Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

перерезывающей силой (в растянутой балке)

; (3.31)

и обобщёнными перемещениями:

– амплитудная функция поперечного перемещения, на котором совершает работу перерезывающая сила (3.30);

а – амплитудная функция угла наклона оси провода;

а – угол наклона сечения к оси Ох, на котором «работает» изгибающий момент.

Вводим в рассмотрение векторы-столбцы:

- состояний поперечных сечений

- постоянных интегрирования

- вектор

Все компоненты матрицы q выражаются через элементы матрицы K:

Запишем в матричной форме соотношения (3.32):

,

где А – квадратная матрица 4-го порядка с элементами:

Примем, что на левом конце балки х=0 поставлена полная система краевых условий, то есть известны компоненты вектора:

Тогда из (3.23)

(3.34)

здесь – матрица, обратная матрице , вычисленной в точке х=0.

Подставим (3.34) в (3.33):

При x=l получаем:

, (3.35)

здесь а – матрица переноса, с помощью которой связываются векторы состояния на левом и правом концах балки, Е – единичная матрица (4х4).

3.6 Матрицы переноса для моделей «В» и «С»

Модель «В» а – это участок, где нужно строить решение уравнения колебаний как сингулярно возмущённое уравнение (то есть уравнения с малым параметром при старшей производной). Теоретические исследования показывают, что решение такого сингулярно возмущённого уравнения (3.24) существенно отличается от «струнного» решения только в малой зоне краевого эффекта [68].

Связь между вектором q(x) и его значением на левом краю зоны «В» (примем х=0) записываем в виде, аналогичном (3.33):

. (3.36)

Элементы матрицы «В» выбираем в виде:

Таким образом выбором элементов матрицы В(х) мы сохраняем структуру решения и улучшаем обусловленность матриц В(х) в точке

Тогда получаем на участке «В»:

; (3.37)

Аналогично рассмотрению участка «А» получаем:

Таким же образом уменьшаем влияние экспоненциальных слагаемых на решение уравнений колебаний на участке «С»:

Таким образом, для всех моделей «А», «В» и «С» кабеля получены матрицы переноса и выведены однотипные соотношения для векторов-столбцов состояний поперечных сечений q.

Вывод:

1) Получены кинматические соотношения (зависимости перемещение-деформация) для малых колебаний в плоскости начального провисания провода (СИП). На основе принципа Даламбера-Лагражна выведено уравнение малых колебаний, обозначены краевые условия.

2) Построение матриц переноса для различных участков изучаемой системы (провод, провод с протектором) позволяет рассматривать кабель с протекторами любой длины и произвольным расположением гасителей.

4. ДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ГАСИТЕЛЯ ВИБРАЦИИ И ПОСТРОЕНИЕ МАТРИЦ ПЕРЕНОСА СИСТЕМЫ

4.1 Кинематическая схема виброгасителя

Рассмотрим виброгаситель типа Стокбрижда в его общем виде. В отличие от отечественных распространённых конструкций, которые допускают колебания гасителя только в плоскости начального провисания провода, сосредоточенные массы рассматриваемого гасителя могут иметь произвольную ориентацию относительно гибких тросов, на концах которых они монтируются. Вследствие этого допущения необходимо рассматривать движения трёх сосредоточенных масс гасителя как твёрдых тел во всех шести степенях свободы. Далее введём системы прямоугольных декартовых координат, (рис. 4.1):

1) Неподвижная система OXYZ с базисом и началом в центре массы зажима в положении равновесия;

2) Связанная с зажимом центральная система с базисом , оси которой являются главными центральными осями инерции зажима. В положении равновесия система совпадаем с системой OXYZ.

3) Связанные с грузами (сосредоточенные массы) центральные оси системы с базисами (к=1, 2).

Каждая из масс «А», «В» и «С» (рис. 4.1) имеет 6 степеней свободы (как свободное тело). Поэтому, для каждой из них примем следующие величины (в качестве обобщённых координат): – радиус-векторы центров масс тел А, В, С относительно начала неподвижной системы OXYZ ; – угол поворота системы (связанной с телом номера «к») вокруг своей оси ; – угол рысканья ; – угол тангажа – угол поворота системы вокруг своей оси ; – угол крена – угол поворота системы вокруг оси , (рис. 4.2).

В дальнейшем используются общепринятые обозначения:

Рисунок 4.1 – Кинематическая схема гасителя вибрации: А – зажим; В, С – грузы

Рисунок 4.2 – Угловые координаты

Перемещение точек , относительно их начальных положений, то есть , а так же углы поворотов – считаются малыми величинами; , . Пусть – малые углы поворотов масс А, В, С вокруг соответствующих осей Тогда мгновенный поворот системы описывается вектором:

. (4.1)

Далее строится матрица линейного преобразования базиса в базисы вследствие малых поворотов . Рассмотрим последовательно повороты .

1. Поворот на угол вокруг оси рисунка 4.3:

Ориентация связанных базисов относительно основной системы OXYZ определяется тройками углов Отсюда строим таблицу углов поворотов (осей системы относительно осей OXYZ) и матрицу преобразования базиса :

Таблица 4.1 – Поворот на угол вокруг оси

;

Рисунок 4.3 – Поворот вокруг оси

2. Поворот вокруг оси на угол .

Из рисунка 4.4 получим:

Таблица 4.2 – Поворот вокруг оси на угол

;

Рисунок 4.4 – Поворот вокруг оси

3. Поворот вокруг оси на угол в плоскости XOY. Из рисунка 4.5:

Таблица 4.3 – Поворот вокруг оси на угол

;

Рисунок 4.5 – Поворот вокруг оси

При вычислении матрицы полного преобразования P: перемножают последовательно матрицы удерживаемая в каждом элементе матрицы Р главные слагаемые таким образом, чтобы обеспечить коммутативность произведения матриц:

.

Коммутативность матричного произведения в данном случае означает независимость вектора от последовательности поворотов вокруг осей . Для малых углов поворота упомянутую коммутативность возможно обеспечить вследствие пренебрежения произведениями синусов углов поворотов.

Используя правило умножения матриц методом «строка-столбец», получим:

Таким образом, в приближении , то есть при малых углах поворота то есть результат последовательных поворотов не зависит от их порядка. Исходя из этих рассуждений, получаем:

.

Обозначив «старый» базис через е, «новый» базис через e’, можно считать e и e’ матрицей-строкой каждый. И формула преобразования базисов будет выглядеть следующим образом:

e=e’P. (4.2)

Из (4.2) выводятся координаты вектор-столбца общего поворота в системе неподвижных координат OXYZ:

Угловая скорость (скорость вокруг мгновенной оси) вычисляется как полная производная по времени, при этом векторы – постоянны:

. (4.3)

При вычислении производных от координат вектора мгновенного поворота сохраняются те же предложения о точности результата, что и выше. Например:

4.2 Кинетическая и потенциальная энергии гасителя вибрации. Вывод уравнения движения.

Кинетическая энергия механической системы, которую представляет корпус гасителя и массы грузов, записывается в виде:

, (4.5)

здесь – массы корпуса гасителя и грузов и радиус-векторы их центров масс, точкой между векторами обозначено их скалярное произведение; – векторы-столбцы угловых скоростей корпуса и грузов, – тензоры инерции корпуса и грузов; Т – транспонирование матрицы.

Компоненты тензоров инерции вычисляются, исходя из предположения, что являются главными центральными осями, поэтому каждый из тензоров является диагональным тензором:

Характеристики

Список файлов ВКР