Элементы релятивистствой механики (1188452), страница 3
Текст из файла (страница 3)
7).В системе отсчёта (ct, x) длина равна OA = ∆x. Очевидно, что∆x = ∆x0 cos α,15т. е.∆x∆x0 = q.21 − Vc2Собственной длиной линейки называется её длина в той системе отсчёта,в которой она покоится. Обозначим её через l0 , а длину той же линейкив движущейся системе отсчёта — через l, тогдаrl = l01−V2.c2Можно видеть, что самую большую длину линейка имеет в той системеотсчёта, где она покоится.В задании первого семестра имеется задача следующего содержания.Взволнованный школьник пишет студенту МФТИ: «Теория относительности — наверняка недоразумение. Возьмём шест длиной 20 м и будемдвигать его в направлении его длины с такой скоростью, чтобы в лабораторной системе он оказался длиной 10 м. Тогда в некоторый моментвремени этот шест можно целиком спрятать в сарае, длина которого также 10 м.
Но рассмотрите то же самое в системе отсчёта бегуна с шестом.Для него наполовину сократившимся в длину оказывается сарай. Какже можно спрятать 20-метровый шест в 5-метровом сарае?! Разве этотневероятный вывод не доказывает, что в основе теории относительностигде-то есть противоречие?»Давайте разберёмся, в чём здесь дело. Прежде всего определим относительную скорость двух систем отсчёта. Посколькуr1−V21= ,2c2√V3=.c2Рассмотрим пространственно-временную диаграмму в системе сарая(рис. 8).
Пространственно-временная диаграмма в системе отсчёта бегуна имеет совершенно другой вид (рис. 9). Можно видеть, что разрешениепарадокса задачи состоит в том, что в системе отсчёта бегуна шест нив какой момент времени не находится в сарае целиком.Мы видим, что события, одновременные в одной системе отсчёта, неявляются таковыми в другой.16tbxaРис. 8TdeXfРис. 917gЗакон сложения скоростейС помощью (23) находимdx0 + V dt0dx = q,21 − Vc2dy = dy 0 ,dz = dz 0 ,0V0c2 dxdt +dt = q1−(29).V2c2Очевидно, что величинаds2 = c2 dt2 − dx2 − dy 2 − dz 2 = invariant.(30)Заметим, что ds есть интервал между двумя бесконечно близкими событиями, происходящими с материальной точкой.Разделив первые три равенства (29) на четвёртое и введя скоростиdr,dtV =V0=dr 0,dt0находимvx =vx0+V1+0 Vvxc2,vy =vy0qV2c20 Vvxc21−1+,vz =vz0q1−1+V2c20 Vvxc2.(31)Формулы (31) представляют собой релятивистский закон сложения скоростей. В предельном случае c → ∞ имеемvx = vx0 + V,vy = vy0 ,vz = vz0 .Пусть vx = v, vy = 0, vz = 0, тогда vy0 = 0, vz0 = 0, а vx0 = v 0 , при этомv=v0 + V.01 + vc2V(32)Можно убедиться в том, что в силу (32) сумма двух скоростей, меньшихили равных скорости света, есть снова скорость, не большая скоростисвета.Относительность времени и сокращение длиныРассмотрим выражение для интервала между двумя бесконечноблизкими событиями:ds2 = c2 dt2 − dx2 − dy 2 − dz 2 .18Оно может быть положительным, отрицательным или равным нулю.Это выражение можно записать в видеds2 = c2 dt2 − dr 2 .Пусть ds2 > 0, тогдаc2 dt2 − dr 2 = c2 dt02 − dr 02 .(33)Можно видеть, что в данном случае существует такая система отсчёта,скажем, штрихованная, в которой два бесконечно близких события происходят в одной точке пространства (dr 0 = 0).
Интервал, для которогоds2 > 0, называется времениподобным. Из (33) находим 2v 2 (t)1 dr= c2 dt2 1 − 2c2 dt02 = 1 − 2cdtcилиr01−dt = dtгде V (t) =v 2 (t),c2dr. Отсюда имеемdtr01−dt = dtv 2 (t);c2tZ2 r0∆t =t02−t011−=v 2 (t)dt.c2(34)t1Формула (34) выражает относительность времени. Её впервые получилЭйнштейн.Пусть теперь ds2 < 0. Такой интервал называется пространственноподобным. В таком случае существует система отсчёта, в которой этидва события одновременны. Поскольку22c2 dt2 − dr 2 = c2 dt0 − dr 0 < 0,то, возможно, dt0 = 0:c2 dt2 − dr 2 = −dr 02 .Введём обозначения:dr 02 ≡ dl2 .dr 2 ≡ dl02 ,19(35)Из (35) находимc2 dt2 + dl2 = dl02 .(36)Это означает, что dl < dl0 .Используя преобразования Лоренца (23), находимdt0 + v2 dx0dt = q c.21 − vc(37)Поскольку dt0 = 0, то, подставляя (37) в (36), получаемrv2dl = dl0 1 − 2 .cМы видим, что сокращение длины есть не что иное, как следствие инвариантности интервала и способа измерения длины движущегося отрезка.Собственное времяВремя, отсчитываемое по часам, движущимся вместе с данным объектом, принято называть собственным временем этого объекта.
В системе координат, связанной с движущимися часами, последние покоятся.Будем поэтому считать, чтоdx0 = dy 0 = dz 0 = 0.В силу инвариантности интервала имеем2ds2 = c2 dt2 − dx2 − dy 2 − dz 2 = c2 dt0 ≡ c2 dτ 2 ,(38)где dτ — интервал собственного времени. Соотношение (38) означает,чтоrv2dτ = dt 1 − 2 .(39)cЗаметим, что мы рассматриваем времениподобный интервал (ds2 > 0).Только в этом случае существует такая система координат, в которойдва бесконечно близких события происходят в одной точке пространства.Рассмотрим поучительный мысленный эксперимент. Пусть два кольца вращаются вокруг общей оси с равными по величине и противоположными по направлению угловыми скоростями ω.
Предположим, чтона одном кольце сидит Адам, на другом — Ева. В некоторый момент20времени, когда они проезжают мимо друг друга, показания часов совпадают. Поравнявшись с Адамом, Ева замечает, что его часы идут медленнее. Она ожидает поэтому, что к их следующей встрече её часы уйдутвперед, а Адам придерживается, естественно, противоположного мнения. Что произойдёт в действительности?Из соображений симметрии ясно, что при следующей встрече Адамаи Евы показания часов будут одинаковыми. Убедимся в этом.
Рассмотрим ситуацию в неподвижной инерциальной системе отсчёта. Запишеминтервал в цилиндрических координатах:c2 dτ 2 = c2 dt2 − dr2 − r2 dϕ2 − dz 2 .(40)Траектория Адама: r = r0 = const, z = 0, ϕA = ωt; траектория Евы:r = r0 = const, z = 0, ϕE = −ωt.В силу (40) имеемω 2 r02222,dτA = dτE = dt 1 − 2cт. е. промежутки собственного времени для Адама и Евы одинаковы.Проведём теперь анализ в неинерциальной системе отсчёта, связанной с Адамом. Совершим для этого следующее преобразование координат:ϕ → ϕ0 = ϕ − ωt,t → t0 = t,r → r0 = r,z → z 0 = z.Опуская штрихи, из (40) находимω2 r22ωr222c dτ = 1 − 2c2 dt2 −dϕ · cdt − dr2 − r2 dϕ2 − dz 2 .ccТраектория Адама: ϕA = 0, r = r0 , z = 0;траектория Евы: ϕE = −2ωt, r = r0 , z = 0.В силу (41) имеемω 2 r0222,dτA = dt 1 − 2cω 2 r02ω 2 r02222 2 22 2 22dτE = dt 1 − 2+ 4ω r0 dt − 4ω r0 dt = dt 1 − 2.ccТаким образом, показания часов Адама и Евы одинаковы.21(41)Другой пример — распад мюонов.
Известно, что мюоны распадаютсяпо схемеµ− → e− + ν̄e + νµ ,µ+ → e+ + νe + ν̄µ ,в среднем через время τ = 2·10−6 с после своего рождения. В атмосфере на большом расстоянии от Земли они создаются быстрыми космическими частицами, приходящими из мирового пространства. Опытпоказывает, что мюоны в большом количестве достигают уровня моря.Типичная скорость мюонов 2,994·108 м/с, что составляет 0,998 скоростисвета, т.
е.rv21 − 2 = 0,063.cЗа время жизни мюона частицы проходят расстояние vτ ≈ 600 м, в товремя как в действительности они создаются на высотах, на порядокбольших указанной величины. Как объяснить этот факт?Рассмотрим ситуацию в системе отсчёта, связанной с мюоном (штрихованная система координат). Здесь имеемr0∆t = τ,0∆x = ∆x 1 −v2.c2Это означает, что если мы находимся на Земле и получаем в результатеизмерений, что высота, на которой возник мюон, равна H, то сам мюон«видит» её равнойrv2h=H 1− 2.cЕсли h = 600 м, то H = 9500 м.Исследуем проблему с точки зрения наземного наблюдателя, т.
е. винерциальной системе отсчёта, связанной с Землёй. Здесь имеемH = v∆t,∆t = q∆t01−v2c2τ=q1−= 31,7·10−6 с,v2c2т. е. H = 9500 м.Представляет также интерес рассмотреть данное физическое явление в системе отсчёта, связанной с наземной системой отсчёта преобразованием Галилея:x̃ = x − vt,t̃ = t,22ỹ = y,z̃ = z.Очевидно, что222ds = c dt̃v21− 2c− 2vdx̃dt̃ − dx̃2 − dỹ 2 − dz̃ 2 .Можно показать, что rvdx̃v2ds2 = c2 dt̃ 1 − 2 − 2 · qcc1−22 − dx̃ 2 − dỹ 2 − dz̃ 2 .v21 − vc22cДля физического времени и расстояния это даётrvdx̃v2dx̃2− dỹ 2 − dz̃ 2 .dτ = dt̃ 1 − 2 − 2 · q,dl2 =v2ccv21−c21− 2cВ данной системе отсчёта имеемdx̃ = 0,∆t̃ = ∆t.Физическое время жизни мюонаrτ = ∆t 1 −v2.c2За это время мюоны пролетают путь∆x = v∆t = qvτ1−= 9500 м.v2c2Отметим, что все рассуждения данного параграфа основывались наинвариантности интервала между двумя бесконечно близкими событиями.Векторы в физикеНа вопрос «Что такое вектор?» некоторые студенты отвечают: «Упорядоченная тройка чисел».
Немедленно следует возражение: «Рассмотрим некоторую массу газа и напишем для неё упорядоченную тройку —давление, объём, температуру — (P , V , T ). Разве это вектор?» После паузы диалог продолжается следующим образом. Студент: «Вектор — этоотрезок, имеющий величину, направление и точку приложения».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
