Кеплер, Нютон и все, все, все... (1188447), страница 9
Текст из файла (страница 9)
А сейчас нас ждёт третийвеликий закон.***Это закон сохранения момента импульса. Собственно говоря, мы сним уже отчасти знакомы. Второй закон Кеплера — частный случайзакона сохранения момента импульса. Что такое момент импульса?Существует тесная связь между моментом силы и моментом импульса. Как момент силы — произведение силы на плечо, так и моментимпульса — произведение импульса на плечо. Более того, точно так41же, как внешняя сила изменяет импульс, момент внешних сил изменяет момент импульса. Скорость изменения импульса равна внешнейсиле, скорость изменения момента импульса равна моменту внешнихсил.Где же тут второй закон Кеплера?Посмотрим на рис. 9. Для простотывыбраны точки, где векторы v иvА6r перпендикулярны друг другу, т. е.rпточки, где r — плечо.
Сила проходитcПАчерез ось — мы специально, конечrАно, выбрали ось, проходящую черезvп ?центр притяжения, — и момента несоздаёт. Момент импульса планетыРис. 9не должен изменяться. Но что такоемомент импульса? Это произведениеmvr. Умножив его на величину некоторого небольшого промежуткавремени τ и разделив на удвоенную массу, получим «площадь, заметаемую радиусом-вектором планеты за время τ ». Постоянство этойплощади и есть второй закон Кеплера.Достаточно ясно, что и в произвольной точке произведение момента импульса на половину плеча, деленное на массу тела, есть площадьтреугольника, заметаемого радиусом-вектором за единицу времени.Несколько сложнее обстоит дело в случае сравнимых масс взаимодействующих тел — двойные звезды, пары галактик.
Конечно, ив этом случае момент импульса сохраняется, но применение законаприводит к утомительно громоздким выкладкам. Поэтому в двойныхсистемах мы будем рассматривать только круговые орбиты, где всегораздо проще.***Мы вспомнили три великих закона природы. Теперь мы знаем все,что нам надо для решения собранных в этой книге задач.Конечно, одними законами не обойтись.
Они только отвечают навопрос, что может быть. То, что противоречит этим законам, «не может быть, потому что не может быть никогда». А что будет?Ну, например, тело имеет вторую космическую скорость. Оно может улететь от Земли.А улетит ли? Надо ещё посмотреть, куда эта скорость направлена.Вспомним, что первая космическая скорость делает тело спутникомЗемли, только если она направлена параллельно поверхности Земли.42У второй космической скорости свободы побольше. Если тело сразу неврежется в Землю, значит, будет от неё удаляться. Поэтому достаточно, чтобы направление скорости составляло острый угол (в крайнемслучае — прямой) с нормалью к поверхности Земли, и мы на свободе —в открытом космосе.Но вернёмся к нашим планетам. Впрочем, сначала к комете Галлея.За автором должок, который как раз пора отдать, что я и постараюсьсделать, предлагая читателю заняться «ловлей блох».З а д а ч а 33.
Уточнить значение скорости кометы Галлеяв перигелии, используя закон сохранения энергии и закон сохранения момента импульса (второй закон Кеплера).Рассмотрим перигелий и афелий орбиты — воспользуемся рис. 9.Расстояния rп и rа мы знаем — 0,59 и 35,5 а. е. (задача 4). Запишем два рекомендованных к использованию закона для этих точек изаглянем в ОРЗ.Не правда ли, немного обидно — насколько больше вычислений,чем в задаче 31, а отличие результатов едва ли в пределах точностирасчётов? Зато совсем немного надо считать, чтобыЗ а д а ч а 34. Вычислить скорость кометы в афелии.Жаль расставаться с такой замечательной кометой, поэтому ещёЗ а д а ч а 35.
Какое время тратит комета Галлея на прохождение ближней к Солнцу половины орбиты?Кто не помнит площадь эллипса — она равна πab, где a и b —соответственно большая и малая полуоси.Что-то мы увлеклись вычислениями. А ведь гораздо лучше нас, вовсяком случае, лучше автора, это делали великие вычислители.***В каждой науке ровно столько истины,сколько в ней математики.И. КантНебесная механика — так называется область науки, по окраинамкоторой мы бродим в этой книжке. И в этой области полно математики.Первой крупной победой этой науки было предсказание возвращения кометы Галлея. Но подлинным её триумфом стало открытие, каксказал Араго, «на кончике пера» новой планеты — Нептуна.43К XVIII веку семейство планет по сравнению с древностью уменьшилось — Луну «разжаловали» в спутники, Солнце «возвели в сан»главы семьи.
Но вот в 1781 году произошло первое «прибавление семейства»: Уильям Гершель открыл Уран. В общем-то удивительно, чтоэто произошло лишь спустя 170 лет после того, как Галилей впервыепосмотрел на небо в телескоп. Конечно, Уран вдвое дальше Сатурна,в два с половиной раза меньше его, но все же светит, как звезда 6-йвеличины, т. е. на пределе видимости даже для невооружённого глаза.Как бы то ни было, новая планета была открыта.
И тут началась,вероятно, известная читателю история. Уран упорно не желал подчиняться законам Кеплера, даже с учётом возмущений, которые вносятвсе планеты.Возник вопрос: а все ли? Может быть, существует ещё более далекая планета, которая практически не влияет на движение всех планет,кроме Урана?Англичанин Адамс и француз Леверье почти одновременно решили обратную задачу небесной механики: по известным отклонениямУрана от «правильного пути» вычислили траекторию «возмутителя».Адамсу не повезло. Хотя он закончил свои расчёты на несколько месяцев раньше Леверье, планету никто не искал. РуководителяАдамса работа не заинтересовала, и она легла под сукно.
А по расчётам Леверье был найден и опознан Нептун. Напомню, что никакихЭВМ в то время (Нептун был открыт 24 сентября 1846 года) не было, Адамс и Леверье вручную численными методами — другие длятакой задачи не подходят — решали громоздкую систему уравнений.Поистине титанический труд!А дальше история повторяется: Нептун «не слушается Ньютона»,предположение о ещё одной планете, вычисления, открытие Плутона.Итак, самая далекая из планет — Плутон. Так, да не совсем. И речьне о том, что, может быть, за Плутоном есть ещё планеты. Тогда достаточно было бы уточнить — из известных планет. А речь о том, чтоЗ а д а ч а 36.
Из-за сравнительно большого эксцентриситета орбиты Плутона (большая полуось a = 5,9 · 109 м, малая полуось b = 5,7 · 109 км) его расстояние от Солнца меняется от минимального r = 4,4 · 109 км до максимальногоR = 7,4 · 109 км. Нептун же движется по практически круговой орбите радиуса R1 = 4,5 · 109 км. В результате частьорбиты Плутона, определяемая углом α = 60◦ (см. рис. 10),расположена ближе к Солнцу, чем орбита Нептуна.
НедавноПлутон перешёл с девятого на восьмое место среди больших44планет Солнечной системы. Когда он вернётся на своё законное девятое место?ABrz)α 6bCНептунjccПлутонR1R?Рис. 10Период обращения Плутона, конечно, можно определить из третьего закона Кеплера. Получаем T = 247 лет. А нашу задачу поможет решить второй закон Кеплера (см.
ОРЗ).Мы до сих пор занимались почти исключительно естественныминебесными телами. Если изредка в задачу и попадал спутник, токакой-то безымянный. А между тем в небо рвались совсем не безымянныеИКАРЫЗемля — колыбель человечества.Но нельзя же вечно жить в колыбели!К. Э.
ЦиолковскийКосмическая эра начиналась дважды. Только что исполнилось 30лет со дня запуска первого искусственного спутника Земли — он взлетел 4 октября 1957 года. А пока книга дойдёт до читателя, на очередибудет тридцатилетие первого космического полёта человека.12 апреля 1961 года первый Икар XX века поднялся в космос. Имяего известно всем — это Юрий Гагарин, первый человек, облетевшийЗемлю.А сколько времени понадобилось Ю. А. Гагарину, чтобы совершитькругосветное путешествие?З а д а ч а 37. Орбита космического корабля «Восток» имелавысоту в перигее 181 км, а в апогее — 327 км. Определитепериод обращения космического корабля Ю. А. Гагарина вокруг Земли.45Наверное, проще всего сначала вычислить период обращения постелющейся орбите: мы знаем длину окружности земного шара —40 тыс. км, а первая космическая скорость — 7,9 км/с — скоростьспутника на приземной орбите.
Значит, минимальный (теоретический, без учёта сопротивления воздуха) период спутникa —5064 с = 1 ч 24,4 мин. С помощью третьего закона Кеплера безтруда получим, что период обращения «Востока» равен почти точно полутора часам. Напомним, что в действительности Гагариннаходился в полёте 1 ч 48 мин, т.
е. он пролетел несколько большеодного «витка».И полетели спутники! Сначала — чтобы посмотреть, как там в космосе, потом — чтобы работать на человека. С 1965 года работают советские спутники связи «Молния». Одной из самых удобных для связиявляется так называемая геостационарная орбита — когда спутник всевремя «висит» над одной точкой земной поверхности.З а д а ч а 38. Определить радиус орбиты геостационарного спутника.
Конечно, такой спутник должен обращаться вплоскости экватора.Множество спутников запущено за 30 лет космической эры. Некоторые из них движутся по близким орбитам. Мы рассмотримЗ а д а ч а 39. Два спутника, которые движутся по однойорбите, имеют период обращения вокруг Земли 4 часа. Расстояние между спутниками изменяется от минимального —2 км до максимального — 5 км.
Определить высоту апогея иперигея общей орбиты спутников.***В марте 1965 года первый человек — Алексей Леонов — побывал воткрытом космосе. Один из экспериментов, которые он там произвёл,привёл к запуску спутника в буквальном смысле слова рукой человека: он бросил крышку фотоаппарата, и она стала самостоятельнымспутником Земли.Но прежде чем изучить движение крышки-спутника, мы вспомнимдве формулы, которые здорово нам могут помочь.Формула первая, точная.З а д а ч а 40.
Выразить большую ось орбиты спутника черезего полную энергию.Для круговой орбиты, используя выражение для центростремительной силы, легко получим 2a = 2R = GM/K (K — кинетическая46энергия). Теперь вспомним, что полная энергия по модулю равна кинетической; значит, 2a = GM/|E|. Для эллиптической орбиты результат тот же. Вывод посложнее, он приведён в ОРЗ.Формула вторая, приближённая — не из физики, а из математики.Допустим, в выражении (1 + x)n второе слагаемое в скобках —x — мало по сравнению с единицей. Если n — целое число, то(1 + x)n = 1 + nx + n(n − 1)x2 /2 + .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
