Учебное пособие - Числовые ряды - Кузьмина (1238759), страница 2
Текст из файла (страница 2)
аргумент логарифма, а значит и сам2логарифм при n → ∞ стремятся к бесконечности. Следовательно, исследуемый ряд расходится.Пример 9. Пусть m – фиксированное натуральное число. Исследуем насходимость ряд∞1∑ n(n + 1) (n + m ) , называемый рядом обратных факториалов.n =1Преобразуем общий член ряда по формулеГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005Стр. 8 из 59Кузьмина С.С., Шевалдина О.Я.un=Числовые ряды1⎛11⎞n+m−n1−= ⎜⎟.m n(n + 1) (n + m ) m ⎝ n(n + 1) (n + m − 1) (n + 1) (n + m ) ⎠Выпишем последовательность частичных сумм данного ряда:S 1 = a1 =1m⎛ 1⎜⎜−⎝ m! 2 ⋅3S 2 = S1 + a 2 =1Так как lim S k =, тоk →∞m ⋅ m!⎛ 1⎜⎜−⎝ m! 3⋅41mS k = S k −1 + a k =⎞⎟,(m + 1) ⎟⎠1⎞⎟, … ,(m + 2 ) ⎟⎠1⎛ 11⎜⎜−⎝ m ! (k + 1 )(k + 2 )1m∞1⎞⎟.(k + m ) ⎟⎠1∑ n(n + 1) (n + m ) = m ⋅ m! .n =1Пример 10. Пусть члены ряда∞∑ ann =1представимы в виде: an = bn +1 − bn ,и пусть существует конечный предел: lim bn = b .n→∞Тогда исходный ряд сходится и его сумма равна b − b , т.е.1∑ an = ∑ ( bn +1 − bn ) =b − b1 .∞∞n =1n =1(1.
4)Действительно,S =n∑ ak = ∑ ( bk +1 − bk ) =(b2 − b1 ) + (b3 − b2 ) + … + (bn +1 − bn ), т.е.nnk =1k =1S n = bn +1 − b1 .Так как lim b = b , то отсюда получаем lim S = b − b , и поэтому справедn +1n1n→∞n→∞лива формула (1. 4).Применим данное свойство для ряда с общим членом:an =2n − 1.(2n + 1)(2n + 3)(2n + 5)Представим его в виде:an = −(n + 1)(n + 1)(2n + 1) − n(2n + 5) = − ⎛⎜n⎞−⎟.()()()()2n+32n+52n+12n+3(2n + 1)(2n + 3)(2n + 5)⎝⎠ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005Стр. 9 из 59Кузьмина С.С., Шевалдина О.Я.Обозначим b = −nЧисловые рядыn(2n + 1)(2n + 3).
Тогда a = b − b , причемnn +1n1b1 = − . По формуле (1. 4) находим:15Пример 11. Найдем сумму ряда∞2n − 1lim b = 0 ,n →∞ n1∑ (2n + 1)(2n + 3)(2n + 5) = 15 .n =1∞1∑ n(n + 10) .n =1Таккак11 ⎛11 ⎞= ⎜ −⎟,n(n + 10 ) 10 ⎝ n n + 10 ⎠тоn1=k =1 k (k + 10 )Sn = ∑1 n 1 1 n11 ⎛⎜ n 1 n +10 1 ⎞⎟ 1 ⎛⎜ 10 1 n +10 1 ⎞⎟== ∑ − ∑=.∑ − ∑∑ − ∑10 k =1 k 10 k =1 k + 10 10 ⎜⎝ k = 1 k k = 11 k ⎟⎠ 10 ⎜⎝ k = 1 k k = n +1 k ⎟⎠1 10 1 1 ⎛ 1Отсюда: lim S n = ∑ = ⎜1 + +n→∞10 k =1 k 10 ⎝ 2+1⎞9⎟=4 .10 ⎠25Рассмотрим так называемые эталонные ряды, которые часто используютсяпри исследовании сходимости многих рядов.Пример 12.
Исследуем сходимость гармонического∗ ряда:∞111∑ n = 1 + 2 + ... + n + ... .n =1ЕгоS2kчастичная=1+> 1+S = 1+n11+ ... + .n2kn=2 .ПустьТогда⎛1 ⎛1 1⎞ ⎛1 1 1 1⎞11 ⎞+ ⎜ + ⎟ + ⎜ + + + ⎟ + ... + ⎜⎜ k −1+ ... + k ⎟⎟ >2 ⎝3 4⎠ ⎝5 6 7 8⎠⎝2+12 ⎠1 1 1 1 1 1 1111 1 11k+ + + + + + + ... + k + ... + k = 1 + + + + ... + = 1 + .2 4 4 8 8 8 82 2 2222212∗сумма222к −1kГармонический ряд – это ряд, каждый член которого, начиная со второго, является среднимгармоническим его соседних членов:ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 20051 1 ⎛⎜ 11 ⎞⎟ .=+⎜aa ⎟2 a⎝ n −1nn +1 ⎠Стр. 10 из 59Кузьмина С.С., Шевалдина О.Я.Таким образом, S2kЧисловые рядыk.
Последовательность ( S k ) не ограничена сверху,22>1+а потому не может быть сходящейся, так как сходящаяся последовательностьограничена. Следовательно, ряд∞1расходится.nn =1∑Приведем еще одно доказательство того, что гармонический ряд∞1n =1 n∑расходится. Действительно, если бы он сходился, то, обозначив его сумму черезS , мы бы имели:()lim S 2 k − S k = lim S 2 k − lim S k = S − S = 0 .k →∞НоS2kS2k − Sk =−S >kk →∞(1. 5)k →∞11111111++…+>++…+=k⋅= ,k +1 k + 22k 2k 2k2k2k 2т.е.1, что противоречит (1. 5).2Заметим, что гармонический ряд расходится очень «медленно».
Л. Эйлер,например,вычислил,чтоS1000 = 7,4849… ,S10000 = 9,7875… ,S1000000 ≈ 14,3927 … .(Леонард Эйлер (1707– 1783) – математик, физик, механик; родился вШвейцарии, большую часть жизни прожил в России и в Германии, активноучаствовал во многих направлениях деятельности Петербургской и Берлинскойакадемий.)Пример 13. Ряд∞∑1n =1 nα(α ∈ R )называется обобщенным гармоническим.При α = 1 – это гармонический ряд, и его расходимость доказана.
Покажем,что этот ряд расходится и при α < 1.ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005Стр. 11 из 59Кузьмина С.С., Шевалдина О.Я.ЗдесьSn = 1 +12αЧисловые ряды+13α++1nиαSn >1nα+1nα++1nα=1nα1− α⋅n=nn слагаемыхпри любом n > 1 . Следовательно, lim S = ∞ , и поэтому при α < 1 данныйnn→∞ряд расходится. Итак, обобщенный гармонический ряд расходится при α ≤ 1.Ниже будет доказано, что при α > 1 этот ряд сходится.Пример 14. Исследуем на сходимость ряд∞∑ nqn, где q − действительноеn =1число: q < 1 .Преобразуем частичную сумму S этого ряда следующим образом:n(23nS = q+q +q +n(+ qn −1))(23n( ) (n2( )3+q + q +n −1q 1 −qq 1 −q+q +q =+1− q1− qn) ( + q )+ +) + q (1 −q ) + + q (1 − q ) =n+q + q +q +3n−21− qnn1− qn1 ⎛⎜ q 1 −qn +1 ⎞=− nq ⎟ .⎟1 − q ⎜⎝ 1 − q⎠ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005Стр.
12 из 59Кузьмина С.С., Шевалдина О.Я.lim S n =Отсюдаn→∞qсумма равнаЧисловые рядыq(1 − q )∞∑ nqnсходится и егоn =1.(1 − q )2В частности, если q =1. 2.2. Следовательно, ряд1, то2∞∑nn =1 2n= 2.Число e как сумма рядаn⎛ 1⎞Нам известно, что e = lim ⎜1 + ⎟ . В этом пункте мы изучим ряд,n → ∞⎝n⎠спомощью которого можно указать достаточно хороший способ вычислениячисла e .По формуле бинома Ньютона:n 1 n(n − 1) 1⎛ 1⎞++⎜1 + ⎟ = 1 +1! n2! n 2⎝ n⎠n=1+1++1 ⎛ 1⎞⎜1 − ⎟ +2! ⎝ n ⎠1 ⎛ 1 ⎞⎛ 2 ⎞⎜1 − ⎟⎜1 − ⎟n! ⎝ n ⎠⎝ n ⎠++n(n − 1)(n − k + 1)k!1 ⎛ 1 ⎞⎛ 2 ⎞⎜1 − ⎟⎜1 − ⎟k! ⎝ n ⎠⎝ n ⎠1nk+⎛ k − 1⎞⎜1 −⎟+n ⎠⎝+1nn=+⎛ n − 1⎞⎜1 −⎟.n ⎠⎝n1 1⎛ 1⎞Полагая ⎜1 + ⎟ = e и 1 + 1 + + +n2! 3!⎝ n⎠+en < sn (n = 1, 2,1= s , имеемn! n).С другой стороны, при любом фиксированном k и любом n ≥ k из тогоже разложения имеем:1+1+1 ⎛ 1⎞⎜1 − ⎟ +2! ⎝ n ⎠+1 ⎛ 1 ⎞⎛ 2 ⎞⎜1 − ⎟⎜1 − ⎟k! ⎝ n ⎠⎝ n ⎠⎛ k − 1⎞⎜1 −⎟<e .n ⎠ n⎝При n → ∞ левая часть последнего неравенства стремится к sk , а правая– к числу e , поэтому s ≤ e для любого k ∈ Ν .
Но тогда из двойного нераkвенстваГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005Стр. 13 из 59Кузьмина С.С., Шевалдина О.Я.Числовые рядыen < s n ≤ eпо известной теореме о пределе промежуточной последовательности получаем, что lim s = e . По определению суммы ряда теперь можно записать:nn→∞e =1+1+1 1+ +2! 3!+1+n!.Оценим разность e − s :n0<e−s =n<11++(n + 1)! (n + 2 )!=1 ⎛11++⎜1 +(n + 1)! ⎝ n + 2 (n + 2 )(n + 3)1 ⎛⎜11+++1(n + 1)! ⎜⎝ n + 2 (n + 2 )2⎞⎟<⎠⎞n+211⎟= 1 ⋅=⋅.⎟ (n + 1)!1()nn+1!+1⎠1−n+2Таким образом, чтобы абсолютная погрешность приближения числаe−5числом s не превосходила, например, 10 , достаточно, чтобы имело местоnнеравенство1 n+21<. Этому условию удовлетворяет уже n = 8 .(n + 1)! n + 1 100000В заключение покажем, что число e иррационально.Предположим, что e =n 1 ⎞⎛u := n!q⎜⎜ e − ∑ ⎟⎟nk =1k ! ⎠⎝p, где p, q ∈ Ν .
Тогда при любом n ∈ Ν числоqцелое и положительное. Следовательно,u n ≥ 1 прилюбом n ∈ Ν .С другой стороны, u n ≤ n!q1 n+2⎯⎯⎯→ 0 . Противоречие!(n + 1)! n + 1 n → ∞В 1873 году Ш. Эрмит (Шарль Эрмит (1822-1901) – французский математик, член Парижской Академии наук) установил, что число e трансцендентно, т.е. не является корнем никакого алгебраического многочлена с целымикоэффициентами.ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005Стр. 14 из 59Кузьмина С.С., Шевалдина О.Я.ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005Числовые рядыСтр.
15 из 59Кузьмина С.С., Шевалдина О.Я.Числовые ряды2. Основные свойства сходящихся рядов2. 1.Критерий Коши сходимости рядаВ приведенных примерах п. 1.1 нам удавалось не только установить сходимость или расходимость рассматриваемых рядов, но и найти их суммы (вслучае сходимости ряда). Непосредственный анализ последовательности ( S n )не всегда представляется возможным. Так как на практике частичные суммыряда (в случае его сходимости) принимают за приближенное значение суммыряда, то представляет интерес выяснение вопроса о сходимости или расходимости числового ряда без вычисления величины его суммы, а также оценка зависимости остатка ряда r от номера n (скорость сходимости ряда). Наибоnлее общий критерий сходимости числового ряда вытекает из критерия Кошидля сходимости последовательности.(Коши Огюстен Луи (1789-1857) – французский математик, член Парижской Академии наук.)Теорема 1.
Ряд∞∑ anсходится тогда и только тогда, когдаn =1n+ p⎛⎞⎜∀ ε > 0 ∃ N = N (ε )∈ Ν : ∀ (n ∈ Ν , p ∈ Ν ) n ≥ N (ε ) ⇒ ∑ a < ε ⎟ .k⎜⎟k = n +1⎝⎠Если условие (2.1) не выполняется, т.е. еслиn+ p⎞⎛∃ ε > 0 ∀k ∈ Ν : ∃ (n ∈ Ν, p ∈ Ν ) ⎜ n ≥ k ∧ ∑ ak ≥ ε ⎟ ,⎟⎜k = n +1⎠⎝то ряд∞∑ an(2. 1)(2. 2)расходится.n =1Определение. Ряд∞∑k = n +1∞∑ ann =1a =akn +1+an+2+ ...называют остатком рядаи обозначают rn :r =n∞∑k = n +1a =k∞∑ ak + n .k =1Из теоремы 1 легко получить следующее важное утверждение.ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005Стр.
16 из 59Кузьмина С.С., Шевалдина О.Я.Теорема 2. РядЧисловые ряды∞∑ anсходится или расходится одновременно с рядомn =1r =n∞∑k = n +1a . При этомk∞∑lim r = limn→∞ na = 0.n → ∞ k = n +1 kСледствие. Прибавление (отбрасывание, изменение) конечного числа членов не влияет на сходимость ряда (но может, конечно, изменить его сумму).Так как для сходящегося ряда S = S + r , то при достаточно больших nnnможно считать, чтоS ≈ Sn .Пример 15.
Пользуясь критерием Коши, доказать сходимость ряда∞∑n =11n2.Пусть ε – произвольное положительное число. Так как1(k + 1)21<1111= −∀k ∈ Ν и, тоk (k + 1) k k + 1k (k + 1)11111++=−+−(n + p − 1)(n + p ) n n + 1 n + 1(n + 1)2(n + p )2 n(n + 1)111111−+…++= −< при произвольном p ∈ Ν . Отсюn+2n + p −1 n + p n n + p n+1+<да следует, что при n >1εn+ p∑1k = n +1 k2< ε.⎡1 ⎤Таким образом, взяв N = ⎢ ⎥ , получим, что при n > N и произвольномεε⎣ε ⎦p выполняется требуемое неравенство, и ряд сходится.Пример 16. Покажем с помощью критерия Коши, что обобщенный гармонический ряд∞∑n =11расходится.nГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005Стр.
17 из 59Кузьмина С.С., Шевалдина О.Я.Числовые рядыДля любого k ∈ Ν возьмем n = k1+n +1∞11≥+n + p k +1+11=+k + p k +1+111>⋅k = .k + k 2k2n+ p⎛111⎞⎜ε = ∀k ∈ Ν ∃⎜ p = k , n = k ∧ ∑> ⎟⎟ . Следовательно,2k 2⎠k = n +1⎝Итак, дляряд+p = k . Тогдаи1расходится.n∑n =12. 2.Необходимое условие сходимости рядаИз критерия Коши сходимости ряда вытекаетТеорема 3. Если ряд∞∑ anсуммируем, то предел его общегоn =1члена равен нулю:lim a = 0 .(2. 3)n→∞ nЗамечание. Как утверждается в теореме, для сходимости ряда необходимо,чтобыlim a = 0 . Таким образом, еслиn→∞ nlim a ≠ 0 , то рядn →∞ n∞∑ anзаведомоn =1расходится.Наоборот, еслиlim a = 0 , то ряд не обязательно является сходящимся.n→∞ nПример гармонического ряда показывает, что это условие не является достаточным: ряд∞1∑nn =1расходится, хотя при этом lim a n = limn→ ∞n→ ∞1=0.nДля сходимости ряда недостаточно, чтобы n − й член ряда стремился кнулю; нужно, чтобы он стремился к нулю достаточно быстро (обсуждение этого вопроса в п.
3. 2).Пример 17. Рассмотрим ряд21+ q + q +…+ qГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005k −1+…(q ∈ ℜ ),(2. 4)Стр. 18 из 59Кузьмина С.С., Шевалдина О.Я.Числовые ряды2составленный из членов геометрической прогрессии: 1, q, q , …, qn −1, … . Егочасто называют геометрическим рядом. Исследуем сходимость данного ряда.Еслиnnnq ≥ 1, то q ≥ 1 ; следовательно, q = q ≥ 1, и в этом случае невыполнен необходимый признак сходимости. Итак, в случае q ≥ 1 ряд (2. 4)расходится.n +11− q1, посколькуПусть q < 1 . Тогда 1 + q + q + … + q =⎯n⎯⎯→→∞1− q1− q2lim qn +1n→∞n= 0 , если q < 1 .
Значит, ряд в этом случае сходится.nНаоборот, если ряд (2. 4) суммируем, то q → 0, n → ∞ и, следовательно,q <1.Таким образом, геометрический ряд суммируем тогда и только тогда, когдаq < 1 , и в этом случае его сумма:21+ q + q +…+ q∞3n − 2∑ 4n + 7Пример 18. Рядn =1k −1+…=1.1− q(2. 5)3n − 2 3= ≠ 0.n → ∞ 4n + 74расходится, ибо lim an = limn→∞∞Пример 19. Ряд∑ sin nрасходится, т.к.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
