сходится или расходится одновременно с любой его группи-n =1ровкой∞∑ bk .k =11 1 1Пример 55.
Рассмотрим ряд 1 − + − +2 3 4жетбыть⎛ 1⎞ ⎛1 1⎞⎜1 − ⎟ + ⎜ − ⎟ +⎝ 2⎠ ⎝3 4⎠просуммирован=∞(− 1)n −1++nгруппировкойпо. Этот ряд модвачлена:1. Так_как∑n = 0 (2n + 1)(2n + 2 )11~ 2 , n → ∞,(2n + 1)(2n + 2 ) 4nто рассматриваемый ряд сходится. Поскольку гармонический ряд расходится,то знакопеременный гармонический ряд сходится условно.ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005Стр.
40 из 59Кузьмина С.С., Шевалдина О.Я.4. 1. 2.Числовые рядыПереместительное свойство сходящихся рядовОдним из важнейших свойств суммы конечного числа вещественных слагаемых является переместительное свойство. Естественно возникает вопрос,остается ли справедливым это свойство для суммы сходящегося ряда.Определение. Если отображение φ является биекцией множества Ν натуральных чисел на себя, то ряд∞∑ a φ (n )называется перестановкой рядаn =1∞∑ an .n =1Пример 56.
Рассмотрим условно сходящийся ряд:∞(−1)1 1 11 − + − + ... = ∑2 3 4nn =1n −1.Переставим и сгруппируем члены ряда по три следующим образом:11 ⎞⎛ 1⎛ 1 1⎞ ⎛1 1 1⎞−− ⎟ + ... .⎜1 − − ⎟ + ⎜ − − ⎟ + ... + ⎜⎝ 2 4⎠ ⎝3 6 8⎠⎝ 2n − 1 4n − 2 4n ⎠Если внутри каждой скобки произвести левое вычитание, то получим ряд:1 ⎞⎛ 1⎛1 1⎞ ⎛1 1⎞− ⎟ + ... ,⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ + ...
+ ⎜⎝ 2 4⎠ ⎝6 8⎠⎝ 4n − 2 4n ⎠сумма которого равна:1 1 1 1 11⎛ 1 1 1 1⎞− + − + − ... = ⎜1 − + − + − ... ⎟ .2 4 6 8 102⎝ 2 3 4 5⎠Таким образом, перестановка членов условно сходящегося ряда изменяетего сумму. В данном случае она уменьшилась вдвое. Рассмотренный примерпоказывает, что условно сходящийся ряд не обладает переместительным свой-ством. Полную ясность в вопрос о сходимости перестановки условно сходящегося ряда вносит следующее утверждение.ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005Стр. 41 из 59Кузьмина С.С., Шевалдина О.Я.Числовые рядыТеорема_20 (Римана). Если ряд∞∑ an сходитсяусловно, то для любогоn =1числа α ∈ ℜ существует перестановка ряда∞∑ aφ(n ) , сходящаяся кα.n =1Если же ряд является абсолютно сходящимся, то для него справедливо пе-реместительное свойство.Теорема_21 (Коши).
Если ряд сходится абсолютно, то любая его перестановка также сходится абсолютно, причем к той же сумме.Рассмотрим ряд∞∑ cn ,общий член которого может быть представлен вn =1виде произведения:cn = an bn . Приведем достаточные признаки сходимоститаких рядов.Теорема 22 (признак Абеля). Пусть дан рядтельность (an ) монотонна и ограничена, а ряд∞∑ bn∞∑n =1an bn . Если последова-сходится, то рядn =1∞∑n =1an bnсходится.(Абель Нильс Хенрик (1802–1829) – норвежский математик, один из круп-нейших математиков 19 века.)Теорема 23 (признак Дирихле).
Пусть дан рядвательность частичных сумм ряда∞∑ bn∞∑n =1an bn . Если последо-ограничена, а последовательностьn =1(an ) , начиная с некоторого номера, монотонно стремится к нулю, то ряд∞∑n =1an bn сходится.( Дирихле Петер Густав Лежён (1805–1859) – немецкий математик.)ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005Стр. 42 из 59Кузьмина С.С., Шевалдина О.Я.Числовые рядыНа практике при применении признаков Абеля и Дирихле в качестве поnследовательности (bn ) чаще всего берется или последовательность ((−1) ) ,или одна из последовательностей (cos nα ) и (sin n α ) .Пример 57.
Пусть последовательность (an ) монотонно стремится к нулю.∞Тогда ряд∑n =1∞a n sin nx сходится при любом x ∈ ℜ , а ряд∑an =1ncos nx схо-дится при любом x ≠ 2πm, m ∈ Ζ .Так как11⎞⎛cos x − cos⎜ n + ⎟ x22⎠⎝,∑ sin kx =1k =12 sin x2n1⎞1⎛sin ⎜ n + ⎟ x − sin x2⎠2,∑ cos kx = ⎝1k =12 sin x2nx ≠ 2πm, m ∈ Ζ , то обе суммы ограничены по абсолютной величине числом1xsin2. По признаку Дирихле оба ряда сходятся при x ≠ 2πm, m ∈ Ζ , впрочем,первый ряд сходится и при x = 2πm , ибо все его члены обращаются в нуль.В частности, например, сходятся ряды:∞sin nx∑ n ,n =1∞⎛ 1∑ ⎜1 + 2 +n =1⎝1 ⎞ sin nx+ ⎟,n⎠ nПример 58.
Рассмотрим ряд∞∑n =1cos n ⋅ arccosОценкаnГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 20051n ≤ π2 n∞cos nи т.п.nn =1∑cos n ⋅ arccosn1n.не дает информации о поведении рядаСтр. 43 из 59Кузьмина С.С., Шевалдина О.Я.∞∑cos n ⋅ arccosnn =1b =nЧисловые ряды1n . Покажем, что исходный ряд сходится. Положим1cos nи an = arccos . Рядnn∞cos nсходится условно, а последовательn =1 n∑1 π1⎞1⎛> 0 ) и ограничена ( 0 ≤ arccos < ).ность ⎜ arccos ⎟ монотонна ( a ′ =n2n 2n⎠⎝n n −1Поэтому в силу признака Абеля исходный ряд сходится.
Расходимость ряда∞∑cos n ⋅ arccosnn =11n , составленного из модулей членов данного ряда, следует изcos n ⋅ arccosнеравенства∞∑n =1n1n ≥ cos n ⋅ arccos 12n(n ≥ 2 )и расходимости ряда2cos n cos n1cos 2ncos n. В самом деле, так как≥=+и так как ряд2 nnnnn∞cos 2nсходится, а ряд∑nn =1∞∞Поэтому в силу теоремы сравнения расходится и ряд∞∑n =1Итак, ряд∞∑n =1cos n ⋅ arccosnЗаметим, что ряд2cos nрасходится, то ряд ∑расходится.∑nn =1 2 nn =11cos n.n1n сходится условно.∞cos nтакже сходится условно.nn =1∑ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005Стр.
44 из 59Кузьмина С.С., Шевалдина О.Я.4. 2.Числовые рядыЗнакочередующиеся рядыОпределение. Знакопеременный ряд называют знакочередующимся, есликаждые два соседних члена этого ряда имеют противоположные знаки.Обычно знакочередующийся ряд записывают в виде:∞∑ (− 1)n +1n =1an ,an > 0 .(2. 3)Укажем очень простой достаточный признак сходимости знакочередую-щегося ряда, принадлежащий Лейбницу. (Лейбниц Готфрид Вильгельм (1646–1716) – немецкий математик, физик и изобретатель, юрист, историк, философ-идеалист, языковед.)Теорема (признак Лейбница).
Пусть члены знакочередующегося ряда(2. 3) удовлетворяют условиям:1) an ≥ an +1 ∀ n ≥ 1 ,2) lim a = 0 .nn→∞Тогда ряд (2. 3) сходится и для его суммы S справедливо неравенство:0 ≤ S ≤ a1 .Следствие: Пусть r = (− 1)n ann +1+ (− 1)n +1 a n + 2 + ... – остаток ряда (2. 3) ипусть выполнены условия 1) и 2) признака Лейбница.
Тогда любой остаток ряда не превосходит по абсолютной величине первого из своих членов:rn ≤ an +1 , n ≥ 1 и имеет одинаковый с ним знак: sgn r = sgn ann +1.Замечание. Признак Лейбница является следствием признака Дирихле.Пример 59. Исследовать на сходимость ряд∞∑n =1ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005(− 1)n −1 n .2n +7Стр. 45 из 59Кузьмина С.С., Шевалдина О.Я.Числовые рядыПокажем, что члены ряда, начиная с некоторого номера, убывают по абсолютнойвеличине.aИмеемa2=1+2n + n + 7n + 7n = 3,мераn→∞n→∞ n2n +12n +7. Так какn +n−73+72n + n + 7n + 7выполняетсяnlim an = lim=n(n + 1)2 + 7 =32n + 2 n + 8nn +132n + n + 7n + 7=2n +n−73n> 0 при n ≥ 3 , то, начиная с но-an > an .неравенствоКроме+1того,= 0.
Условия теоремы Лейбница выполнены, следователь-но, ряд сходится. Заметим, что рядданного ряда, расходится, так как∞∑n =1 nn2+7, составленный из модулей членовn1~ , n → ∞ . Поэтому исходный рядn2 +7 nсходится условно.∞Пример 60. Исследовать на сходимость ряд∑(− 3)n−1n =1 3n2n +1.Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов исходного∞ряда:∑3nn −12n =1 3 n + 1∞. Сравним его со сходящимся рядом∑n =11n:2n 2⎛ 3n −13 n11 ⎞⎟ 1⎜= .lim n 2: 2 = limn 2n → ∞⎜ 3 n + 1 n ⎟ 3 n → ∞ n 2 ⎛3 n ⎜1 + 1 ⎛⎜ 3 n ⎞⎟ ⎞⎟ 3⎝⎠⎝⎠⎠⎝∞Предел конечен и отличен от нуля, следовательно, рядтак же, как и ряд∞∑n =11n2∑n =1 33nn −12n +1ведет себя, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
