Учебное пособие - Числовые ряды - Кузьмина (1238759), страница 3
Текст из файла (страница 3)
последовательность(sin n )неn =1является бесконечно малой. В самом деле, предположим противное:lim sin n = 0 . Тогда lim sin(n + 1) = 0 . Так как sin (n + 1) = sin n cos 1 + cos n sin 1,n→∞n→∞22то lim cos n = 0 , что противоречит равенству cos n + sin n = 1 . Следовательn→∞но, рассматриваемый ряд расходится.ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005Стр. 19 из 59Кузьмина С.С., Шевалдина О.Я.2. 3.Числовые рядыАлгебраические операции и сходимость∞∞∑ an иТеорема 4.
Пусть α ∈ R , α ≠ 0 . Рядыn =1∑ α anодновременно схо-n=1∞∞∑ α an = α ∑ an .дятся или расходятся. Если один из них сходится, тоn =1n =1Теорема 5. Два сходящихся ряда можно почленно складывать и вычитать,то есть, если ряды∞∑ an иn =1∞∑ bn∞∑ (an ± bn )сходятся, то рядn=1тоже сходится,n =1причем∞∑ (an ± bn ) =n =1Следствие. Если два ряда∞∑ anиряд∑ ( α an ± βbn )∑ an ±n =1∞∑ bn∞∑ bn .n =1сходятся, то для любых α, β ∈ ℜn=1n =1∞∞также сходится иn =1∞∞∞∑ (α a ± β b ) = α ∑ a ± β ∑ b .n =1nnПример 20. Найдем сумму рядаn =1nn =11 1 1 1 1 1+ + + + ++ ….2 3 4 9 8 27Данный ряд можно представить как сумму двух рядов:иn∞1 1 11+ + +…= ∑ n2 4 8n =1 2∞1 1 11+ ++ … = ∑ n . Каждый из них является геометрическим рядом со3 9 27n =1 3знаменателем q < 1, а потому сходится.
По формуле (2. 5) суммы первого ивторого рядов соответственно равны:S=ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 200512131= 1, S == .1−1 21−1 3 2Стр. 20 из 59Кузьмина С.С., Шевалдина О.Я.Тогда по теореме 5Числовые ряды⎛ 11 ⎞ ∞ 1 ∞ 11 3⎜+∑ ⎜ n n ⎟⎟ = ∑ n + ∑ n =1 + 2 = 2 .n =1⎝ 23 ⎠ n =12 n =13∞Теорема 6. Если ряд∞∑ an сходится, а рядn =1∞∑ (an ± bn )∞∑ bnрасходится, то рядn =1расходится.n =1∞∑Пример 21. Рассмотрим рядn2 +nn⋅2n =1∞1 nТак как an = + n , и рядn 2∑nn =1 2n2.nсходится (см. п. 1. 1, пример 14), а гар-∞1монический ряд ∑ расходится, то рядn =1 nТеорема 7.
Если оба ряда∞∑ an2 +nn =1n⋅2∑∞∑ bnиn∞n2расходится.расходятся, то рядn=1n=1∞∑ (an ± bn )n =1может как сходиться, так и расходиться.Пример 22. Рассмотрим ряд∞1∑ n(n + 2).n =11⎛11 ⎞1⎛ 1⎞ 1⎛ 1 1⎞1⎛11 ⎞Так как a = ⎜ −, то S = ⎜1 − ⎟ + ⎜ − ⎟ + … + ⎜ −⎟⎟=nn2⎝ 3⎠ 2⎝ 2 4⎠2⎝ n n + 2⎠2⎝n n + 2⎠1⎛ 111 ⎞3= ⎜1 + −−⎟ .
Следовательно, lim S n = , т.е. рядn→∞2 ⎝ 2 n + 2 n + 1⎠4дится, и его сумма равна3. В то же время каждый из рядов4∞1∑ n(n + 2 )схо-n =1∞1∑n иn =1∞1∑n+2n =1является расходящимся. Расходимость второго ряда очевидна: он получается изгармонического отбрасыванием двух его первых членов.ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005Стр. 21 из 59Кузьмина С.С., Шевалдина О.Я.Числовые ряды3. Ряды с неотрицательными членами3. 1.Критерий сходимости ряда с неотрицательными членамиПусть члены ряда∞∑ anпри любом натуральномn удовлетворяют ус-n =1ловию a ≥ 0 . Последовательность частичных сумм такого ряда является неnубывающей. Поэтому по теореме о пределе монотонной последовательностисправедливо следующее утверждение.Теорема_8. Для того чтобы ряд с неотрицательными членами сходился,необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм ( S )nбыла ограничена сверху: ∃M > 0 : ∀ n ≥ 1 S ≤ M .nЕсли последовательность ( S ) не ограничена сверху, то рядn∞∑ anрас-n =1ходится.∞2sin nПример 24.
Исследовать на сходимость ряд ∑.(n+1)(n+2)n =12sin n111≤=−, тоТак как(n + 1)(n + 2 ) (n + 1)(n + 2 ) (n + 1) (n + 2 )n∑k =12nsin k1 ⎞ 111⎛ 1< , поэтому ряд сходится.≤∑ ⎜−⎟= −(k + 1)(k + 2 ) k =1 ⎝ k + 1 k + 2 ⎠ 2 n + 2 23. 2.Признаки сравненияТеорема 9 (первый признак сравнения). Пусть даны два ряда:∞∑ an ,(3. 1),n=1∞∑ bn(3. 2)n =1ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005Стр. 22 из 59Кузьмина С.С., Шевалдина О.Я.Числовые рядыс неотрицательными членами: a ≥ 0 , b ≥ 0 .nnЕсли ∃ n ∈ Ν ∀k ≥ n : a ≤ b , то из сходимости ряда (3._2) с «больши00kkми» членами следует сходимость ряда (3._1) c «меньшими» членами, а из расходимости ряда (3._1) следует расходимость ряда (3._2).
Ряд (3._2) называютмажорантным для ряда (3. 1).∞∑Пример 25. Исследовать на сходимость ряд122n + 7<1n2, и ряд∞∑1n =1 n21n =1 2 n2+7.Так каксходится (как обобщенный гармонический), то попризнаку сравнения исходный ряд сходится.∞∑Пример 26. Исследовать на сходимость рядn =21. Так какn(n − 1)11> (∀n ≥ 2) и гармонический ряд расходится, то данный рядn(n − 1) nрас-ходится.Пример 27. Исследовать на сходимость ряд∞1∑n =13n ⋅ ln(n + 2)При n > 1 имеем ln (n + 2 ) > 1, n ln (n + 2 ) > n . Тогда3∞∑Рядn =11n3=∞1∑n =1n3.133n ln(n + 2)<1n3.сходится (как обобщенный гармонический), следова2тельно, по признаку сравнения исходный ряд сходится.Пример 28.
Ряд∞∑n =1∞∑1n =1 n2n!nnсходится, так какn!nn<2n2(для n > 3 ), и рядсходится.ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005Стр. 23 из 59Кузьмина С.С., Шевалдина О.Я.Числовые ряды∞1n=2ln n∑Пример 29. Рядβ1расходится, так какβln n1для достаточноn>больших n и так как гармонический ряд расходится.Теорема 10 (второй признак сравнения). Пусть даны два ряда:∞∑ an∞∑ bnис положительными членами: a > 0 , b > 0 . Еслиnnn =1n=1a∃ n0 ∈ Ν ∀k ≥ n0 :k +1ak≤bk +1bk∞∑ bn, то из сходимости рядаn =1∞∞n=1n=1∑ an , а из расходимости ряда ∑ anсходимость рядаследуетследует расходимость∞∑ bn .рядаn =1Теорема 11 (предельный признак сравнения). Если a ≥ 0 , b > 0 дляnnвсех n ≥ n , n ∈ Ν и если ∃ lim0 0n→∞anb= K , 0 < K < +∞ , то ряды∞∑ an иn=1n∞∑ bnn =1сходятся или расходятся одновременно.В частности, если a ~ b при n → ∞ , т.е. если limnnann→∞ bn∞∑ an иn=1∞∑ bn= 1 , то рядылибо оба сходятся, либо оба расходятся.n =1Еслиlimn→∞anb= 0 , то из сходимости рядаn∞∑ bn следует сходимость рядаn =1∞∑ an .n=1∞Пример 30.
Исследовать на сходимость ряд∑n =1 nГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 200572n + n + 3435.+ n + 10Стр. 24 из 59Кузьмина С.С., Шевалдина О.Я.Числовые рядыПодберем подходящий для сравнения эталонный ряд. Рассмотрим поведение числителя и знаменателя общего члена ряда при n → ∞ :(772n + n + 3 = 2n + n + 3435(4)1272~ 2 n + n ~ n , n → ∞,)135725344n + n + 10 = n + n + 10 ~ n + n ~ n , n → ∞.Возьмем α = 4 −7 1= и в качестве эталонного ряда рассмотрим обобщенный2 2⎛ 2n + n 7 + 3 1 ⎞= lim ⎜: 12⎟=гармонический ряд ∑ 1 .
Найдем lim⎟3 5n→∞ bn → ∞⎜ 4n =1n + n + 10 n ⎠n⎝2n∞32a128522n + n + 3n+ 1+n37n = 1.= lim= lim n43 5n→∞n + n + 10 n → ∞ 1 + 3 1 + 10712nnПредел конечен и отличен отнуля, условие предельного признака сравнения выполнено. Эталонный ряд расходится, значит исходный ряд по предельному признаку сравнения тоже расходится.∞∑Пример 31. Исследовать на сходимость рядn =1Преобразуемформулуобщегочлена1⎞⎛n ⎜1 − cos ⎟ .n⎠⎝1⎞⎛ряда:_ a = n ⎜1 − cos ⎟ =nn⎠⎝2112 1⎛ 1 ⎞. Так как 2 n sin~ 2 n ⋅ ⎜ ⎟ = 3 2 при n → ∞ , и ряд= n 2 sin2n2n⎝ 2n ⎠2n∞ 1∑ 3 2 сходится, то и исходный ряд сходится.n =1 n2ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005Стр.
25 из 59Кузьмина С.С., Шевалдина О.Я.Числовые ряды⎛ 1 1⎞1⎜⎟расходится,таккак=lim:lim⎜ n n n n ⎟ n →∞ n n =nn→∞nnn =1⎝⎠11111= lim 1 n = lim ln n ==== 1 , и гармонический ряд расln n0(ln n )′n →∞ nn →∞limelimn→∞ (n )′e ne n →∞ neходится.∞1Пример 33. Исследовать на сходимость ряд ∑.5n =1 n ln (n + 1)∞1Так как предел отношения общих членов данного ряда и ряда ∑ 5 2 раn =1 n5⎛11 ⎞⎟1n⎜вен нулю: lim: 5 2 = lim= lim= 0 , то по⎟ n→∞ 55n → ∞⎜n → ∞ ln (n + 1)nn ln(n + 1)⎝ n ln(n + 1)⎠∞1предельному признаку сравнения из сходимости ряда ∑ 5 2 следует сходиn =1 nмость исходного ряда.∞1∑Пример 32.
РядПример 34. Исследовать на сходимость рядn2∞∑n =1 enn2 +nn2+ ln nnИз асимптотических формул 2 + n ~ 2 , e + ln n ~ e( limn→∞nqann2 +n2=0(a > 1,q ∈ ℜ ),qlimln nn→∞np=0( p > 0,.nпри n → ∞q ∈ ℜ ) ) следует, чтоn2⎛2⎞~ ⎜ ⎟ , где < 1. Так как геометрический рядnee + ln n ⎝ e ⎠n∞⎛2⎞∑ ⎜ e ⎟ сходится, то иn =1 ⎝ ⎠данный ряд также сходится.Пример 35. Исследовать на сходимость рядТак как ln n = en>ee2ln ln n, то1(ln n )> 1618 . Из сходимости рядаГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005ln n∞=∑1(e )ln ln n ln n1n =1 n2∞1n=2(ln n )ln n∑=1(e )ln n ln ln n.=1nln ln n<1n2привытекает сходимость данного ряда.Стр. 26 из 59Кузьмина С.С., Шевалдина О.Я.3. 3.Числовые рядыПризнаки Даламбера и КошиТеорема 12 (признак Даламбера). Пусть дан ряд:∞∑ an ,a > 0 ∀ n∈Ν .nn =1Если ∃q : 0 < q < 1 и ∃ n ∈ Ν : ∀ n ≥ nqЕсли же ∃ n ∈ Ν : ∀ n ≥ n00an +1anaqn +1a≤ q , то ряд∑ anсходится.n =1n≥ 1 , то ряд∞∞∑ anрасходится.n =1(Жан Лерон Д`Аламбер (1717-1783) – один из самых разносторонних ивлиятельных ученых Франции.
Математик, физик, механик, автор физикоматематической части «Энциклопедии» Д. Дидро, а также ряда трудов помузыке и эстетике.)Признак Даламбера часто применяется в предельной форме: если существует верхний предел:limn→∞то при 0 ≤ q < 1 ряд∞∑ anan +1a= q,nсходится, а при q > 1 – расходится.n =1В случае q = 1 возможна как сходимость, так и расходимость ряда (требуется провести дополнительное исследование).Признак Даламбера позволяет дать оценку остатка ряда. Из неравенстваa n +1a≤qследует,чтоn3a ≤ qa ≤ q a4an ≤ q3n −11a n +1 ≤ qa n .Отсюдаa 2 ≤ qa1 ,2a ≤ qa ≤ q a ,321и т.д.
Вообще при любом n ∈ N справедливо неравенствоa1 , откуда следует, чтоГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005Стр. 27 из 59Кузьмина С.С., Шевалдина О.Я.r =ann +1Числовые ряды+an+2+an +3+…≤ ar ≤nan +1n +11− q+an +1q+a2n +1q + …,.Пример 36. Исследовать сходимость ряда 1 +3 323n++…++ ….n!1! 2 !n +1nn +1a3n!333n +1=⋅ n =, тогда. Очевидно,Имеем a = , a =n(n + 1)! 3 n + 1n ! n +1 (n + 1)!anчто3< 1 для n > 3 .
По признаку Даламбера исходный ряд сходится.n +1Замечание. Из примера следует необходимое условие сходимости ряда, т.е.n3= 0.limn→∞ n !Пример 37. Рядn2n =1 3n∞∑сходится, т.к. limn→∞Пример 38. Исследуем на сходимость рядИмеем limn→∞an +1anan +1an∞∑(n + 1) 2 3n 1= lim⋅ 2 = < 1.3n → ∞ 3n +1nn!n =1 nn.nnn((n + 1) ! nn + 1)n !nn= lim⋅= lim= limn → ∞ (n + 1)n +1 n!n → ∞ (n + 1)n (n + 1)n ! n → ∞ (n + 1)nn1 ⎞⎛ n ⎞⎛= lim ⎜⎟ = lim ⎜1 −⎟n →∞⎝ n + 1 ⎠n →∞ ⎝n + 1⎠(n +1)nn +1=1< 1 , поэтому ряд сходится.eПример 39.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
