Кеплер, Нютон и все, все, все... (1188447), страница 10
Текст из файла (страница 10)
. . Но каждый следующий членпримерно в 1/x раз меньше предыдущего. Значит, если не гнаться заабсолютно точной цифрой, а в физике таких не бывает, то на каком-точлене этот ряд можно оборвать. Мы обычно будем его обрывать навтором члене, т. е. считать, что (1 + x)n ≈ 1 + nx. Заметим, чтоэта приближённая формула справедлива для любых показателейстепени — отрицательных, дробных, иррациональных.Теперь мы готовы бросать крышки со спутников.
Для началаЗ а д а ч а 41. Бросим крышку вперёд по ходу спутника,находящегося на околоземной орбите. Скорость крышки (относительно спутника, конечно) vк = 10 м/с. Насколько орбитакрышки отличается от орбиты спутника?Вопрос сформулирован нечётко. Это сделано умышленно, чтобычитатель сам попытался разобраться, какой будет орбита.Если форма и параметры орбиты крышки прояснились, нетрудновычислить,З а д а ч а 42.
Каково будет расстояние между крышкойи спутником, когда они совершат один оборот после запускакрышки?А теперь посмотрим, что сделал Леонов.З а д а ч а 43. Леонов бросил крышку по направлению кцентру Земли. Скорость крышки относительно корабля таже — 10 м/с. Насколько отличается большая полуось орбиты «крышки Леонова» от радиуса орбиты спутника (которыйсчитать практически равным радиусу Земли)?***Хуже нет — ждать да догонять.Русская пословицаМы немного научились сравнивать мало отличающиеся орбиты.В задаче 41 один из спутников — крышка — пытался убежать от другого; в задаче 42 орбиты пересекались.
Вернёмся к задаче 39. Там один47из спутников безуспешно гнался за другим, то приближаясь к нему,то отставая.А что надо сделать, чтобы спутники состыковались? На первыйвзгляд, совсем простую вещь: увеличить скорость «заднего» спутника,он догонит передний, тогда чуть притормозим — и вот она, мягкаястыковка.Не тут-то было.
Увеличив скорость второго спутника, мы забросимeего на другую, более высокую орби9eIIту. Для простоты рассмотрим слу Iчай, когда спутники летят друг задругом по круговой траектории. ПоРис. 11сле ускорения второй спутник станетдвигаться по эллипсу, для котороготочка ускорения — перигей, и проскочит мимо первого (рис. 11). Общей у их траекторий теперь будет одна точка II. Только там они могутвстретиться. Как же им оказаться в этой точке одновременно?Первый спутник попадёт туда через время, немного меньшее, чемпервоначальный период обращения обоих спутников. А второй? Емунужен целый период, да к тому же период новый, период обращения поэллиптической орбите, на которую он попал после ускорения. А этотпериод больше первоначального. Ускорившийся второй спутник отстанет ещё больше от «ленивого» первого!Вот теперь не покажется неожиданным вариант: чтобы догнать,надо.
. . притормозить!З а д а ч а 44. Два спутника движутся по одной круговойорбите радиуса 7000 км на расстоянии 53 км друг от друга.При каком изменении скорости второй спутник через периоддогонит первый?***Ещё совсем незадолго до начала космических полётов, даже ужепосле запуска первых спутников, одним из вероятных препятствий дляпрорыва в космос человека считалась метеоритная опасность.Действительно, открыты тысячи астероидов — глыб размером всотни километров.
«Камушек» в десяток метров и в самый мощный телескоп не углядишь. А какого размера метеорит опасен для спутника?Конечно, это в значительной мере зависит от того, куда этот камушекпопадёт. Важна и скорость камня. Если он догоняет спутник — допустим, это тоже спутник Земли, вроде крышки, — то относительная48скорость может быть небольшой, произойдёт «мягкая стыковка». Нопредположим, что это спутник Солнца, который движется примернопо орбите Земли, но в противоположную сторону. И вот он подлетаетк Земле.З а д а ч а 45. Какова будет скорость такого метеорита относительно Земли вблизи её поверхности?И вот такой «скоростной» метеорит попадает в космический корабль.
Что будет? Допустим, космонавты не пострадали; они в скафандрах, так что и утечка воздуха им не страшна. Но орбита?З а д а ч а 46. Спутник массы в 1 тонну движется по круговойорбите, радиус которой в 2 раза больше радиуса Земли. Метеорит из задачи 45 сталкивается со спутником «лоб в лоб»и застревает в нём.
При какой массе метеорита спутник врежется в Землю?Но меняют орбиты не только крышки или, упаси Бог, сбитые спути метеоритами спутники. Сами спутники, межпланетные корабли совершают многочисленныеМАНЕВРЫГлазомер, быстрота и натиск!А. В. СуворовГлазомер космонавты заменяют тщательными расчётами, «натиск»им обеспечивают двигатели. А быстрота понадобится нам. Я не имеюв виду, что мы быстро-быстро должны решать задачи или ещё чтонибудь в этом духе. Просто мы будем рассматривать такие маневры, которые осуществляются с помощью кратковременного включения двигателей.
Беда в том, что с расчётом «медленных» маневровнам просто трудно будет справиться. Вопрос о точности расчётов нестоит. Даже в принципе мы по большей части не сможем разобраться,что надо делать. Для примера — «простая»З а д а ч а 47. На какую величину надо изменить скоростькорабля, движущегося по околоземной орбите, чтобы он навсегда покинул Землю?Казалось бы, чего проще — из второй космической скорости вычтем первую: 11,2 − 7,9 = 3,3 км/с.
Вроде бы и все. Но. . .Я предлагаю не достигать второй космической скорости, вообщепочти не увеличивать скорость и. . . улететь от Земли.49Насколько там у нас в задаче 41 крышка летела быстрее спутника? Давайте сделаем прибавку скорости ещё меньше, хоть миллиметрв год. Все равно, полная энергия чуть-чуть возрастёт, апогей будетдальше от Земли, а скорость в нём меньше, чем на круговой орбите.Так вот, в апогее ещё чуточку добавим скорости так, чтобы он сталперигеем, а новый апогей был чуть дальше. Идея понятна: скоростьдаже будет все время в среднем уменьшаться, можно так подобратьрежим, чтобы она никогда не превысила первую космическую больше,чем на этот самый миллиметр в год, а от Земли мы удалимся.Выгоден ли этот режим — вопрос другой, на эту тему мы сейчаснемного побеседуем.Реактивный двигатель выбрасывает продукты сгорания топлива скакой-то определённой скоростью относительно корабля.
С какой быскоростью ни летел корабль, мы всегда имеем право сесть в системукоординат, связанную с ним. Нетрудно понять, что в силу закона сохранения импульса корабль получит одну и ту же скорость в «своей»системе при выбрасывании определённой порции газов, независимо оттого, как движется эта система. Возвращаясь в удобную нам систему отсчёта, например на Землю, мы увидим одинаковые измененияскорости корабля. И вот в связи с этим фактом возникаетЗ а д а ч а 48. Где выгоднее ускорять корабль — в перигееили в апогее?Надеюсь, ясно, что мы хотим улететь подальше от Земли, например на Луну, на Марс и дальше.
Кроме того, как неоднократноуже оговорено, двигатель работает недолго. Мы помним, что в этомслучае можно пользоваться законом сохранения импульса.Вообще-то, надо сделать ещё одну оговорку. Рассуждения, которыеможно прочесть в ОРЗ, качественно верны при любой конструкциидвигателя — конечно, имеется в виду реактивный двигатель. Но длятого чтобы можно было получить разумный количественный результат, не прибегая к формуле Циолковского, надо ограничить изменениескорости корабля. Это изменение должно быть заметно меньше скорости газов, от которых «отталкивается» корабль. Мы считаем, чтогазы выбрасываются с какой-то определённой скоростью относительно корабля.
Так практически всегда и бывает в действительности.Но какова скорость корабля? В начале маневра, в конце, какую-тосреднюю скорость корабля нужно взять, чтобы определить скоростьгазов относительно, например, Земли? Ясно, что у разных порций газаскорости разные. Если же скорость корабля меняется на величину,малую по сравнению со скоростью газов, то мучиться этим вопросомне стоит. Мы обычно будем считать, что для вычисления абсолютной50скорости газов надо их относительную скорость сложить со скоростьюкорабля в начале маневра.Садимся в систему отсчёта, в которой корабль перед включениемдвигателя неподвижен, и в этой системе считаем скорость всех порцийгазов одинаковой — той самой, что задана в условиях задачи.Фу, кажется, можно кончить приготовления и отправиться на Луну!З а д а ч а 49.
При какой минимальной скорости вблизиповерхности Земли можно долететь до Луны?Призываю читателя не слишком спешить с этой, на вид несложной, задачей. Тут немало мелких подводных камней, хотя не надодумать, что я призываю, например, учитывать сопротивление воздуха.А теперь, когда читатель разобрался с этой задачей, посмотрел,что по этому поводу думает автор (хотел сказать — «посмотрел правильное решение», — но вовремя удержался), вспомним, как люди вдействительности летели на Луну. 21 июля 1969 года нога человекавпервые ступила на поверхность «иной планеты».
Американские астронавты Армстронг н Олдрин высадились на Луну. Но их корабльстартовал не с Земли. Он стартовал с промежуточной орбиты искусственного спутника Земли. По этому поводуЗ а д а ч а 50. Спутник обращается вокруг Земли недалекоот её поверхности. Какую дополнительную скорость надо емусообщить, чтобы он мог попасть в сферу притяжения Луны?Казалось бы, мы только что разобрали этот вопрос. Но не тутто было. Не зря я так осторожно высказался о своём решении задачи49.Ну, теперь, наконец-то, мы на Луне? Пока мы в сфере притяженияЛуны. Мы, правда, договорились в таких случаях не учитывать влияния тел, чьё притяжение слабее. Так что Луна — хозяйка корабля,который находится от неё в 38,4 тыс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
