Элементы релятивистствой механики (1188452), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Преподаватель: «Представьте себе, что Вы стоите в г. Долгопрудном наперекрёстке Первомайской улицы и Институтского переулка. Каждый23час по Институтскому переулку проезжает a машин, а по Первомайской улице — b машин (имеем определённую точку приложения, величину и направление). В силу Вашего определения вектора, складываяэти векторы по правилу параллелограмма, заключаем,что каждый час√в студенческий городок МФТИ врывается a2 + b2 машин...» Студентобескуражен.В самом деле, что такое вектор? Эталоном вектора в физике является радиус-вектор.
Что нам известно о радиусе-векторе? Для того чтобы описывать адекватно события, происходящие в трёхмерном мире,выберем некоторую декартову систему координат. Точка в трёхмерномпространстве, в том числе точка, где находится какая-то частица, характеризуется тройкой (x, y, z), где x, y, z — координаты частицы. Сокращённо координаты точки представляются радиусом-векторомr ≡ (x, y, z).Длина радиуса-вектора определяется какpr ≡ x2 + y 2 + z 2 .Изучая на опыте перемещение малых тел (материальных точек), можноубедиться в том, что имеет смысл ввести две операции над радиусомвектором: «умножение на скаляр» и «сложение векторов» —αr ≡ (αx, αy, αz);r 1 + r 2 = (x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2 ).Геометрически сумма векторов r 1 и r 2 есть диагональ параллелограмма со сторонами r 1 и r 2 или, что то же самое, третья сторона треугольника, образованного векторами r 1 и r 2 , последовательно приставленными друг к другу.
Можно видеть, что сложение векторов являетсяассоциативным и коммутативным, а умножение на скаляр — дистрибутивным. Например,r 1 + (r 2 + r 3 ) = (r 1 + r 2 ) + r 3 ;r1 + r2 = r2 + r1 ;α(r 1 + r 2 ) = αr 1 + αr 2 ;(α1 + α2 )r = α1 r + α2 r.Свойства этих математических операций соответствуют реальной действительности.24Для физики существенно то, что можнодать определение радиусу-вектору, не зависящее от системы координат.
Пусть имеются двесистемы координат Ox1 x2 x3 и Ox01 x02 x03 с общим началом O. Обозначим через αik косинусугла между осями x0i и xk . Радиус-вектор характеризуется тем, что при вращении системыкоординат его компоненты преобразуются позакону:3Xxi → x0i =αik xk .yYfXrfxРис. 10(42)k=1Рассмотрим для примера поворот системы координат вокруг оси z наугол ϕ (рис. 10).
Имеемx → x0 = x cos ϕ + y sin ϕ,y → y 0 = −x sin ϕ + y cos ϕ.Это означает, чтоcos ϕcos π2 − ϕcos ϕαik = cos(π − ϕ)00 cos ϕ sin ϕ 000 = − sin ϕ cos ϕ 0 .0000Задавая преобразование (42), мы определяем радиус-вектор r сразу для всех систем координат, не отдавая предпочтения ни одной изних. Произвольный вектор A ≡ (A1 , A2 , A3 ) определяется по образу иподобию радиуса-вектора: при вращении системы координат он преобразуется по закону3XAi → A0i =αik Ak ,(43)k=1т.
е. при вращении системы координат компоненты вектора преобразуются как компоненты радиуса-вектора. Этим исчерпывается определение векторной величины в физике.Форминвариантность уравнения движенияСделаем несколько предварительных замечаний. Рассмотрим уравнение движения нерелятивистской частицы:mdv= F.dt(44)Как убедиться в том, что уравнение (44) не изменяет свою форму, скажем, при повороте системы координат вокруг оси z на угол α (рис. 11)?25Координаты частицы (компоненты радиуса-вектора) преобразуются по закону:yYx → x0 = x cos α + y sin α,y → y 0 = −x sin α + y cos α.f(45)XrfРис.
11Какой смысл вкладываем мы в утверждение, что скорость частицы v есть вектор?x В данном случае это означает, что приповороте системы координат компонентыскорости vx , vy преобразуются по закону:vx → vx0 = vx cos α + vy sin α,vy → vy0 = −vx sin α + vy cos α,(46)т. е. как компоненты радиуса-вектора. То же самое можно сказать и овекторе F :Fx → Fx0 = Fx cos α + Fy sin α,(47)Fy → Fy0 = −Fx sin α + Fy cos α.В общем случае трёхмерным вектором называется совокупность трёх величин, которые при преобразовании системы координат преобразуютсякак компоненты радиуса-вектора.Вернёмся, однако, к уравнению (44).1Отметим, что dr — вектор; dt, а следовательно, и dt— инварианты,drтак что dt = v — вектор.Если сила F обладает свойствами вектора, то это же справедливо идля разности: m dvdt − F — вектор.Если вектор равен нулю в одной системе координат, то он равен нулю и в любой другой декартовой системе координат, что и доказываетформинвариантность уравнения движения (44).Рассмотрим теперь уравнение движения (2).
Придадим ему болееудобную для анализа форму. Введём в рассмотрение обозначения:dff˙ ≡ ,dt◦f≡df,dsгде ds — интервал между бесконечно близкими событиями. Деля (30)на dt2 , находимds2= c2 − v 2dt2или, считая ds > 0,1dt1=√= qdsc2 − v 2c 1−26◦= t.v2c2Очевидно, что◦df dt·= f˙ · t,dt ds◦f=т. е.◦◦ff˙ = ◦ = f · c ·trv2.c21−Следовательно,mẋq1−mẏ◦= mcx,qv2c2mż◦= mcy,qv2c21−1−◦= mcz.v2c2Посколькуrv2 dd1 d= ◦ ·=c 1− 2 ,dtc dst dsиз (2) находимFx◦◦mc2 x = q1−Fy◦◦mc2 y = q1−,v2c2Fz◦◦mc2 z = q1−,v2c2.(48)v2c2Отсюда видно, что для инвариантности системы уравнений (48) относительно преобразований Лоренца необходимо, чтобы правые части уравнений преобразовались как величины x, y, z.
Однако, поскольку приэтом преобразуется также и время, нужно получить ещё одно уравнение. Его мы получим следующим образом.Разделив (30) на ds2 , имеем◦2◦2◦2◦21 = c2 t − x − y − z .(49)Дифференцируя по s, находим◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦c2 · t · t − x · x − y · y − z · z = 0или◦◦◦c2 · t =x◦◦◦◦·x+y◦◦◦◦·y+z◦◦◦◦◦◦◦◦◦· z = ẋ · x + ẏ · y + ż · z .(50)tttУмножая (50) на mc и учитывая (48), окончательно имеем1◦◦mc2 · (c t ) =c·q271−F · v.v2c2(51)Полученным результатам можно дать красивую интерпретацию. Будем рассматривать совокупность координат события (ct, x, y, z) как компоненты четырёхмерного радиуса-вектора (для краткости, 4-радиус-вектор).
Его компоненты мы будем обозначать через xµ , где µ пробегаетзначения 0, 1, 2, 3, причёмx0 = ct,x1 = x,x2 = y,x3 = z.Квадрат «длины» 4-радиуса-вектора даётся выражениемx20 − x21 − x22 − x23 .(52)Он не меняется при любых поворотах четырёхмерной системы координат, которыми являются, в частности, преобразования Лоренца.Инвариантность уравнений (48), (51) относительно преобразованийЛоренца требует, чтобы совокупность величинF·vFFFxyz q, q, q, qv2v2v2v2c 1 − c21 − c21 − c21 − c2обладала свойствами 4-вектора, компоненты которого по определениюпреобразуются как компоненты 4-радиуса-вектора xµ .Преобразование энергии и импульсаНа основании предыдущего можно написатьmc2mv◦q= mcr,21 − vc2q1−◦= mc2 (ct).v2c2Это означает, что совокупность величин Ec , p обладает свойствами 4-вектора: EE, px , py , pz =, p = pµ .(53)ccВектор pµ называется 4-импульсом частицы.
Квадрат его «длины» равенE2− p2 = m2 c2 .(54)c2Соотношение (54) совпадает с (13). Однако, если эти соотношения относить к системе материальных точек, формулу (54) полезно представитьв другом виде:!2!2XXEi−pi c= invariant.(55)ii28Основой кинематики элементарных частиц является закон сохранения4-импульса: полный 4-импульс системы сохраняется, т. е.
сумма всех4-импульсов в начальном состоянии равна сумме всех 4-импульсов в конечном состоянии. Часто поэтому соотношение (54) называют основнымкинематическим тождеством.При решении задач полезными могут оказаться формулы преобразования 4-вектора (53):p0x + Vc E 0,px = q21 − Vc2py = p0y ,pz = p0z ,E 0 + V p0xE= q.21 − Vc2Геометрия пространства-времениКакой смысл содержится в утверждении, что реальное трёхмерноепространство евклидово? Под евклидовостью понимается тот факт, чтоквадрат расстояния между бесконечно близкими точкамиdl2 = dx2 + dy 2 + dz 2(56)остаётся инвариантным при любых преобразованиях системы координат.
Аналогичную интерпретацию можно дать инвариантности квадрата интервала (30).Следуя Герману Минковскому, немецкому математику, будем считать, что «пространство само по себе и время само по себе суть фикции,и лишь некоторый вид соединения обоих сохраняет самостоятельность».Другими словами, пространство и время едино. Физические процессыпротекают в четырёхмерном пространстве (ct и пространственные координаты), геометрия которого определяется инвариантностью выраженияds2 = c2 dt2 − dx2 − dy 2 − dz 2 .(57)Поскольку в (57) пространственная и временная части входят с разными знаками, следуя немецким математикам Ф.
Клейну и Д. Гильберту,будем называть такое пространство псевдоевклидовым.Расстояние между точками в трёхмерном пространстве и время между двумя событиями не являются, следовательно, понятиями абсолютными, как в механике Ньютона. Абсолютен интервал. Если назватьds2 > 0 времениподобным интервалом, ds2 < 0 — пространственноподобным интервалом, ds2 = 0 — изотропным интервалом, то эти понятиятоже абсолютны.К инвариантности интервала (57) мы пришли, рассматривая преобразования Лоренца, т. е.
переходя от одной инерциальной системы отсчёта к другой. Однако постулат Минковского существенно расширяет29класс допустимых координатных систем: когда задана геометрия пространства, в ней можно вводить различные системы координат. Последнее хорошо понятно для трёхмерного евклидового пространства. Выражение (56) можно записать, например, в цилиндрических (r, ϕ, z) илисферических (ρ, θ, ϕ) координатах:dl2 = dr2 + r2 dϕ2 + dz 2 ,dl2 = dρ2 + ρ2 dθ2 + ρ2 sin2 θdϕ2 .Релятивистскую механику часто называют механикой специальнойтеории относительности (СТО).
СТО — это теория пространства и времени. Её создали физики-гиганты Г.Л. Лоренц, А. Пуанкаре, А. Эйнштейн, Г. Минковский. Минковский первый осознал, что суть СТО втом, что все физические процессы протекают в пространстве-времени,геометрия которого псевдоевклидова. Принцип относительности Эйнштейна является «бледной тенью» — частным проявлением этого фундаментального постулата.Столкновения частицРассмотрим столкновение двух одинаковых частиц массы m. Пустьодна из них покоится, а вторая налетает на неё, обладая в лабораторнойсистеме отсчёта энергией E1 (рис. 12).pabРис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
