2. ПЗ. Научно-Исследовательская Работа. (1191665), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

.

В результате:

Далее интегрируем по частям подынтегральные выражения, в которые входят производные от вариации перемещения

1. .

В рамках линейной теории вторым слагаемым в полученном выражении пренебрегаем:

1. (3.13)

2. ;

также пренебрегаем вторым слагаемым и получаем:

. (3.14)

Выразим сумму элементарных работ с учётом 1), 2), 3):

Для верности равенства (2.15) необходимо и достаточно приравнять к нулю каждое слагаемое. Приравнивая к нулю подынтегральные выражения в скобках, получим уравнение колебаний:

, , (3.16)

Граничные условия в краевых задачах делятся на предварительные (то есть те, которые определяются условиями закрепления конструкции с целью предотвращения её перемещений как жёсткого целого) и естественные (то есть условия, которые получаются в результате применения некоторого вариационного принципа), в данном случае – слагаемые, находящиеся вне интеграла в (3.15).

1) Пусть оба концевых сечения провода шарнирно оперты. Тогда известны перемещения точек .

При таком закреплении концевых сечений углы наклона касательных к геометрической оси провода по отношению к оси Ох в точках неизвестны и не равны нулю. Чтобы обратить в ноль третье и четвёртое слагаемые в (3.15), приравниваем к нулю множители при получим естественные граничные условия: равенство нулю внутренних изгибающих моментов в шарнирно опертых сечениях.

Из этого получаем краевые условия:

. (3.17)

2) Оба конца жёстко заделаны. Предварительные условия при этом дают полную систему краевых условий:

. (3.18)

3) Пусть сечение жёстко заделано, сечение – шарнирно оперто. Тогда предварительные условия: при этом 1-е, 2-е и 4-е слагаемые (3.15) обращаются в ноль. А чтобы 3-е слагаемое приравнять к нулю, необходимо принять Поэтому полная система краевых условий для данного случая:

. (3.19)

Выведенное уравнение колебаний провода (учитывая изгибную жёсткость) есть уравнение колебаний растянутой балки. Если положить то получим уравнение колебаний струны с учётом линейного сопротивления внешней среды, под действием вынуждающей распределённой нагрузки p(x,t). Краевые условия при этом только предварительные: .

Чтобы поставить задачу о колебаниях провода, необходимо наряду с краевыми условиями (предварительными и естественными) задать начальные условия: распределения перемещений и скоростей точек оси при по длине провода.

3.4 Динамическая модель кабеля (провода)

В основу построения механической системы кабель – протекторы – гасители Стокбрижда заложен один из вариантов метода начальных параметров и динамических жёсткостей в матричной форме [66]. Поэтому, необходимо разбить рассматриваемую систему на несколько отдельных элементов: участок кабеля с протектором между опорой и виброгасителем, сам виброгаситель, участок кабеля с протектором за виброгасителем в сторону второй опоры и кабель в пролёте.

Рисунок 3.3 – Схема разбиения пролёта на участки: 1 – виброгасители

Для указанных элементов строятся индивидуальные матрицы «переноса», позволяющие записать связи, которые позволяют записать связь между компонентами напряжённо-демпфированного состояния (обобщённые силы и перемещения) [67].

Данный матричный подход даёт возможность рассчитывать системы из произвольного количества перечисленных выше элементов, взятых в любом порядке.

Процесс вибрации кабеля (провода) определяется его тяжением, погонной массой провода и жёсткости на изгиб. Согласно [1], изгибная жёсткость EJ практически не влияет на собственные частоты колебаний кабеля, так как отношение его диаметра к длине d/L примерно равно 10^-4, вследствие чего после приведения уравнения колебаний (3.16) к безразмерной форме, уравнение становится сингулярно возмущённым уравнением: множителем при старшей производной становится малый параметр [68]. Исходя из этого, колебания кабеля можно рассматривать как колебания струны, подверженной соответствующим внешним и внутренним усилиям: аэродинамические силы внешнего сопротивления, силы внутреннего трения, распределённые нагрузки и т.д. Однако, для участков кабеля, подходящих к виброгасителям и имеющих протекторы изгибная жёсткость может оказаться существенной для определения динамических характеристик.

Далее рассмотрим три модели колебаний провода:

Модель «А»: растянутая балка с учётом изгибной жёсткости по всей длине: поведение данной балки описывается уравнением (3.15). Эта модель используется для участков пролёта между точкой подвеса и гасителем или между соседними гасителями, расположенной на одной из опор (рис.3.3).

Модель «В»: Это зона краевого эффекта, в которой происходит переход от решения блочного уравнения (3.15) к решению уравнения струны (при EJ=0):

, , (3.21)

Модель «С»: для описания процесса колебаний внутренней части пролёта вне зон краевого эффекта воспользуемся уравнением (3.21). Рассмотрим уравнение колебаний (3.15): пусть внешняя нагрузка является осциллирующей равномерно распределённой:

, (3.22)

где p – интенсивность распределённой нагрузки, погонная ветровая нагрузка. Решение (3.22) определяется в виде . В результате подстановки в (3.22) и сокращения на получим обыкновенное дифференциальное уравнение четвёртого порядка с постоянными коэффициентами:

. (3.23)

Обозначим погонную массу провода:

Для соответствующего однородного уравнения (3.23) характеристическое уравнение имеет вид (если решение ищем в виде ):

. (3.24)

Введём параметр , тогда из уравнений (3.24) получим:

. (3.25)

Можно оценить параметр , размерность которого исчисляется в м², для балки кругового сечения радиуса r. Пусть деформация оси балки равна «e», тогда:

В эксплуатационных условиях , поэтому получаем важную оценку:

. (3.26)

Известно [68], что параметр является коэффициентом при старшей производной, согласно которому определяют длину зоны краевого эффекта. Относительно длины всего пролёта эта величина является тем самым малым параметром. Однако, величина сравнима с длинами участков кабеля между опорой и виброгасителем (либо между двумя виброгасителями, если их несколько). Из (3.25) можно получить корни характеристического уравнения, которые равны . Далее, оценим величину .

Скорость поперечной волны в гибкой нити вычисляется по формуле

;

частота колебаний, длина волны и её скорость связаны соотношениями:

Поэтому, исходя из (3.26), получим:

;

К примеру, если d=0,003 м, длина волны l=1 метру, то ;

для волн длиной более 2 метров оценка будет . Таким образом, можно принять . Для малых значений отношения и слабого внешнего демпфирования получаются следующие асимптотические оценки корней характеристического уравнения

;

(3.27)

.

Общее решение однородного уравнения (3.24) с правой постоянной частью имеет вид:

.

Частное решение неоднородного уравнения (3.23) с правой постоянной частью будет иметь вид:

;

Исходя из этого, полное решение уравнения (3.23):

. (3.28)

Асимптотические выражения для корней (3.27) показывают, что в сильно растянутой балке при слабом демпфировании для длинных волн общее решением имеет две характерные составляющие: слагаемые отражают влияние изгибной жёсткости и определяются краевым эффектом; в свою очередь вторые слагаемые определяют внутреннее решение, аналогичное решению для гибкой нити.

В общем случае для уравнения (3.22) должны быть поставлены 4 краевых условия, что позволяет определить все произвольные константы интегрирования К_1,2,3,4.

Например, применим краевые условия (3.18) для уравнения (3.22):

.

Тогда функция :

(3.29)

Если (при длине волны ) получим , то есть максимальный и минимальный элементы матрицы системы, детерминант которой отличен от нуля, различаются на 80 порядков. Такие матрицы являются плохо обусловленными [69], и решение системы неустойчиво даже по отношению к ошибкам округления коэффициентов системы в памяти машины. Поэтому получить достоверные значения постоянных интегрирования К_1,2,3,4 на практике практически невозможно.

Чтобы получить приемлемые решения задачи, используется суперпозиция «внутреннего» решения (Решение при EJ=0, то есть решение уравнения колебаний струны) и быстро затухающего «погранслоя».

3.5 Построение матрицы переноса для модели «А»

Рассмотрим участок кабеля типа «А», длина которого сравнительно невелика, поэтому здесь нельзя пренебрегать влиянием изгибной жёсткости. Исходя из общего решения уравнения (3.23):

,

Напряжённо-демпфированное состояние в поперечном сечении балки с координатой х характеризуется обобщёнными силами: изгибающим моментом

(3.30)

Характеристики

Список файлов ВКР