Элементы релятивистствой механики (1188452)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

УДК 53Гладун, А.Д.Г52 Элементы релятивистской механики: учебно-методическоепособие по курсу Общая физика. — 2-е изд. — М.: МФТИ, 2012. —37 с.Книга посвящена актуальным методологическим и методическим вопросам теории относительности в современном курсе общей физики.Адресована преподавателям, аспирантам и студентам физическихспециальностей.УДК 53c Гладун А.Д., 2012c Федеральное государственное автономноеобразовательное учреждение высшегопрофессионального образования«Московский физико-технический институт(государственный университет)», 2012ВведениеПри изучении физики мы часто пользуемся понятиями пространстваи времени.

Что это такое? В наших рассуждениях, как правило, пространство и время являются первичными, логически неопределяемымипонятиями. Исходя из общефилософской точки зрения, восходящей ещёко временам натурфилософии, можно сказать, что это формы существования материи. Однако такие утверждения не более чем описания этихпонятий с помощью естественного метафорического языка.Абстрактные математические представления о реально существующих вне нас пространстве и времени возникают при накоплении знаний о пространственно-временных отношениях материальных объектовокружающей действительности.Механика Ньютона–Галилея (нерелятивистская механика) характеризует собой также определённый этап в развитии представлений о пространстве и времени. В основании этой механики лежат представлениятрёхмерной евклидовой геометрии, которые задаются правилами сложения векторов и определением величины расстояния между двумя точками.

Экспериментальная проверка результатов теоретических предсказаний показывает, что с большой точностью трёхмерное пространстводействительно является евклидовым, а время — абсолютным.Свойства пространства и времени можно установить, анализируяпреобразования, оставляющие неизменной форму уравнений движения.В работе рассматриваются основные принципы механики ЭйнштейнаПуанкаре (релятивистской механики). В основу изложения положеноуравнение движения релятивистской частицы (материальной точки).Даётся анализ преобразований Лоренца, оставляющих неизменной форму уравнений движения. Анализ показывает, что пространство и времянеобходимо объединить в одну так называемую четырёхмерную псевдоевклидову геометрию.Здесь рассматриваются также некоторые приложения релятивистской динамики, в частности, обсуждается идея ускорителей со встречными пучками.Уравнение движения релятивистской частицыНа основании многочисленных теоретических и экспериментальныхисследований можно утверждать, что в классической (неквантовой)нерелятивистской механике, когда скорость частицы значительно меньше скорости света (v c, где c ∼= 3·108 м/с), состояние частицы вданный момент времени определяется заданием шести чисел — трёх координат x, y, z и трёх компонент импульса px , py , pz , т.

е. заданиемрадиуса-вектора частицы r и её импульса p.3Это утверждение является, по существу, фундаментальным закономфизики, который справедлив во всех случаях, когда pr h, где p — средний импульс частицы, величина r характеризует линейный размер области движения, h — постоянная Планка (h/2π = ~ = 1,054·10−34 кг·м2 /с).Из этого закона следует, что все величины, характеризующие свойства любой системы классических частиц, являются функциями положений и скоростей всех частиц.Можно видеть, однако, что в релятивистской области, когда скоростьчастицы сравнима со скоростью света, такое определение механического состояния применимо без дополнительных ограничений лишь длясвободных классических частиц.

При наличии взаимодействия возникают довольно жёсткие ограничения, из-за которых область применимости классической релятивистской механики исчерпывается движениемзаряженных частиц в не очень сильном электромагнитном поле. Почему? Дело в том, что в настоящее время известен единственный способразгонять частицы до релятивистских скоростей — воздействовать наних электромагнитным полем. Частица при этом начинает генерироватьэлектромагнитное излучение, которое в свою очередь влияет на движение частицы. Такое влияние называют реакцией излучения. Интенсивность излучения зависит от ускорения частицы, которое определяетсясилой внешнего поля.

Это означает, что только при достаточно слабомвнешнем поле можно пренебречь излучением частицы и его реакцией.Опыт, накопленный при изучении ускорителей заряженных частиц,учит, что импульс релятивистской частицыmvp= q,(1)21 − vc2где m — масса частицы, v — её скорость. Очевидно, что при v cформула (1) даётp = mv.Понятие импульса можно считать первичным, логически неопределяемым. Его свойства специфицируются на основе закона сохранения импульса, который мы считаем фундаментальным законом природы.В силу (1) уравнение движения релятивистской частицы, определяющее эволюцию состояния движения, имеет видd  mv q= F,(2)2dt1− vc2где F — сила, действующая на частицу.

Если p — первичное понятие,то уравнение (2) следует считать определением силы. Существенно при4этом, что F есть функция состояния частицы и времени, т. е.F = F (r, p, t).Уравнение (2) было впервые открыто в 1905 году французским математиком, физиком и механиком Анри Пуанкаре.Характерную особенность уравнения (2) проиллюстрируем на примере. Пусть частица движется под действием постоянной силы, начальнаяскорость её равна нулю:d  mv q= F,v(0) = 0.(3)2dt1− vc2Интегрируя (3), находимm2 v 222 = (F t) ,1 − vc2т.

е.v=qFtm1+Ft 2mc.(4)Заметим, что в нерелятивистском пределе вместо (4) имеемvнерел =Это означает, чтоFt.mvнерелv=q2 .v1 + нерелc(5)Если сила F достаточно велика и действует достаточно долго, так чтоможно считать, чтоvнерел → ∞,то из (5) следует, чтоv → c.Таким образом, никакими ухищрениями невозможно ускорить частицудо скоростей, превышающих скорость света.Кинетическая энергия релятивистской частицыИзучая нерелятивистскую механику, мы видели, чтоd mv 2dA=F ·v =,dt2dt5где dA = F · dr — элементарная работа.2Это означает, что кинетическая энергия частицы Eк = mvможет2быть определена как работа силы по ускорению частицы от нулевой начальной скорости до скорости, равной v. Воспользуемся данным определением для нахождения кинетической энергии релятивистской частицы.Умножая уравнение (2) скалярно на вектор v, имеемd v = dA .qmv(6)2dtdt1− vc2Для сокращения письма введём обозначения:vβ= ,v = v · τ,cгде τ 2 = 1.Таким образом,mc2 βτdβτdAp=.2dt 1 − βdt(7)Простые преобразования даютτdβτβdτβdp=τp+ τ2 p=2dt 1 − β 2dtdt1−β1 − β2=d 2βββddpτ ·p+ τ2 p=.22dtdtdt1−β1−β1 − β2Далее,βdp= β̇(1 − β 2 )−3/2 ,dt 1 − β 2т.

е.mc2 βdβd1p= mc2 β β̇(1 − β 2 )−3/2 = mc2 p.2dt 1 − βdt 1 − β 2(8)Подставляя (8) в (7), находим2d  mc = dA .qdtdtv21−c2Учитывая, что v(0) = 0, получаем выражение для кинетической энергии:mc2Eк = q− mc2 .(9)v21 − c26Поскольку1−v2c2−1/2=1+1 v2+ ...,2 c2выражение (9) при v c даётEк =mv 2,2что и следовало ожидать.Закон сохранения энергии и импульсаОпыт, основанный на изучении взаимодействия релятивистских частиц, показывает, что энергия свободной частицы не обращается в нульпри v = 0, а остаётся конечной величиной, равной mc2 . Это означает,что энергией частицы следует считать величинуE = Eк + mc2 ,т. е.mc2E=q.21 − vc2(10)Величина mc2 называется при этом энергией покоя частицы.Сравнивая (1) и (10), можно видеть, что импульс частицыp=E· v.c2(11)При v = c импульс и энергия частицы обращаются в бесконечность. Этоозначает, что частица с отличной от нуля массой не может двигаться соскоростью света.

В релятивистской механике, однако, могут существовать частицы с массой, равной нулю, движущиеся со скоростью света(таковы в реальности световые кванты — фотоны, а также нейтрино).Для таких частиц из (11) имеемp=E.c(12)Всюду выше речь шла о частице, но её элементарность нигде не использовалась. В силу этого формулы (1), (10) и (11) применимы в равнойстепени и к любому сложному телу, состоящему из многих частиц. Подm следует при этом понимать полную массу тела, а под v — скоростьего движения как целого.7Энергия покоящегося тела содержит в себе, помимо энергии покоявходящих в его состав частиц, также кинетическую энергию частиц иэнергию их взаимодействия друг с другом.

Другими словами,Xmc2 6=mi c2 ,iгде mi — массы частиц.Таким образом, в релятивистской механике не имеет места законсохранения массы — выполняется только закон сохранения энергии, вкоторую включается также и энергия покоя частиц.Возводя в квадрат соотношения (1) и (10), можно убедиться в том,чтоE 2 − (pc)2 = m2 c4 ,(13)т. е.E=p(mc2 )2 + (pc)2 .(14)Соотношение (13) часто называется основным кинематическим тождеством.

Причину этого мы обсудим ниже.Отметим, что частицу, для которой p mc, принято называть ультрарелятивистской. Для неё приближённо справедлива формула (12).Рассмотрим для примера вопрос о рождении электронно-позитронных пар. Пусть происходит такой процесс: γ → e− + e+ , т. е. фотон(γ-квант), распадаясь, превращается в электрон и позитрон. Напишемуравнение для закона сохранения энергии в этом процессе:ppEγ = cpγ = (mc2 )2 + (p− c)2 + (mc2 )2 + (p+ c)2 .(15)Положим, чтоp− = 0,p+ = 0.Последнее определяет пороговую энергию рождения пары:Eγ пор = 2mc2 .Из (15) также следует, чтоpγ > p− + p+ .(16)С другой стороны, закон сохранения импульса даётpγ = p− + p+ .Векторное равенство (17) представлено на рис. 1.8(17)Поскольку сторона треугольника меньшеили равна сумме двух других сторон, отсюда находимpγ 6 p− + p+ .(18)abcНеравенство (18) противоречит (16).

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов книги