Сферические функции - Пальцев (1188239)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Б. В. ПальцевСферические функцииУДК 517.586Данное пособие посвящено изложению основ теории сферическихфункций и предназначено для студентов, изучающих соответствующий раздел курса уравнений математической физики. Избранная схема изложения основывается на использовании элементарныхсвойств оператора Лапласа–Бельтрами на единичной сфере и связисобственных функций этого оператора — сферических функций сшаровыми функциями — однородными гармоническими многочленами. Для исследования поведения решений уравнения Лежандра вокрестностях особых точек привлекаются факты из аналитическойтеории обыкновенных дифференциальных уравнений с правильнымиособенностями.

В заключение дано применение сферических функций к решению задачи Дирихле для уравнения Лапласа в областяхв R3 , обладающих сферической симметрией.В дальнейшем будем обозначать:C k (Ω), где k > 0 — целое, Ω — область в Rn , — пространствофункций непрерывных в Ω вместе со всеми своими частнымипроизводными до k-го порядка включительно;C k (Ω), k > 0 — целое, — подпространство пространстваC k (Ω), состоящее из функций, которые вместе со всеми своими производными до k-го порядка допускают продолжения взамыкание Ω области Ω как непрерывные на Ω функции;C(Ω) = C 0 (Ω) и C(Ω) = C 0 (Ω) — пространства непрерывныхфункций на Ω и Ω соответственно.Функция u(x) ∈ C 2 (Ω), удовлетворяющая в области Ω уравнению Лапласа ∆u(x) = 0, называется гармонической в Ω.Рассмотрим задачу Дирихле для уравнения Лапласа∆u(x) = 0,x = (x1 ,x2 ,x3 ) ∈ Ω ⊂ R3 ,u|Γ = u0 (x), Γ = ∂Ω — граница Ω,(1)где Ω — область в R3 , обладающая круговой симметрией:либо шар Ω = {x : |x| < R},либо внешность шара Ω = {x : |x| > r},либо шаровой слой Ω = {x : r < |x| < R},u0 (x) ∈ C(Γ), где C(Γ) — пространство непрерывных функцийна Γ, а, если необходимо, и достаточно гладкая заданная на Γфункция.Оказывается, что для решения и этой задачи можно развить метод Фурье.

При этом возникают новые специальныефункции — так называемые сферические функции.3§ 1. Оператор Лапласа в сферической системеx3xθρOx2x1ϕx0Рис. 1x1 = ρ sin θ cos ϕ,Естественно перейти в задаче (1)к сферической системе координатρ,θ,ϕ:pρ = |x| = x21 + x22 + x23 ,θ — угол между осью Ox3 и векторомx, отсчитываемый от оси Ox3 ,ϕ — угол между осью Ox1 и проекцией x0 вектора x на плоскость x3 == 0, отсчитываемый от оси Ox1 .При этомx2 = ρ sin θ sin ϕ,x3 = ρ cos θ,ρ > 0, 0 6 θ 6 π, 0 6 ϕ 6 2π(2)(при ρ = 0 θ и ϕ не определяются однозначно).Выведем уравнение Лапласа в сферической системе координат. Поскольку∆u = div grad u,то для этого следует получить выражения в сферической си→→стеме для grad u и div F , где u — скалярное, а F — векторноеполя в Ω.Если u(x) = u(x1 ,x2 ,x3 ) — некоторая функция в Ω, то черезub(ρ,θ,ϕ) будем обозначать выражение функции u(x) в сферической системеub(ρ,θ,ϕ) = u(ρ sin θ cos ϕ,ρ sin θ sin ϕ,ρ cos θ).(3)cИтак, нам нужно получить выражение ∆u(ρ,θ,ϕ)черезub(ρ,θ,ϕ).1◦ .

Обозначим через ~e1 ,~e2 ,~e3 ортонормированный базис исходной декартовой системы Ox1 ,x2 ,x3 . Пусть→F = F 1 e1 + F 2 e2 + F 3 e34(4)→→— некоторое векторное поле в Ω ( F = F (x) — вектор→функция на Ω), {F 1 ,F 2 ,F 3 } — координаты F в базисе ~e1 ,~e2 ,~e3 .Каждой точке x ∈ Ω, x 6= 0, со сферическими координатами(ρ,θ,ϕ) поставим в соответствие подвижный ортонормированный репер ~eρ ,~eθ ,~eϕ (тройку взаимно ортогональных единичныхвекторов):∂x~eρ = (sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θ)=,∂ρ1 ∂x~eθ = (cos θ cos ϕ, cos θ sin ϕ, − sin θ)=,(5)ρ ∂θ1 ∂x~eϕ = (− sin ϕ, cos ϕ,0)=.ρ sin θ ∂ϕЛегко видеть, что эти векторы — единичные касательные векторы соответственно к координатным линиямθ,ϕ = const ,ρ,ϕ = const ,ρ,θ = const .→Разложим вектор F по ортонормированному базису (5)→F = F ρ~eρ + F θ~eθ + F ϕ~eϕ ,(6)→{F ρ ,F θ ,F ϕ } — координаты F в базисе (5) или, как мы их бу→дем называть, координаты вектора F в сферической системе.В силу ортонормированности репера (5)→F ρ = ( F ,~eρ ) = Fb1 sin θ cos ϕ + Fb2 sin θ sin ϕ + Fb3 cos θ,→F θ = ( F ,~eρ ) = Fb1 cos θ cos ϕ + Fb2 cos θ sin ϕ − Fb3 sin θ,(7)→F ϕ = ( F ,~eρ ) = −Fb1 sin ϕ + Fb2 cos ϕ,где Fbk — декартовы координаты F k , выраженные как скалярные функции в сферической системе.2◦ .

Получим выражение координат вектора ∇u = grad u,u ∈ C 1 (Ω), в сферической системе. Дифференцируя (3) после5довательно по ρ, θ и ϕ, имеемccc∂bu∂u∂u∂u=sin θ cos ϕ +sin θ sin ϕ +cos θ,∂ρ∂x1∂x2∂x3ccc1 ∂bu∂u∂u∂u=cos θ cos ϕ +cos θ sin ϕ −sin θ,ρ ∂θ∂x1∂x2∂x3cc1 ∂bu∂u∂u=−sin ϕ +cos ϕ.ρ sin θ ∂ϕ∂x1∂x2Посколькуn∂u∂u∂u,,∂x1 ∂x2 ∂x3o(8)— координаты ∇u в декартовойсистеме, в силу (7) получаем(∇u)ρ =ccc∂u1 ∂u1 ∂u, (∇u)θ =, (∇u)ϕ =.∂ρρ ∂θρ sin θ ∂ϕ(9)→3◦ .

Пусть теперь F — гладкое векторное поле в Ω. Полу→\чим выражение divF в сферической системе, т.е. выражениеэтой функции через F ρ , F θ , F ϕ . Для этого сначала выразимccc∂u∂u∂u,и ∂x ,∂x1 ∂x23c ∂uc∂uчерез ∂ρ , ∂ρ игде u — произвольная гладкая функция в Ω,c∂u. Это легко сделать, рассматривая соот∂ρношения (8) как систему линейных уравнений относительноc∂uc∂uc∂uвеличин ∂x , ∂x , ∂x . Учитывая то, что матрица такой си123стемы — ортогональная матрица, а обратная к ортогональной6матрице является транспонированная к ней, получаемc∂u∂bu1 ∂bu1 ∂bu=sin θ cos ϕ +cos θ cos ϕ −sin ϕ,∂x1∂ρρ ∂θρ sin θ ∂ϕc∂bu1 ∂bu1 ∂bu∂u=sin θ sin ϕ +cos θ sin ϕ +cos ϕ,∂x2∂ρρ ∂θρ sin θ ∂ϕc∂u∂bu1 ∂bu=cos θ −sin θ.∂x3∂ρρ ∂θИспользуя эти выражения, мы получаем (выполняя на последней стадии суммирование по столбцам и тождественные преобразования)[→∂F 1 [∂F 2 [∂F 3\divF =++=∂x1∂x2∂x3∂ Fb11 ∂ Fb11 ∂ Fb1=sin θ cos ϕ +cos θ cos ϕ −sin ϕ +∂ρρ ∂θρ sin θ ∂ϕ∂ Fb21 ∂ Fb21 ∂ Fb2+sin θ sin ϕ +cos θ sin ϕ +cos ϕ+∂ρρ ∂θρ sin θ ∂ϕ∂ Fb31 ∂ Fb3+cos θ −sin θ =∂ρρ ∂θ∂ b1=F sin θ cos ϕ + Fb2 sin θ sin ϕ + Fb3 cos θ +∂ρ1 ∂ b1+F cos θ cos ϕ + Fb2 cos θ sin ϕ − Fb3 sin θ +ρ ∂θ1+ Fb1 sin θ cos ϕ + Fb2 sin θ sin ϕ + Fb3 cos θ +ρ1∂ b1+−F sin ϕ + Fb2 cos ϕ +ρ sin θ ∂ϕ1 b1+F cos ϕ + Fb2 sin ϕ =ρ sin θ7=∂F ρ 1 ∂F θFρ1 ∂F ϕ++++∂ρρ ∂θρρ sin θ ∂ϕ1 b1+F cos ϕ + Fb2 sin ϕ .ρ sin θОстаётся последнее слагаемое здесь выразить через F ρ , F θи F ϕ .

Для этого обратимся к соотношениям (7). Умножим первое из них на sin θ, второе — на cos θ, сложим их. В результатеполучимFb1 cos ϕ + Fb2 sin ϕ = F ρ sin θ + F θ cos θ.Используя это соотношение, окончательно получаем→11 ∂F ϕ∂F ρ 2 ρ 1 ∂F θ\+ F ++ ctg θF θ +=divF =∂ρρρ ∂θρρ sin θ ∂ϕ1 ∂ 2 ρ1∂∂F ϕθ= 2 (ρ F ) +(sin θF ) +.(10)ρ ∂ρρ sin θ ∂θ∂ϕ→Это и есть выражение дивергенции векторного поля F всферической системе координат.4◦ .

Теперь уже легко выписать выражение оператора Лаc =пласа в сферической системе. Используя (10), тождество ∆u\ и (9), находим= div(∇u) ∂1 ∂ 21∂ρθϕc∆u = 2ρ (∇u) +sin θ(∇u) + (∇u) =ρ ∂ρρ sin θ ∂θ∂ϕ1 ∂∂bu11 ∂∂bu1 ∂2ub= 2ρ2+ 2sin θ+=ρ ∂ρ∂ρρ sin θ ∂θ∂θsin2 θ ∂ϕ21 ∂u1 b02 ∂b= 2ρ+ 2∆ub,(11)ρ ∂ρ∂ρρ θ,ϕгде мы обозначили1 ∂∂bu1 ∂2ub0b∆θ,ϕ ub=sin θ+.(12)2sin θ ∂θ∂θsin θ ∂ϕ28Итак, в сферической системе оператор Лапласа представляет собой сумму2-го порядка по радиальной пе оператораременной1 ∂∂ρ2 ∂ρρ2 ∂ρи оператора 2-го порядка по угловымb 0 , поделённого на ρ2 .

Оператор ∆b 0 называютпеременным ∆θ,ϕθ,ϕоператором Лапласа–Бельтрами на единичной сфере в R3 .§ 2. Оператор Лапласа–Бельтрами на сфереи его свойства.Сферические и шаровые функцииОбозначим через S1 = {x : |x| = 1} — единичную сферу вR3 с центром в начале координат.Определение 1. Через C k (S1 ), k > 0 — целое, обозначимпространство функций k раз непрерывно дифференцируемыхна сфере S1 .ξ3Это означает следующее.Длялюбой точки x0 =(x01 ,x02 ,x03 ) ∈ S1 возьx0мём какую-нибудь декартову системуξ = (ξ1 ,ξ2 ,ξ3 ) с началом в точке O, причём такую, что ось Oξ3 направлена поOвектору Ox0 . При этом плоскость ξ3 =ξ2= 0 параллельна касательной плоскоξ1сти к S1 в точке x0 . Обозначим x=x(ξ)S1(x1 =x1 (ξ1 ,ξ2 ,ξ3 ),x2 =x2 (ξ1 ,ξ2 ,ξ3 ),Рис. 2x3 =x3 (ξ1 ,ξ2 ,ξ3 )) формулы перехода кновой системе ξ и введём в рассмотрение функцию v ξ (ξ) == v(x(ξ)) — выражение функции v(x) в новой декартовойсистеме ξ.

Далее, уравнение pв системе ξ куска S1p, проходящего0022через точку x , будет ξ3 = 1 − ξ1 + ξ2 , |ξ | = ξ12 + ξ22 < 1,где ξ 0 = (ξ1 ,ξ2 ). Выразим v ξ (ξ) только через “касательные”9координаты ξ 0 (являющиеся касательными координатамиэтого куска S1 ) и получим функциюpdef(13)ṽ ξ = v ξ (ξ1 ,ξ2 , 1 − |ξ 0 |2 ).Так вот, по определению функция v(x) ∈ C k (S1 ), еслидля любой x0 ∈ S1 и для любой декартовой системы ξ == (ξ1 ,ξ2 ,ξ3 ), описаннойвыше, функция (13) принадлежит про1странству C k |ξ 0 | 6 2 . Аналогичным образом определяетсяпространство C k (Sρ ) на сфере Sρ радиуса ρ.З а м е ч а н и е 1. Можно показать, что это определениеэквивалентно также следующему.

Функция v(x) принадлежитпространству C k (S1 ) тогда и только тогда, когда для любойдекартовой системы координат x̃ = (x̃1 ,x̃2 ,x̃3 ) с центром в начале координат функцияvb(θ̃,ϕ̃) = v(sin θ̃ cos ϕ̃, sin θ̃ sin ϕ̃, cos θ̃),(14)где θ̃ и ϕ̃ — углы в сферической системе, связанной с декартовой системой x̃, принадлежит пространству C k ((0,π) × [0,2π]).Определение 2. Оператор Лапласа–Бельтрами ∆0S1 наединичной сфере S1 определим как оператор, переводящий всякую функцию v(x) ∈ C 2 (S1 ) в функцию ∆0S1 v(x) ∈ C(S1 ), выражение которой в сферических координатах даётся формулой0 v(θ,ϕ) = ∆[b 0 vb(θ,ϕ),∆(15)S1θ,ϕгде vb(θ,ϕ) определяется по формуле (14), только без “тильд”,b 0 — дифференциальный оператор 2-го порядка, определяе∆θ,ϕмый формулой (12).Здесь мы встречаемся по сути дела с определениями пространств гладких функций на гладком многообразии (в данномслучае — на сфере S1 ) и дифференциального оператора на таком многообразии.10b0Хотя выражение оператора ∆θ,ϕ оператора Лапласа–0bБельтрами ∆S1 в сферической системе и зависит от углов θb 0 имеет особенности при θ = 0 и θ = π (sin θ, пои ϕ, а ∆θ,ϕявляющийся в знаменателе, обращается в нуль в этих точках),b 0 во всех точках сферы S1 устроен совершенносам оператор ∆S1одинаково.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов книги