Элементы релятивистствой механики (1188452), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Это означаРис. 1ет, что в рассматриваемом процессе нельзя одновременно удовлетворить законам сохранения энергии и импульса. Необходимо присутствие постороннего тела, которое взяло бы на себя частьимпульса. Обычно рождение электронно-позитронных пар происходитвблизи атомных ядер.Энергия отдачи2Pядра2Mядрапри этом мала в силу большой массы ядра.
Опыт показывает, что вблизиатомного ядра возможен также обратный процесс:e− + e+ → γ.Более вероятной является аннигиляция электрона и позитрона с образованием двух фотонов:e− + e+ → 2γ.Этот процесс происходит без постороннего вещества. Возможен такжеобратный ему процесс:γ + γ → e− + e+ .Последний, однако, никому пока не удалось наблюдать.Преобразование ГалилеяПреобразование Галилея описывает переход от одной системы координат к другой, движущейся равномерно и прямолинейно относительнопервой:r = r 0 + V t,V = const.(19)t = t0 ,Всегда можно направить оси координат так, чтоV = (V, 0, 0).Преобразование (19) имеет при этом видx = x0 + V t,y = y0 ,z = z0,t = t0 .9(20)Для обратного преобразования имеемx0 = x − V t,y 0 = y,z 0 = z,t0 = t.(21)В силу (19)d2 r 0d2 r= 02 ,F = F 0.2dtdtЭто означает, что уравнение движения нерелятивистской частицы форминвариантно относительно преобразования Галилея.
С данным обстоятельством связан принцип относительности Галилея, утверждающий,что законы механических явлений одинаковы для неподвижного наблюдателя и для наблюдателя, совершающего равномерное поступательноедвижение, так что мы не имеем и не можем иметь никакого способа определить, находимся ли мы в подобном движении или нет (формулировкаА. Пуанкаре).Определим инварианты преобразования Галилея.
Расстояние междудвумя точками 1 и 2 в нештрихованной (неподвижной) системе отсчётаравноpl = (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 + (z1 − z2 )2 .В штрихованной (движущейся) системе отсчёта имеемql0 = (x01 − x02 )2 + (y10 − y20 )2 + (z10 − z20 )2 .Используя (21), находимl = l0 .(22)Таким образом, расстояние между двумя точками в механике Ньютона является абсолютным понятием и не зависит от системы отсчёта.Очевидно, что время также является абсолютным понятием, посколькуздесь оно — некоторый параметр, не зависящий от системы отсчёта.Можно видеть, что уравнение движения релятивистской частицы (2)не инвариантно относительно преобразований Галилея.Математическое понятие группыКлючевым понятием современной физики является понятие симметрии.
Физики неустанно ищут, порой не осознавая этого, всё более скрытые и всё более фундаментальные типы симметрии. Понятие симметриитесно связано с понятиями преобразования и инвариантности. Мяч, например, инвариантен относительно вращений. Инвариантность уравнения движения нерелятивистской частицы относительно преобразований10Галилея свидетельствует о наличии некоторой пространственно-временной симметрии в нерелятивистской механике.Важным абстрактным алгебраическим понятием, удобным для описания различных симметрий, является понятие группы.
Пусть, как говорят математики, имеется двойка «множество и операция»:hM, ∗i.Будем полагать, что операция двойки бинарная — любым двум элементам, принадлежащим множеству M, операция ставит в соответствие третий элемент, принадлежащий этому же множеству:a ∈ M,b ∈ M,a ∗ b = c ∈ M.Предположим, что бинарная операция на множестве M удовлетворяетследующим требованиям1. Операция ассоциативна: (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c).2.
Существует нейтральный элемент e ∈ M, такой, что для всехa∈Ma ∗ e = e ∗ a = a.3. Для каждого элемента a существует обратный элемент b, такой,чтоa ∗ b = b ∗ a = e,b = a−1 .Тогда, по определению, двойка hM, ∗i является группой.Рассмотрим некоторые примеры групп.Пример 1. Множество целых чисел является группой относительно сложения. Нейтральным элементом является нуль.
Обратный элемент дляa есть (−a).Пример 2. Множество непрерывных, строго возрастающих функцийϕ(x), определённых на отрезке [0, 1], удовлетворяющих условию ϕ(0) == 0, ϕ(1) = 1 (рис. 2).Можно видеть, что задано при этом взаимно одyнозначное отображение отрезка [0, 1] на себя.bБинарную операцию определим как суперпозицию функций. Это означает, что функциям ϕ(x) иψ(x) ставится в соответствие третья функцияf (x) = (ϕ ∗ ψ)(x) = ϕ(ψ(x)).xНейтральным элементом является функция ϕ(x) ≡ x.Обратный элемент для ϕ(x) есть обратная функция ϕ−1 (x). Ассоциативность операции очевидна.11aРис.
2Пусть для примера ϕ(x) = x2 , тогда ϕ−1 (x) =что√(ϕ ∗ ϕ−1 )(x) = ( x)2 = x,√x. Можно видеть,что соответствует определению обратного элемента.Пример 3. Совокупность преобразований (19) образует группу Галилея.Элемент группы Галилея определяется заданием вектора скорости V ,который описывает переход от одной инерциальной системы отсчёта кдругой. В качестве групповой операции над двумя такими переходамипонимается «результирующий переход».Пусть один из элементов группы Галилея есть переход от одной инерциальной системы отсчёта к другой, движущейся относительно неё снекоторой скоростью V 1 , и другой элемент — переход от одной инерциальной системы отсчёта к другой, движущейся относительно неё соскоростью V 2 .
Опыт учит, что «результирующим» этих двух переходовявляется переход от одной инерциальной системы отсчёта к другой, движущейся относительно неё со скоростью, равной векторной сумме V1 иV2 :V = V 1 + V 2.Нейтральным элементом группы Галилея является, естественно, «тождественный» переход, т. е.
«переход» от одной инерциальной системыотсчёта к другой, «движущейся» относительно неё с нулевой скоростью.Преобразование ЛоренцаРассмотрим преобразование, которое впервые открыл голландскийфизик Г.А. Лоренц, изучая электромагнитные явления:x0 + V tx= q,21 − Vc2y = y0 ,z = z0,t0 + V2 x0t= q c.21 − Vc2(23)z 0 = z,t − V2 xt0 = q c.21 − Vc2(24)Обратное преобразование имеет видx−Vtx0 = q,21 − Vc2y 0 = y,Заметим, что при V c соотношения (23) и (24) переходят в преобразования Галилея (20) и (21).Каков физический смысл преобразования Лоренца? Как видно изформул (24), положению начала новых координат (x0 = 0, y 0 = 0, z 0 == 0) соответствует условиеx = V t.12Это означает, что начало новых координат перемещается в системе отсчёта x, y, z со скоростью V вдоль оси x.Другими словами, преобразование Лоренца связывает переменные(x, y, z, t), относящиеся к одной из систем координат, с переменными(x0 , y 0 , z 0 , t0 ), относящимися к другой системе, движущейся равномернои прямолинейно со скоростью V вдоль оси x по отношению к первой.Следовательно, преобразование Лоренца — это обобщение преобразования Галилея на скорости V , сравнимые со скоростью света c.
Можновидеть, что преобразования Лоренца также образуют группу.Убедимся в том, что величинаc2 t2 − x2 − y 2 − z 2инвариантна относительно преобразования Лоренца. Можно видеть, что22 2c t =c2 t0 +2· x0 + 2V t0 x01−2x2 =V2c2V2c2,2x0 + V 2 t0 + 2V x0 t0,21 − Vc222y2 = y0 ,z2 = z0 ,т. е.c2 t 2 − x 2 − y 2 − z 2 =2=222c2 t0 − x0 − y 0 − z 0 +1V202c2 (x2− Vc222+ y 0 + z 0 ) − V 2 t0222=22= c2 t0 − x0 − y 0 − z 0 ,что и требовалось доказать.В дальнейшем мы будем часто пользоваться понятием события.
Событие определяется временем, когда оно произошло, и местом, где онопроизошло. Другими словами, событие, происходящее с некоторой материальной точкой, характеризуется четырьмя числами — моментом времени, когда происходит событие, и тремя координатами этой частицы.Инвариантc2 t2 − x2 − y 2 − z 2принято называть квадратом интервала между двумя событиями — (0,0, 0, 0) и (t, x, y, z). Часто бывает удобным пользоваться воображаемым четырёхмерным пространством, на осях которого откладываютсявремя и три пространственные координаты.
В этом пространстве событие изображается точкой.13Геометрическая интерпретация преобразования ЛоренцаПреобразования Лоренца допускают наглядtTную геометрическую интерпретацию на евклидовой плоскости. Рассмотрим две косоугольныеaAсистемы координат (ct, x) и (ct0 , x0 ), обладаюeEщие следующим свойством: ось x0 перпендикулярна оси ct, а ось x перпендикулярна оси ct0FX(рис.3).afxОси x и x0 , а также оси ct и ct0 образуют приэтом одинаковые углы, обозначенные на рис. 3Рис. 3греческой буквой α.Для вектора OA можно написать:OA = cte1 + xe2 = ct0 e01 + x0 e02 .e1 , e2 , e01 ,(25)e02Здесь— единичные векторы соответствующих координатных осей (рис. 3).
Умножая (25) скалярно на e01 , находимct cos α = ct0 + x0 sin α.Аналогично, умножая (25) скалярно наe02 ,(26)имеемx cos α = ct0 sin α + x0 .(27)Полагая, чтоVsin α = ,cиз (26) и (27) получаемr1−cos α =ct0 + Vc x0ct = q,21 − Vc2V2,c2V t 0 + x0x= q.21 − Vc2(28)Преобразования (28) совпадают с (23).ttmTmTMMAAaaXoXoaaxxРис.
4Рис. 514Покажем, как можно использовать такую интерпретацию. Пусть произошли два события, одному из которых соответствует на рис. 4 точкаO, а другому — точка A. Какой промежуток времени прошёл между этими событиями? Ответ на данный вопрос зависит от системы координат.Рассмотрим ситуацию в системе (ct, x) (рис. 4).Если ввести обозначения OM = c∆t, а OM 0 = c∆t0 , то очевидно, чтоrV200∆t = ∆t cos α = ∆t 1 − 2 .cВ системе отсчёта (ct0 , x0 ) всё выглядит иначе (рис. 5). ЗдесьrV20∆t = ∆t 1 − 2 .cЭто означает, что движущиеся часы идут медленнее неподвижных.ttTTaaXBoBoaXaAAxРис.
6xРис. 7Аналогично, пусть в системе отсчёта (ct, x) покоится линейка, параллельная оси x. Её длина, измеренная в этой системе в момент времениt = 0, равна отрезку OA = ∆x. В системе отсчёта (ct0 , x0 ) длина равнаотрезку OA0 = ∆x0 (рис. 6). Очевидно, что ∆x0 = ∆x cos α, т. е.∆x0∆x = q.21 − Vc2Если линейка покоится в системе (ct0 , x0 ), то её длина, измеренная вэтой системе в момент времени t = 0, равна отрезку OA0 = ∆x0 (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
