Кеплер, Нютон и все, все, все... (1188447), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Но самому Евклидупринадлежит вряд ли десятая часть собранных в «Началах» результатов, притом это не самые важные результаты.«Математические начала натуральной философии» Ньютона — законченное здание классической, ньютоновой механики. И в этом здании сам Ньютон не один камень положил в фундамент, возвел половину стен, даже создал инструмент — говоря современным языком,математический анализ.Правда, на отдельные результаты Ньютона претендовали и другиеавторы. Лейбниц якобы раньше создал анализ, Гук раньше открылзакон тяготения. Не будем вдаваться в приоритетные споры: кто, что,где, когда сказал.
Несомненно, что и анализ Ньютон создал независимо от Лейбница, и закон всемирного тяготения сформулировал независимо от Гука. Гуку вечно не хватало времени, чтобы довести дологического конца свои гениальные догадки. Шутка ли, еженедельно(!) демонстрировать членам Королевского общества неизвестные имявления! А именно таковы были обязанности Гука, и он с ними добросовестно и успешно справлялся в течение двадцати лет!22А Ньютону «повезло». Чума, великий мор 1666–1667 годов, заперлаего на ферме в родном поместье Вулсторп. Там он и написал свои «Начала», которые даже по построению удивительно напоминают книгуЕвклида.
Что касается Гука, то остаётся ощущение, что ему и чумабы не помогла. Не тот склад ума, не тот темперамент. Гук — первооткрыватель, ему не только некогда, но и неинтересно все доводитьдо конца, шлифовать, обобщать. А Ньютон — нет, не систематизатор,или, вернее, не только систематизатор. Это поистине универсальныйи необозримо могучий ум.И уже совсем нелепым кажется участие самого Ньютона в спорахо приоритете. Ведь даже готовые «Начала» он опубликовал толькочерез двадцать лет, и то под неудержимым напором Галлея.И в трудах Кеплера искал Галлей ответ на вопрос о движении «своей» кометы, и лично к Гуку обращался за помощью, но не смог справиться с задачей.А Ньютон сразу сказал ему, как она движется: «По эллипсу».
«Откуда Вы это знаете?!» — вскричал поражённый Галлей. Ньютон ответил просто, коротко и спокойно: «Я это вычислил».***Если человек не понимает проблемы, он пишетмного формул, а когда поймёт, в чем дело, ихостаётся в лучшем случае две.Н. БорДействительно, чтобы решить все задачи этой книги, строго говоря, достаточно знать две формулы: второй закон Ньютона F = ma изакон всемирного тяготения F = GM m/r2 . Все остальное — законыКеплера, закон сохранения энергии (в том объёме, в каком он понадобится нам) — можно получить из этих двух формул. Мы, конечно, невсе будем выводить сами.У второго закона Ньютона соавтор Галилей.
Это он первым исправил Аристотеля. Не покоиться или останавливаться должно тело, накоторое не действуют силы, а покоиться или двигаться прямолинейнои равномерно; а если есть сила, то движение будет ускоренным. Естьсоавторы и у закона всемирного тяготения: Кеплер, сказавший, что«тяжесть есть взаимное стремление всех тел»; Буйо, догадавшийся дозакона обратных квадратов, но не сумевший доказать его; Гук. Наконец, пресловутое яблоко. Между прочим, если история с яблоком —легенда, то и её создал, похоже, не Вольтер, а сам Ньютон.23Ньютон, сравнивая падение яблока с движением Луны, вывел закон всемирного тяготения.
Мы уже знаем, спасибо Ньютону, этот закон. Но часть пройденного им пути мы тоже пройдём, хотя и в обратную сторону. Нас ждётЗ а д а ч а 12. Звездный месяц (время обращения Луны вокругЗемли) Tл = 27,32 сут. Зная радиус Земли r0 = 6370 км и ускорение яблока, определите расстояние до Луны Rл .Применяя к яблоку две наши любимые формулы, получим массуЗемли M0 или лучше сразу комбинацию GM0 /R02 = g0 — ускорениесилы тяжести на поверхности Земли, равное 9,81 м/с2 . А что намизвестно о Луне? С одной стороны, её ускорение, как у яблока, равноaл = g0 r02 /Rл2 .
С другой стороны — это центростремительное ускорение тела, движущегося по окружности радиуса Rл с некоторойскоростью vл , т. е. aл = vл2 /Rл . Наконец, 2πRл = vл Tл . Посмотримна все полученные уравнения и заглянем в ОРЗ.Ясно, что для тел, обращающихся вокруг Земли, тоже справедливы законы Кеплера. Только в третьем законе надо их движение сравнивать с движением Луны.
Беда, что почти триста лет нечего былосравнивать — у Земли не было других спутников. Но, между прочим,впервые наука сказала об искусственных спутниках устами того жеНьютона. Именно он первым понял, что однажды запущенный спутник будет обращаться вокруг Земли без всяких дополнительных усилий с нашей стороны. Но пока время спутников Земли не приспело,вглядимся пристальнее в Солнце. Если мы ещё не забыли, что такоеT0 и R0 и чему они равны, если мы в состоянии из результатов решения задач 7 и 8 вычислить радиус Солнца, то нам не покажетсятрудной (несмотря на её номер).З а д а ч а 13.
Определите ускорение свободного падения наповерхности Солнца.Солнце в 400 раз больше Луны, а Земля — лишь в 3,67. Значит,радиус Солнца в 109 раз больше радиуса Земли и равен 6,96 · 105 км.Далее — как в задаче 12.Кеплер и Ньютон, если можно так выразиться, количественно подтвердили принцип «бритвы Оккама», впервые сказавшего ещё в XIVвеке: «. . . на небе имеется материя того же сорта, что и в подлунныхпредметах, поскольку множественность никогда не следует полагать без необходимости. . . ».
Земля, Солнце, планеты одинаковоподчиняются закону всемирного тяготения. Луна помогла «взвесить»Землю, Земля — Солнце. Теперь мы можем «взвесить», например,Юпитер, в чем убеждает нас24З а д а ч а 14. Радиус орбиты Ио (см. задачу 11) равен422 тыс. км и в 5,95 раза превышает радиус Юпитера. Определите массу Юпитера и ускорение свободного падения на егоповерхности.У всех планет, кроме Меркурия и Венеры, есть спутники. У больших планет группы Юпитера — у самого Юпитера, у Сатурна, Урана,Нептуна есть ещё и кольца. Первым было обнаружено кольцо у Сатурна.
Сделал это Галилей. Но он не совсем понял, что именно он увидел,потому что заметил кольцо незадолго до того, как оно повернулосьребром к Земле, и не успел толком его разглядеть. Поэтому своё открытие он опубликовал в виде анаграммы: расставил в алфавитном порядке буквы, из которых можно было составить фразу «высочайшуюпланету тройною наблюдал», да ещё для верности добавил нескольколишних букв.
Действительно, перед «исчезновением» кольцо выглядит как пара выростов по сторонам самой далёкой из известных тогда(«высочайшей») планет.Что такое кольцо Сатурна? Вернее было бы сказать — кольца, таккак уже Кассини удалось заметить самый большой просвет, разделяющий кольца — «щель Кассини», и колец стало два. Теперь их известногораздо больше. Могут ли кольца быть сплошными? Окончательно наэтот вопрос удалось ответить, измерив скорости внешнего и внутреннего краев кольца. У сплошного кольца больше должна быть скоростьвнешнего края. У колец больших планет больше скорости внутреннихкраев. Кольца — рои мелких и мельчайших спутников — каменныхглыб, песчинок, пылинок.
И непосредственно из законов Ньютона, и иззаконов Кеплера нетрудно понять, что чем дальше спутник, тем меньше его скорость. Какова же скорость спутника, движущегося по самойнизкой из возможных, по «стелющейся» траектории, т. е. по окружности, радиус которой практически равен радиусу планеты? Один из видов выражения для этой, первой космической, или круговой, скоростизаставит нас получитьЗ а д а ч а 15.
Выразить первую космическую скорость черезрадиус Земли r0 и ускорение свободного падения на её поверхности g0 . Численные расчёты провести также для Солнца, Юпитера.А вот период обращения спутника по «стелющейся» орбите зависиттолько от плотности небесного тела, и в этом нас убеждаетЗ а д а ч а 16. Зная радиус Солнца (r = 696 тыс. км) и параметры земной орбиты R0 и T0 , определить среднюю плотностьсолнечного вещества.
Выразить через полученную плотностьминимальный период обращения спутника Солнца.25Мы достаточно «погуляли» по Солнечной системе. Пора сменитьМАСШТАБЫКристалл небес мне не преграда боле,Но вскрывши их,подъемлюсь в бесконечность.Джордано БруноМы собрались выйти за пределы Солнечной системы. Что тамдальше? «Сфера неподвижных звёзд», то самое «седьмое небо» Аристотеля, которое собрался вскрыть бесстрашный Бруно. Но нет ли наэтом небе кусочка, который ближе к нам? Проще, какая звезда ближевсех к Солнечной системе? Ответ известен — α Центавра (или Кентавра).
Ответ, в общем, правильный, но неточный. Даже в небольшойтелескоп видно, что α Центавра — двойная звезда. Кто ближе всех —α Центавра A или α Центавра B? Оказывается, ни A, ни B. На расстоянии 2,2◦ от пары A и B находится слабая звёздочка, которая таки называется — Проксима (Ближайшая). 4,3 года идёт до нас свет отα Центавра, а от Проксимы — почти на 14 суток меньше.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
