Учебное пособие - Числовые ряды - Кузьмина (1238759), страница 6
Текст из файла (страница 6)
сходится. Тогда по теореме 15 исходный ряд схо-дится, причем абсолютно.ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005Стр. 46 из 59Кузьмина С.С., Шевалдина О.Я.Числовые ряды∞∑Пример 61. Покажем, что ряд2n −11lim n= lim3n→∞ 2 + n2 n→∞2nn ⎞n⎛2 ⎜1 + n ⎟⎜ 2 ⎟⎝⎠3=1⋅2(− 2 )n −1n =1 21n1 + lim=3n+nрасходится. Так как31 11⋅= ≠ 0 , то общий член2 1+ 0 2n→∞ 2nряда не стремится к нулю. Необходимое условие сходимости ряда не выполнено, и поэтому исходный ряд расходится.Замечание. Для сходимости знакочередующегося ряда выполнение признака Лейбница не является необходимым условием: знакочередующийся рядможет сходиться, даже если модуль его общего члена стремится к нулю не монотонно.1−Так ряд122+133−142++1−(2n − 1)31(2n )2+сходится и притомабсолютно, хотя признак Лейбница и не выполнен: абсолютная величина общего члена ряда хотя и стремится к нулю, но не монотонно.Пример 62 .
Исследовать сходимость ряда∞∑ (− 1)n =1n −12ln n.nТак как по правилу Лопиталя2 ⎞′⎛2 ⎞′2ln n ⎟⎜⎛ln n⎠ = lim 2 ln n = lim 2 = 0 и ⎜ ln n ⎟ = ln n (2 − ln n ) < 0lim= lim ⎝2⎜ n ⎟n→∞ nn → ∞ (n )′n→∞ nn →∞ nn⎠⎝при n ≥ 8 , то выполнены соответственно условия 1) и 2) признака Лейбница.Поэтому данный ряд сходится. Заметим, что ряд, составленный из абсолютных∞величин членов данного ряда, расходится:∫2Поэтому ряд∞∑ (− 1)n =1n −12bln x2dx = lim ∫ ln x d (ln x ) = ∞ .b → +∞x22ln nсходится условно.nГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005Стр. 47 из 59Кузьмина С.С., Шевалдина О.Я.Числовые ряды⎛ (− 1)n +1 1 ⎞Пример 63.
Рассмотрим ряд ∑ ⎜+ ⎟.⎜n ⎟⎠nn =1⎝∞Ряд∞∑(− 1)n +1n =1∞1n =1 n∑nрасходится, следовательно, данный ряд расходится. В тоже время(− 1)n +1 + 1 ~ (− 1)n +1 ,nсходится в силу признака Лейбница, гармонический рядnдимости рядаn∞∑n =1n → ∞ .
Поэтому делать вывод о сходимости или расхо-an по поведению ряда∞∑ bn ,n =1где a ~ b , n → ∞ , можноnnтолько для рядов с неотрицательными членами!⎛ (− 1)n +1 ⎞⎟.Пример 64. Рассмотрим ряд ∑ ln⎜1 +2⎟3n =1 ⎜n ⎠⎝∞()Используя асимптотическую формулу ln (1 + t ) = t + O t , t → 0 , получаем2⎛ (− 1)n +1 ⎞ (− 1)n +1C⎟=ln⎜1 ++ b , где bn ≤ 4 3 , C > 0 . Так как рядn⎜3 2 ⎟3 2nn ⎠n⎝сходится абсолютно, а ряд∞∑n =1(− 1)n +13n2∞∑ bnn =1в силу признака Лейбница сходится ус-ловно, то заданный ряд сходится условно.Пример 65.
Вычислить приближенно с точностью до 10−5сумму знакоче-редующегося ряда:1−11111+−+−+… .1!3 2!5 3!7 4!9 5! 11Сходимость ряда следует из признака Лейбница. Так как для сходящегосяряда его сумма S = S n + rn , то при достаточно больших n можно считать, чтоS ≈ S n , причем для остатка ряда справедлива оценкаr <anГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005n +1.Стр. 48 из 59Кузьмина С.С., Шевалдина О.Я.Числовые рядыВ данном примере an +1 =няться неравенство an +1 =1.
По условию задачи должно выполn !(2n + 1)1−6< 5 ⋅ 10 . Эта оценка удовлетворяется ужеn !(2n + 1)при n = 7 :(7! ) ⋅ 15 = 75600 > 7 ⋅ 105 ,111−5−5−6< ⋅ 10 < ⋅ 10 = 2 ⋅ 10 .(7! ) ⋅ 15 75Следовательно, для решения задачи можно отбросить все члены ряда, начинаяс a8 =1, и вычислить сумму только первых семи членов. Для того чтобы(7! ) ⋅ 15гарантировать требуемую точность, будем вычислять каждое слагаемоес шестью знаками после запятой, делая округление на шестом знаке. При такойточности вычислений ошибка при подсчете каждого слагаемого будет меньше,−7чем 5 ⋅ 10 , и накопление таких ошибок от пяти членов ряда (первые два члена−6– точные) будет меньше, чем 3 ⋅ 10 .
Выпишем в отдельные столбцы результаты вычислений положительных и отрицательных членов:1 = 1,0000001≈ 0,3333331⋅ 31= 0,1000002!51≈ 0,0238093!71≈ 0,0046254!91≈ 0,0007575!111≈ 0,0001076!13_____________Σ ≈ 1,104732_______________Σ ≈ 0,357899В результате вычислений получаем:S ≈ S 7 ≈ 1,104732 − 0,357899 = 0,746833 ≈ 0,74683 .ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005Стр. 49 из 59Кузьмина С.С., Шевалдина О.Я.Числовые рядыОкончательная погрешность вычислений (т.е. сумма погрешности от отбрасывания всех членов ряда, начиная с седьмого, и погрешности от неточного вычисления пяти членов ряда) меньше, чем 2 ⋅ 10−6+ 3 ⋅ 10−6−6= 5 ⋅ 10 .Итак, S ≈ 0,74683 и все пять цифр после запятой верные.ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005Стр.
50 из 59Кузьмина С.С., Шевалдина О.Я.Числовые ряды5. Ряды с комплексными членамиГоворят, что последовательность комплексных чисел ( z n ) сходится к числу z ∈ C , если z n − z → 0 . В этом случае пишут:lim z = z или z n → z при n → ∞ .n→∞ nz n = an + ibn ,Координатный критерий сходимости. Еслиz = a + ib ,где a , b , a, b ∈ ℜ , тоnnan + ibn → a + ib ⇔ an → a и bn → b .В силу этого критерия многие утверждения этого пособия сохраняютсмысл для последовательностей и рядов комплексных чисел.Ряд с общим членом c = a + ib сходится тогда и только тогда, когдаnnn∞∑сходятся ряды с действительными членамиan =1nи∞∑ bn , причемв этомn =1случае:∞∑n =1∞c =n∑n =1a +in∞∑ bn .(3.
1)n =1Ряд (3. 1) называется абсолютно сходящимся и заведомо сходится, если∞сходится ряд∑n =1c =n∞∑n =122a n + b n , членами которого являются модули чле-нов ряда (3. 1).Пример 66. Рассмотрим геометрический ряд:21+ q + q +…+ qk −1+ …,(3. 2)где q – комплексное число и q ≠ 1 .ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005Стр. 51 из 59Кузьмина С.С., Шевалдина О.Я.Числовые рядыn1− qn. Так как lim q = 0 при q < 1 иЧастичная сумма этого ряда S n =n→∞1− qnlim q = +∞ при q > 1 , тоlim S =n →∞ nn →∞1при q < 1 и1− qlim S = ∞ приn→∞ nq > 1 . Следовательно, ряд (3.
2) сходится при q < 1 , а его сумма S =1.1− qПоэтому2n1 + q + q + ... + q + ... =1.1− q(3. 3)При q > 1 ряд (3. 2) расходится.Записав число∞∑qn =1n −1=∞∑q = qeq в видеnq (cos nα + i sin nα) =n=0iα= q (cos α + i sin α) , получаем, что1 − q cos α + i q sin α1=21 − q cos α − i q sin α1 − 2 q cos α + qи, следовательно, для любого действительного числа p, 0 < p < 1 , справедливы равенства:∞∑pn −1cos(n − 1)α =n =1∞∑pncos nα =n =0∞∑pnsin nα =n =1nменателем q =1(1 + i )n1, где q = 11+ i∞∑1(n =1 1 + iГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005)n1 − 2 p cos α + pp sin α1 − 2 p cos α + pПример 67. Исследовать сходимость рядаТак как числа z =1 − p cos α∞∑2,.1(2n =1 1 + i)nи найти его сумму.образуют геометрическую прогрессию со зна2 , то по формуле (3.
3) находим:=11q−1== = −i .1− q1− q iСтр. 52 из 59Кузьмина С.С., Шевалдина О.Я.Числовые рядыe. Представим общий∑nnn =1Пример 68. Исследовать сходимость ряда3n iecos 3n sin 3n=+i. Рядычлен ряда в виде:n n n nn n∞∑1n =1n ncos 3nn =1n n∑но сходятся, так кака ряд∞∞1∑≤n =1nn3n i∞∞cos 3nи∑n =1 n nи соответственно∞sin 3nабсолютn =1 n n∑∞sin 3nn =1n n∑≤∞∑n =1n1n,сходится как обобщенный гармонический. Поэтому исходныйряд абсолютно сходится.Пример 69. Исследовать сходимость ряда(− 1)n i n∞∑nn =1Так как ряд∞(− 1)n i nn =1n∑5=∞1∑n =1 n55.сходится, то и исходный ряд абсолютносходится.Пример 70.
Исследовать сходимость рядаТак как∞∑n =1( )( )( )∞sh i n.()sininn =1∑nsh i n i ⋅ sin n 2 sin n 2e sin n== n=, то−n2nsin (in )i ⋅ shne −ee −1n∞sh i n2e≤ ∑ 2n. Последний ряд сходится по интегральному признаку,sin (in ) n =1 e − 1+∞так как сходится интеграл:∫12ee2xxxe −1e −1e +1dx = lim ln x− ln= ln. Сле→+∞xe+1e−1−1e +1довательно, исходный ряд сходится.ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005Стр. 53 из 59Кузьмина С.С., Шевалдина О.Я.Числовые ряды6. Упражнения6.
1. Рассмотрев предел частичной суммы ряда, установить его сходимостьили расходимость. В случае сходимости найти сумму ряда:1)2)3)4)∞1∞2n + 1;∑n =1(2n − 1)(2n + 5 )∑n =1 n2(n + 1)2∞∑n +1n =1 n2(n + 2)∞26);3 9 27+ ++…;2 4 8∞7);⎛ 5n − 3 ⎞⎝⎠∑ ln⎜ 5n + 2 ⎟ ;n =1∞1∑ n(n + 20 ) ;n =1n∑5)22n =1 (2n − 1) (2n + 1)8);∞3∑ n(n + 1)(n + 2 )(n + 3) ;n =1∑(∞9))n + 2 − 2 n +1 + n .n =1Ответы: 1) S =дится; 7) S =1 ⎛ 1 1⎜1 + + +20 ⎝ 2 39) S = 1 − 2 +n2351; 2) S = 1 ; 3) S = ; 4) S = ; 5) расходится; 6) расхо90168+11 ⎞⎟ ; 8) S = ;620 ⎠1, S =1− 2 .n +1 + n + 26. 2. Найти сумму ряда, используя теорему 5:1 2 1 418+ ++ +++ ….5 3 25 9 125 279Ответ: S = .4∞∑ an6. 3.
Сложить рядыиn =1ряда, если a =ncos(πn 3)2ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005n∞∑ bnи вычислить сумму получившегосяn =1sin (πn 6 )2, b =n2n −1.Стр. 54 из 59Кузьмина С.С., Шевалдина О.Я.Числовые рядыОтвет: 1.6. 4.Используя необходимое условие сходимости ряда, выяснить, явля-ется ли ряд сходящимся:1)2)∞∑2n 4n + 125n − 3n =1(− 1)4);∑n =1 2n3∑ sinn =1n 3∞∞n+ 4n + 15);∞πn2n +1;⎛ 3n ⎞⎝⎠∑ n ln⎜ 3n − 1 ⎟ .n =1n∞⎛ 2n + 1 ⎞3) ∑ ⎜⎟ ;2n3−⎠⎝n =1Ответы: 1) нет; 2) нет; 3) нет; 4) требуется дополнительное исследование;5) нет.6. 5.1)Исследовать ряд на сходимость, пользуясь признаком сравнения:∞1∑;nn =1 n ⋅ 22)∞∑4n=11.n ln (n + 2 )Ответы: 1) сходится; 2) расходится.6.
6.Исследовать ряд на сходимость, пользуясь предельным признакомсравнения:1)2)3)∞6n + 4∑n =1 n32+ 2n − 166)2∞n +7∑15n =1 n∞ 3∑;+ 127);63n + 2 + n −1n =1 515n11+ 14n + 1∞;224) ∑ ⎛⎜ n + 3 − n + 1 ⎞⎟ ;⎠n =1⎝5)∞∑n =1n8)n53 n − 12;ГОУ ВПО УГТУ-УПИ – 2005⎛n =1⎝∑ ln⎜⎜1 +9)⎞⎟⎟ ;3n +7⎠4⎛ n2 + 2 ⎞∑ ln⎜⎜ 2 ⎟⎟ ;n =1 ⎝ n + 1 ⎠∞∞∑ sinn =1∞∑n34nn5 +ntg10)∞∑n=2;π5n =123 n + n +1∞n31(ln n )ln ln n;.Стр. 55 из 59Кузьмина С.С., Шевалдина О.Я.Числовые рядыОтветы: 1) сходится; 2) сходится; 3) расходится; 4) расходится; 5) сходится; 6) сходится; 7) сходится; 8) сходится; 9) сходится; 10) расходится.6. 7.1)2)Исследовать ряд на сходимость, пользуясь признаком Даламбера:∞n∑n;2n =1 (n!)∞∑6)7)n!4)∑n∑8)+2∞nn4 +en;(n !)2 ;2n2πn(n + 1) ! ;n =1 n∞n5 +2;3) ∑n!n =1∞∑ sinn =1n∞π⋅3n =1(2n − 1)!! ;n =1∞∞n sin∑n =1n!n2 .n⎛ 3n + 2 ⎞5) ∑ ⎜⎟n =1⎝ 3n + 1 ⎠−2n2;Ответы: 1) сходится; 2) расходится; 3) сходится; 4) сходится; 5) сходится;6) сходится; 7) сходится; 8) расходится.Рассматривая a n как члены соответствующего ряда, показать, что6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
