Кеплер, Нютон и все, все, все... (1188447), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Решая поc-b mлученную систему уравнений, находим,M r232ORчто (m + M )T /a = 4π /G. Используянепосредственно полученную формулу илисравнивая движение Гaлактики и Андромеды с движением Земли вокруг Солнца, находим, что период обращения гаРис. 6лактик составляет почти 70 миллиардовлет. Как мы выяснили в задаче 6, Андромеда должна пройти 10−7 радиана, т. е. надо прождать 1,6 · 10−8оборота, а это больше 1000 лет!Но давайте двинемся по шкале масштабов в обратную сторону. Вернёмся в нашу Галактику — в ней тоже нередко встречаются двойныесистемы.ϕ6?-Рис. 7Так, в 1844 году выдающийся математик и астроном Бессель обнаружил, что самая яркая звезда нашего неба Сириус движется непо прямой, а примерно по синусоиде (рис.
7). Максимальное угловоеотклонение Сириуса от прямолинейного пути ϕ = 2,300 . Период «колебаний» T = 50 лет. Бессель предположил, что у Сириуса есть спутник — невидимая звезда Сириус B («главную» звезду стали называтьСириус A). Через 18 лет отец и сын Кларки, прославленные строителикрупнейших телескопов, увидели Сириус B в только что налаженный46-сантиметровый телескоп.
Орбиты Сириусов уточнили и с помощьюобобщённого третьего закона Кеплера пару «взвесили». Но массу Сириуса A удалось оценить раньше косвенным путём — по известномурасстоянию до него (2,66 парсека), светимости и спектральному классу. Она равна MA = 2,3·M .
Поэтому, даже не зная результатов Кларков, можно31З а д а ч а 22. Рассчитать массу Сириуса B, используя приведенные выше данные о Сириусе A. Считать, что орбитыСириусов круговые, а плоскость орбит перпендикулярна направлению от них к Солнечной системе.Вспомним, что парсек — расстояние, с которого радиус земнойорбиты виден под углом 100 , т. е. 206 265 а. е. ≈ 2,06 · 105 а. е. Таккак Сириус A отклоняется от прямолинейного пути на 2,300 , а земная орбита видна с Сириуса под углом (1/2,66)00 , радиус орбиты Сириуса, очевидно, rA = 2,66 · 2,3 = 6,12 а. е. Но это не величина a,входящая в формулу обобщённого третьего закона.
Это только радиус окружности, по которой вокруг центра масс обращается Сириус A. Нетрудно выразить параметр а через массы Сириусов; получаем a = rA (MA + MB )/MB . Далее призываем читателя поработатьсамостоятельно.Дальше по этому пути идти некуда. В нашей Солнечной системе самый близкий по массе к своей планете спутник у Земли. (Масса Харона, спутника Плутона, всего в 8 раз меньше массы самого Плутона, ноПлутон теперь вроде бы не считается «настоящей» планетой.) Но Луна все-таки в восемьдесят с лишним раз легче Земли, и в большинствеслучаев её можно считать «невесомой».
Поэтому остаётся вообразить,чтоЗ а д а ч а 23. Земля внезапно стала по массе равной Солнцу, а расстояние между ними не изменилось. Как измениласьпродолжительность года?В пределах разумного мы исчерпали задачу двух тел. Проблематрёх тел вообще пока не решена. Но «частная проблема трёх тел»,когда массой одного из них можно пренебречь, разрешима. Нам, например, посильнаЗ а д а ч а 24. Звезды A и B α Центавра обращаются покруговым орбитам на некотором расстоянии друг от друга.Массы их практически равны. В той же плоскости вокругцентра масс звёзд A и B обращается по окружности лёгкаяпланета C, причём треугольник ABC (рис.
8) сохраняет своюформу и размеры. Найти радиус орбит планеты C.AcC cOrcЦентр массРис. 832BСразу отметим, что речь идёт отнюдь не о Проксиме. Та далекоот AB, а наша гипотетическая планета «влезла» внутрь системызвёзд, и для неё они ни в коей мере не эквивалентны одному притягивающему центру.Читатель, надеюсь, решил задачу 24 или, по крайне мере, ознакомился с её решением по ОРЗ. Поэтому не будет нежеланной подсказкой упоминание о том, что в действительности подобные планетысуществуют в нашей Солнечной системе. Оказывается, такое движение в вершине равностороннего треугольника, построенного на AB,устойчиво и в том случае, если массы A и B различны.
В частности,две группы астероидов движутся по орбите Юпитера (это нетруднопонять, если вспомнить, что Юпитер все же гораздо легче Солнца);одна из групп опережает Юпитер на 1/6 окружности, другая на такоеже расстояние отстаёт от него. Это так называемые «троянцы»: имприсваивают имена участников Троянской войны — в одной группегреческие герои, в другой защитники Трои.ЗАКОНЫЕсли бы вся Вселенная обратилась в одно государство, то как не установить повсюду одинаковых законов?К.
ПрутковС точки зрения физики Вселенная — «одно государство», законыво Вселенной едины. Пример — закон всемирного тяготения. Но ведьэто, в конце концов, только формула, описывающая одно из фундаментальных взаимодействий. Есть законы, которые ещё более наглядноподтверждают формулировку Энгельса: «Закон — форма всеобщности».Первый из них — закон сохранения энергии. Сфера его действия неограничивается, конечно, кругом задач, которые могут быть рассмотрены в этой книге. Такого масштаба закон — результат обобщенияневообразимой массы результатов наблюдений, экспериментов, теоретических изысканий. Ни из чего другого его не получишь. Частовстречаются утверждения, что законы сохранения можно получить изодних только свойств симметрии пространства и времени.
Но дажете авторы, у которых за одиозным выражением «нетрудно показать»действительно следует доказательство, начинают его словами «еслиучесть. . . », и далее следует второй закон Ньютона, третий закон. . .33Наша задача гораздо скромнее. Мы хотим найти конкретную форму закона сохранения энергии применительно к силам тяготения инаучиться пользоваться этим законом. Вот в такой узкой постановке задачи нам кое-что удастся «показать».
Ещё у́же: как выглядитформула для потенциальной энергии гравитационного взаимодействиядвух материальных точек?Потенциальная энергия — величина, не вполне определённая. Ясный смысл имеет только разность потенциальных энергий, а самаэнергия зависит от того, какому состоянию мы припишем определённое, произвольно выбранное нами значение энергии. Если два тела бесконечно удалены друг от друга, то они, конечно, не взаимодействуют.Поэтому естественно этому состоянию приписать нулевое значение потенциальной энергии. При любом конечном расстоянии между теламив этом случае энергия будет отрицательной величиной: чтобы «растащить» тела до бесконечного расстояния между ними, надо совершитьработу, добавить энергию.Ещё раз хочу подчеркнуть, что основной аргумент в пользу такоговыбора — нам так удобно. Вряд ли кто-нибудь одобрит такой выбор,если ему предстоит рассчитать, на какую высоту он может заброситькамень, даже если это очень сильный метатель.
Тут естественно нулевое значение энергии выбрать на поверхности Земли, как это чащевсего и делается при решении подобных задач.Проще всего получить энергию, вычислив работу, т. е. проинтегрировав величину GM m/r2 от расстояния R до бесконечности. ПолучаемU = −GM m/r.Читателю, не знакомому с интегрированием, может помочь аналогия с электростатическим взаимодействием. В законе Кулона тожефигурирует обратная пропорциональность силы расстоянию, и выражение для энергии отличается от выражения для силы только тем, чторасстояние в знаменателе меняет степень с двух на единицу.
Знак тожепонятен — сила притяжения соответствует разноименным зарядам, исоответствующая энергия отрицательна.Несколько слов о материальных точках. Когда мы рассматривали,допустим, систему Сириуса, там все понятно: размеры звёзд несравненно меньше расстояния между ними, и неважно, что эти «материальные точки» имеют диаметры по десятку тысяч, а то и по миллиону километров. Когда правомерность такого приближения казаласьсомнительной, были сделаны соответствующие оговорки, как в задачео Проксиме.Но мы и движение спутника по стелющейся траектории рассматривали так, как будто звезда — материальная точка.
А тут размеры тела34и расстояние между телами в лучшем случае равны — если считатьот центра звезды. А откуда надо считать?Вспомним: ещё Ньютон доказал, что в случае сферически симметричного распределения плотности внутри тела последнее действует надругие тела точно так же, как материальная точка массы, равной массе этого тела, расположенная в его центре.
Как он это доказал? Вычислил, как мы вычислили силу в задаче с планетой, взаимодействующейс двумя звёздами. Только ему пришлось разбить шар на бесконечноечисло бесконечно малых частей, которые уже можно считать точками,и проинтегрировать.Одно вспомогательное мероприятие. Полезную для решения болеесодержательных задач формулу нас заставит получитьЗ а д а ч а 25. Найти потенциальную энергию тела единичноймассы на поверхности Земли, зная g0 и r0 .Эту формулу нетрудно получить, сравнивая выражения для потенциальной энергии и для силы притяжения к Земле mg0 .
Оказывается, U/m = −g0 r0 .Примечательно, что по абсолютной величине эта энергия ровно вдва раза больше кинетической энергии единицы массы спутника, движущегося по стелющейся орбите. Можете проверить: мы уже вычис35ляли скорость такого спутника — первую космическую скорость.
Еслимы вспомним ещё, что кинетическая и потенциальная энергии у насимеют разные знаки, то сразу получим, что полная энергия равна помодулю кинетической, но отрицательна.Эти простые соотношения, как нетрудно проверить, справедливыдля любого тела, движущегося по окружности вокруг притягивающего центра. Необходимо только, чтобы сила убывала пропорциональноквадрату расстояния. Например, такие же соотношения между различными видами энергии справедливы для электрона, который движется по окружности в кулоновском поле ядра: U = 2E = −2K.Но вернёмся к нашей любимой гравитации.З а д а ч а 26. Ракета запущена с первой космической скоростью точно по направлению от центра Земли. На какуювысоту она поднимается?Если бы мы запустили ракету горизонтально, она стала бы спутником (про сопротивление воздуха забудем). Но в любом случае онадвижется по эллипсу.
Окружность — вырожденный эллипс с совпадающими фокусами. В нашем случае эллипс вырождается в отрезокпрямой, — это эллипс, у которого фокусы «убежали» на самые края,на концы отрезка. В данный момент эти замечания не очень актуальны, но они нам ещё пригодятся. Теперь о задаче 26.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
