2. ПЗ. Научно-Исследовательская Работа. (1191665), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

.

Тогда в компонентной записи кинетическая энергия рассматриваемой системы будет иметь вид:

. (4.6)

Для удобства в дальнейшем будем использовать матричную запись выражения кинетической энергии:

, (4.7)

где – матрица-столбец обобщённых скоростей, введённых формулами (4.1); А – диагональная матрица размером 18х18:

и т.д.;

Потенциальная энергия системы «корпус гасителя – тросы – грузы» присутствует энергия упругих деформаций тросов, которая складывается из энергии изгиба и энергии кручения тросов. При этом примем во внимание, что каждый из тросов претерпевает изгиб в плоскостях , под действием изгибающих моментов, крутящие пары сил которых располагаются в соответствующих плоскостях. При этом концевые сечения каждого из тросов испытывают повороты вокруг оси на угол и оси на угол .

Соответствующие моменты и совершают элементарные работы: – в плоскости XOZ, а – из плоскости XOZ.

Концевые сечения тросов испытывают перемещения по осям (под действием перерезывающей силы ) и (под действием силы ). Элементарные работы этих сил:

.

Крутящий момент , пара сил которого расположена в плоскости , работает на вариациях угла крена: . Так же, осевое усилие в сечениях тросов равна нулю.

Из [64] получим, что потенциальная энергия деформирования упругой системы есть квадратичная форма обобщённых перемещений:

. (4.8)

Матрица С записывается в виде блочной матрицы:

Каждая из матриц есть квадратичная матрица (6х6), а – нулевая квадратная матрица (6х6).

При вычислении потенциальной энергии упругих тросов корпус зажима (масса , соответствующие обобщённые перемещения ) считаем неподвижным и абсолютно твёрдым телом, а сами тросы – консольными балками. Поэтому подматрица – нулевая матрица. Компоненты подматриц вычисляются следующим образом: потенциальная энергия каждого из тросов при сделанных выше предположениях о характере деформирования каждого из них будет иметь вид [72]:

, (4.10)

здесь интегрирование по длине троса – коэффициенты формы, для круглого сечения составляющие: – моменты инерции (круглого) поперечного сечения относительно центральных осей и , r – радиус поперечного сечения; F – площадь сечения; G – модуль сдвига материала, , а – коэффициент Пуассона; – полярный момент инерции сечения.

Исходя из (4.10), потенциальная энергия вследствие приложения крутящего момента к концу консольной балки выражается так:

.

При повороте концевого сечения на угол вокруг продольной оси относительное закручивание балки длиной l есть , поэтому:

. (4.11)

Перемещение конца консольной балки длиной l под действием нагрузки из [71] имеет вид: исходя из (4.10) получим:

(4.12)

где – радиус инерции круглого сечения.

Далее вычисляем угол поворота концевого сечения балки под действием приложенного к сечению изгибающего момента . Пусть приращение кривизны оси в плоскости изгиба есть . Тогда:

.

Следовательно:

. (4.13)

В соответствии с (4.12) и (4.13) получим:

, (4.14)

. (4.15)

Изгибающие моменты и совершают каждый дополнительную работу на соответствующих поворотах концевого сечения вследствие воздействия сил и соответственно. Эти силы ( и ) работают на перемещениях концевого сечения вследствие приложения моментов и . Исходя их теории о взаимности работа [72] имеем равенства:

, . (4.16)

Угол поворота концевого сечения консольной балки под действием приложения к сечению силы равен: . Из (4.16): . Поэтому совместная работа этих факторов силы запишется так:

.

Соответствующая потенциальная энергия:

. (4.17)

Аналогично получим:

. (4.18)

Подматрицы и являются симметрическими матрицами, например:

:

здесь: , , , , , , .

Пусть рассматриваемая система, являясь упругой, испытывает воздействие внешних сил сопротивления, которые для простоты считаем линейно зависящими от обобщённых скоростей: , .

Примем, что эти силы не связаны друг с другом, поэтому вектор-столбец сил сопротивления имеет вид:

.

Элементарную работу этих сил удобно записать в матричной форме:

, (4.19)

где а – диагональная матрица коэффициентов На элементы системы гасителя действуют внешние активные силы. Любая система сил, приложенных к данному телу, может быть приведена к главному вектору и главному моменту . Примем, что внешние активные силы, действующие на подвеску, приведены к точке – центру масс подвески; силы, приложенные к грузам – к их центрам масс ; – главные векторы, – главные моменты. Тогда элементарные работы систем вычисляется в виде:

. (4.20)

Элементарная работа всех внешних сил, приложенных к гасителю составит:

Используя выражение (4.3), можно выразить координаты углов поворотов через обобщённые координаты . Тогда выражение (4.20):

. (4.21)

Таким образом будут найдены соответствующие обобщённые силы . Далее записываем уравнение движения механической системы «корпус – трос – грузы» в виде уравнений Лагранжа 2-го рода [64]:

. (4.22)

В данном случае а – кинетическая энергия есть функция только обобщённых скоростей, . Систему уравнений (4.22) запишем в матричной форме:

, (4.23)

А, В, С – введённые выше матрицы, а – вектор-столбец обобщённых ускорений, Q – вектор-столбец обобщённых внешних сил:

Считаем, что под действием внешних гармонических сил система совершает вынужденные колебания с той же частотой: . а – векторы-столбцы амплитудных значений внешних обобщённых сил и обобщённых перемещений.

Подставляя Q и q в систему (4.23) и сокращая на , получим систему линейных алгебраических уравнений относительно амплитуд , записанную в матричную форму:

. (4.24)

Система имеет единственное решение:

(4.25)

где а – обратная матрица.

В дальнейшем будем рассматривать движение подвески и плоскости XOZ, угол поворота и смещение корпуса и , то есть амплитудные значения и обобщённых координат и .

Каждая из компонент вектора-столбца в силу (4.25) является линейной комбинацией компонент вектора-столбца . Например:

,

– амплитудное значение изгибающего момента в плоскости (вертикальная плоскость), а – амплитудное значение перерезывающей силы в направлении оси : каждый из коэффициентов является функцией частоты и всех характеристик гасителя: масс корпуса и грузов, геометрии грузов, их моментов инерции и упругих характеристик троса.

Считая, что основные движения гасителя происходят в вертикальной плоскости, можно записать равенства (4.16) в редуцированном виде

. (4.26)

Рассматриваем (4.26) как систему линейных уравнений относительно Р и М, решив которую, получим:

. (4.27)

Таким образом, получена матрица динамической жёсткости гасителя, которая является обратной к матрице системы (4.26):

. (4.28)

4.3 Построение матрицы переноса для гасителя

Теперь необходимо построить матрицу переноса для виброгасителя. Для этого необходимо рассмотреть схему взаимодействия гасителя с проводом, показанном на рис. 4.6

Рисунок 4.6 – Схема взаимодействия провода с гасителем

Слева на подвеску гасителя действует момент со стороны кабеля и вертикальная сила , справа – момент и сила . Угол есть поворот корпуса, вертикальные смещения точек А и В есть и соответственно. Примем, что расстояние между точками А и В равно . Тогда получим:

,

где а – в силу малости перемещений производная по координатам от V(x) есть тангенс угла наклона касательной к оси провода, в линейном приближении это есть угол наклона. Отсюда получаем соотношения:

. (4.29)

В пункте 3.4 был введены вектор-столбец: и понятие о матрице переноса, с помощью которой состояние сечения x=l выражается через состояние сечения .

Из (4.27) получим:

(4.30)

Если подвеска поступательно переместилась на и повернулась вокруг своего центра на угол , то перемещения точек А и В:

Из (4.30) в силу первого из этих равенств получим:

(4.31)

В силу (4.31) равенство (4.29) запишется в матричном виде:

Что эквивалентно формуле:

. (4.32)

Матрица является искомой матрицей переноса через гаситель, так как связывает между собой векторы состояния сечений справа и слева от середины гасителя. Данная формула (4.32) аналогична формулам для рассматриваемых в 3-й главе участков кабеля, но отличается отсутствием слагаемых типа . Для сохранения единообразия в дальнейшем (4.32) запишем в виде:

. (4.33)

где а – длина корпуса по оси Ох,

4.4 Объединение элементов пролёта в единую систему

Матрицы переноса позволяют создать динамическую модель пролёта с любым числом гасителей и произвольным расположением гасителей. Методика объединения состоит в следующем: рассматривается последовательное соединение элементов, для которых известны соотношения переноса (рис. 4.7):

Рисунок 4.7 – Многоэлементная система

Определённый тип элементов не имеет значения, поэтому будем считать что система состоит из элементов, для каждого из которых имеется формула переноса:

(4.34)

Из (4.33) найдём выражение состояния через , используя условие неразрывности . Из первых двух равенств (4.34):

Характеристики

Список файлов ВКР