Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

где выбор параметра регуляризации p ≤ m определяет соотношение между точностью и стабильностью решения.

Решение уравнения (1.76), полученное методом сингулярного разложения, запишется:

. (1.79)

Для определения оптимального параметра регуляризации широко используется критерий L –кривой. Это параметрический график зависимости нормы решения ‖x^p‖₂, от нормы невязки ‖z − Ax^p‖₂, обе оси в логарифмическом масштабе. Такое представление позволяет наглядно отобразить баланс между минимизацией обеих частей. Оптимальный параметр регуляризации определяется «вершиной» L-кривой и является компромиссом между точностью и стабильностью решения. Для избавления от отрицательных компонентов, которые обычно появляются в (1.79) необходимо использовать неотрицательный метод наименьших квадратов, который для сингулярного разложения запишется как:

, x ≥ 0. (1.80)

Численная симуляция описанного метода выявила слабую симметрию между относительной ошибкой и нормой решения (рис 1.11) [34]. Из графиков видно, что меньшим относительным ошибкам соответствуют большие значения нормы решения. Таким образом, при использовании параметра регуляризации с наибольшей нормой решения можно получить минимальную относительную ошибку. Однако данное соотношение работает не всегда, поэтому в качестве итогового результата лучше рассматривать три значения параметра регуляризации с наибольшими значениями нормы решения.

Рис. 1.11 – Распределение относительной ошибки (линия с залитыми окружностями) и нормы решения (линия с контурными окружностями) от параметра регуляризации p при уровне шума 0 (a), 0,01 (b) и 0,02 (c) [34]

1.4.3 Метод кумулянтов

Фотонная корреляционная спектроскопия измеряет нормализованную функцию временной корреляции интенсивности рассеянного излучения I:

, (1.81)

где – время задержки.

Зачастую функцию корреляции интенсивности можно представить с помощью соотношения Зигерта [35,36]:

, (1.82)

где – фактор когерентности, определяемый соотношением площади приемника и площади когерентности;

– для полидисперсного распределения, содержащего частицы разных размеров, каждый из которых вносит свой вклад в декремент затухания корреляционной функции определяется выражением (1.74).

Поскольку выражение (1.74) является некорректно поставленной задачей, использование обратного преобразования Лапласа для ее решения не представляется возможным по описанным ранее причинам. Это ограничение может быть представлено в с учетом:

, (1.83)

где – среднее значение :

. (1.84)

Распишем экспоненту в выражении (1.74):

, (1.85)

где – (1.86)

центральные моменты распределения декрементов затухания.

Выражение (1.85) показывает, как фотонная корреляционная спектроскопия в виде среднего экспоненциального с поправочными членами, зависящего от и, как следствие, от распределения частиц по размерам. Для относительно узких распределений декремента затухания и допустимого диапазона безразмерных времен задержки слагаемые высокого порядка не играют роли. Перепишем выражение (1.85) с помощью безразмерного(относительного) времени:

. (1.87)

Последнее выражение показывает, что – нормализованная вариация – простейшая мера отклонения от одиночной экспоненты.

Выражение (1.85) с учетом (1.82) также может быть переписано в виде:

, (1.88)

показывая, как неэкспоненциальность проявляется в виде отклонений на графиках в полулогарифмическом масштабе.

Оригинальный метод кумулянтов исходит из выражения (1.88): левая сторона выражения, вычисленная по экспериментальным данным, подставляется в полином с несколькими первыми членами времени задержки , позволяя оценить , , и т.д. Преимуществом данного метода является то, что приближение по методу наименьших квадратов приспосабливается к полиномиальному, которое линейно в неизвестных коэффициентах и может быть решено без использования итерационных компьютерных методов. Недостаток данного метода в том, что для поддержания слагаемых высокого порядка маленькими, данные должны быть ограничены условием (то есть используются только данные, удовлетворяющие ), а это не самый эффективный подход. По сути, выбор стоит между большой случайной ошибкой в параметрах, если отброшено недостаточно значений или большой систематической ошибкой (но малой случайной), если отброшено слишком много данных [37].

Рост вычислительных мощностей позволил эффективно решить рассматриваемую систему итеративным нелинейным методом. Для этого из выражений (1.82) и (1.85) получают[38]:

. (1.89)

Подобный подход имеет несколько преимуществ по сравнению с линейным методом. Во-первых, нет необходимости отбрасывать информацию, поскольку слагаемые высоких порядков подавляются затухающим экспоненциальным пре-фактором. Во-вторых, данный метод позволяет выбирать «исходный уровень» B как параметр. В случае идеального эксперимента он был бы равен 1, на практике он обычно немного отличается от 1 вследствие девиаций интенсивности лазерного излучения или коэффициента усиления приемника. Преимущества метода нелинейных кумулянтов были экспериментально подтверждены как для математических моделей [38], так и для реальных экспериментальных данных [39,40].

2 Фотонная корреляционная спектроскопия в схеме с нарушенным полным внутренним отражением

После загрузки исследуемой суспензии в кювету измерительного прибора в объеме суспензии начинаются конвективные течения, вызванные концентрационной и тепловой неоднородностью. Это значительно снижает точность определения размера частиц методом фотонной корреляционной спектроскопии [41-44].

Снизить влияние конвективных течений на результаты измерений методом фотонной корреляционной спектроскопии можно применив в схему, использующую явление нарушенного полного внутреннего отражения (НПВО) [45]. При НПВО часть оптического излучения, падающего на границу раздела сред под углом больше угла полного внутреннего отражения, проникает во вторую среду (исследуемую суспензию) [46]. Исследуя рассеяние этого излучения на частицах суспензии можно сделать вывод о характере распределения частиц по размерам. На рис. 2.1 приведена схема проведения фотонной корреляционной спектроскопии с использованием НПВО:

Рис. 2.1 – Схема с нарушенным полным внутренним отражением: 1 – падающее излучение, 2 – рассеянное излучение, 3 – зависимость интенсивности проходящего излучения от глубины проникновения [45]

Для нахождения АКФ интенсивности рассеянного излучения в схеме с НПВО будем считать, что частицы не взаимодействуют между собой и со стенкой кюветы.

В предложенной в [45] схеме эксперимента свет с длиной волны падает на границу раздела сред под углом , большим угла полного внутреннего отражения. Излучение, проникшее во вторую среду можно представить в виде волны с экспоненциально затухающей вдоль оси z амплитудой, распространяющейся вдоль границы раздела сред в плоскости падения. Тогда разность фаз в волновой зоне от излучения, рассеянного частицей, находящейся в точке O и в точке с координатами (x, z), можно записать следующим образом [45]:

, (2.1)

где

, (2.2)

. (2.3)

Пусть концентрация частиц в исследуемой суспензии мала и они двигаются в соответствии с законами броуновского движения. Тогда среднеквадратическое перемещение частицы за время τ равно [47, 48]:

, (2.4)

где D – коэффициент диффузии, определяемый соотношением (1.40).

Функция плотности вероятности нахождения частицы в некоторой точке с координатой x в момент времени t + τ подчиняется нормальному закону [29]:

, (2.5)

, (2.6)

где x₀ — координата рассматриваемой частицы в начальный момент времени t.

Считаем, что функция плотности вероятности на расстоянии z от границы раздела сред распределена по нормальному закону. С учетом отражения от границы раздела, выражение примет вид:

. (2.7)

Амплитуду напряженности поля рассеянного излучения, с учетом ослабления при попадании во вторую среду, можно представить как:

, (2.8)

, (2.9)

где — глубина проникновения излучения во вторую среду [46];

E₀ — амплитуда напряженности поля падающей волны.

В начальный момент времени

. (2.10)

Проведем замену переменных:

, . (2.11)

С учетом (2.11) формулы (2.10) и (2.8) примут вид:

, (2.12)

. (2.13)

Характеристики

Список файлов ВКР