Сферические функции - Пальцев (1188239), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Максимальное число линейно независимых сферических функций веса l равно в точности (2l + 1). Всякоечисло λ = l(l + 1), где l > 0 — целое, является СЗ оператора −−∆0S1 .Таким образом, в принципе мы уже получили описание СЗи СФ оператора Лапласа–Бельтрами. Перейдём теперь к по27лучению выражений сферических функций в сферической системе.§ 4. Выражение сферических функцийв сферической системе координат.Уравнение ЛежандраПусть y(x) — сферическая функция веса l, l > 0 — целое, аyb(θ,ϕ) — её выражение в сферической системе. y(x) ∈ C ∞ (S1 )как след гармонического многочлена и, кроме того, y(x) — СФоператора −∆0S1 , отвечающая СЗ λ = l(l+1). Поэтому yb(θ,ϕ) ∈∈ C ∞ ([0,π] × [0,2π]), заведомо ограниченная функция, yb(θ,ϕ) 6≡≡ 0, и удовлетворяет уравнению∂by1 ∂ 2 yb1 ∂sin θ++ l(l + 1)by = 0,sin θ ∂θ∂θsin2 θ ∂ϕ2(39)0 < θ < π,0 6 ϕ 6 2π.Нам достаточно найти (2l + 1) линейно независимых функций, удовлетворяющих этим условиям.
Будем искать каждуютакую функцию методом разделения переменных в видеyb(θ,ϕ) = z(θ)eimϕ ,m — целое.(40)В силу бесконечной дифференцируемости yb(θ,ϕ) функция z(θ)также обязана принадлежать C ∞ ([0,2π]). Подставляя (40)в (39) и сокращая на eimϕ 6= 0, приходим к обыкновенномудифференциальному уравнению 21m00(sin θz (θ)) −− l(l + 1) z(θ) = 0, 0 < θ < π,sin θsin2 θ(41)где z(θ) 6≡ 0, z(θ) ∈ C ∞ ([0,π]).В этом уравнении удобно сделать замену независимой переменнойt = cos θ,28z(θ) = P (cos θ),− 1 < t < 1,(42)которая преобразует уравнение (41) к уравнению dm22 dP(1 − t )−− l(l + 1) P (t) = 0, − 1 < t < 1,dtdt1 − t2(43)причём P (t) ∈ C ∞ ((−1,1)) и ограниченная на (−1,1) функция,P (t) 6≡ 0.
Уравнение (43) называется уравнением Лежандра.Итак, перейдём к нахождению таких решений уравнения(43). Умножив это уравнение на (1 − t2 ), преобразуем его кформе(t2 − 1)2 P 00 + 2t(t2 − 1)P 0 − [m2 + l(l + 1)(t2 − 1)]P = 0. (44)Существует аналитическая теория обыкновенных дифференциальных уравнений, в которой имеется раздел, посвящённый аналитической теории линейных уравнений с правильными особыми точками, см., например, книги [4] или [5] изсписка литературы, приведённого в конце данного пособия. Поэтой теории, если в окрестности некоторой точки c линейноедифференциальное уравнение может быть приведено к виду(t − c)2 y 00 + (t − c)a(t)y 0 + b(t)y = 0,(45)где a(t) и b(t) — некоторые функции t, аналитические в некоторой окрестности точки c : |t − c| < δ, т.е. функции, которыепредставимы в этой окрестности степенными рядамиa(t) = a0 + a1 (t − c) + .
. . + ak (t − c)k + . . . ,b(t) = b0 + b1 (t − c) + . . . + bk (t − c)k + . . . ,то точку c называют правильной особой точкой уравнения (44).В этом случае уравнение (45) (поскольку a(t) ∼ a0 , b(t) ∼ b0при (t − c) малых) похоже в малой окрестности точки c науравнение Эйлера(t − c)2 ỹ 00 + a0 (t − c)ỹ 0 + b0 ỹ = 0.(46)29Решения последнего уравнения, как известно, следует искать в виде ỹ = (t − c)ν . Подставляя такую функцию в уравнение (46) и сокращая на (t − c)ν , приходим к следующемухарактеристическому уравнению для определения показателяν:ν(ν − 1) + a0 ν + b0 = 0.(47)Это квадратное уравнение имеет два корня ν1 и ν2 . Занумеруем их так, чтобы Re ν1 > Re ν2 .
Оказывается, что так же,как и для уравнения Бесселя (для которого точка 0 являетсяправильной особой точкой), для корня ν1 можно всегда найтирешение уравнения (45) вида"#∞X111y1 (t) = (t − c)ν1 γ 0 +γ k (t − c)k , γ 0 6= 0.(48)k=111При этом γ 0 можно взять произвольным, коэффициенты γ k ,k > 1, определяются тогда уже однозначно, и степенной рядв представлении y1 (t) сходится в некоторой достаточно малойокрестности точки c.Что касается решения y2 (t), отвечающего второму корнюν2 характеристического уравнения (47), то тут ситуация несколько более сложная. Если ν1 − ν2 6= целому, то существует1и второе решение y2 (t) уравнения вида (48), но с ν1 и γ k заме2нёнными, соответственно, на ν2 и γ k , и потому в этом случае2y2 (t) ∼ γ 0 (t − c)ν2 в окрестности точки c. Если же ν1 − ν2 == целому 6= 0, то оказывается также существует решение y2 (t)2уравнения (45), которое имеет поведение y2 (t) ∼ γ 0 (t − c)ν2 приt → c.
В случае же, когда ν1 = ν2 , второе решение уравнения(45) линейно независимое с y1 (t), имеет уже в малой окрестно2сти точки c такое поведение: y2 (t) ∼ γ 0 (t − c)ν1 ln(t − c).Обратимся к уравнению Лежандра в форме (44). У этого30уравнения две особые точки t = +1 и t = −1, поскольку коэффициент при P 00 обращается в нуль только в этих точках. Этиособые точки являются правильными. Проверим это, например, для точки t = 1.Разделим уравнение (44) на функцию (t + 1)2 , которая необращается в нуль в окрестности исследуемой точки t = 1.Уравнение приобретает вид2tm2t−12 000(t − 1) P + (t − 1)P −+ l(l + 1)P (t) = 0,t+1(t + 1)2t+1(49)т.е.
становится вида (44) с c = 1 и сm2t−12t,b(t) = −+l(l+1).a(t) =t+1(t + 1)2t+1Нетрудно видеть, что a(t) и b(t) — регулярные функции переменной t (рассматриваемой уже как комплексная переменная) вкруге |t − 1| < 2. Поэтому эти функции допускают разложенияв этом круге в ряды Тейлораa(t) = a(1) +∞Xa(k) (1)k=1b(t) = b(1) +k!∞ (k)Xb (1)k=1k!(t − 1)k = 1 +(t − 1)k = −∞Xak (t − 1)k ,k=1∞2Xm4+bk (t − 1)k ,k=1и, следовательно, и для действительных t в окрестности |t −− 1| < 2. Итак, точка t = 1 является правильной.Поэтому согласно сформулированной выше теории уравнение (49) при t, близких к 1, становится похожим на уравнениеэйлеровского типа(t − 1)2 P̃ 00 + (t − 1)P̃ 0 −m2P̃ = 0.4(50)31Решение последнего уравнения ищем в виде P̃ = (t−1)ν .
И, каки выше для ν, получаем квадратное уравнение для ν:m2m2ν(ν − 1) + ν −= ν2 −= 0.44Это уравнение имеет два корня ν1 и ν2 , Re ν1 > Re ν2 :|m||m|,ν2 = −.ν1 =22При этом, как это следует из сказанного выше, тогда всякоеограниченное в окрестности точки t = 1 решение уравнения(49) имеет вид|m|(51)P (t) = (1 − t) 2 Q+ (t),где функция Q+ (t) аналитическая, а потому и бесконечно дифференцируемая функция в окрестности точки t = 1. Действительно, одно нетривиальное решение уравнения (49) согласноэтой формуле имеет (51), а другое решение, линейно независи2мое с этим имеет поведение P2 (t) = γ 0 (1 − t)−|m|2при m 6= 0 и2P2 (t) = γ 0 ln(1 − t) при m = 0, а потому это второе решениенеограничено в окрестности точки t = 1.Нетрудно видеть, что уравнение (49) таким же образомустроено и в окрестности точки t = −1, причём значения ν1и ν2 для этой точки оказываются в точности теми же, что ивыше.
Следовательно, всякое решение уравнения (49), ограниченное в окрестности точки t = −1, необходимо имеет видP (t) = (1 + t)|m|2Q− (t),где Q− (t) — бесконечно дифференцируемая функция в некоторой окрестности точки t = −1.Отсюда уже следует, что если P (t) — решение уравненияЛежандра (44), отвечающее сферической функции вида (40),то функция|m|Q(t) = (1 − t2 )− 2 P (t)32обязана принадлежать пространству C ∞ ([−1, + 1]). В самом|m|деле, в окрестностях точек t = ±1 Q(t) = (1 ± t)− 2 Q± (t)бесконечно дифференцируемая, поскольку таковыми являются|m|в этих окрестностях функции Q± (t) и (1 ± t)− 2 .
Во внутренних же точках интервала (−1,1) : Q(t) ∈ C ∞ ((−1,1)) поскольку|m|P (t) и (1 − t2 )− 2 принадлежат C ∞ ((−1,1)).Таким образом, мы приходим в итоге к заключению, чтоограниченное на [−1, + 1] решение P (t) уравнения Лежандра(43) следует искать в видеP (t) = (1 − t2 )|m|2Q(t),(52)где Q(t) ∈ C ∞ ([−1, + 1]).Выполняя замену (52) в уравнении (43), приходим к следующему уравнению для функции Q(t):(1 − t2 )Q00 − 2(|m| + 1)tQ0 + [l(l + 1) − |m|(|m| + 1)]Q = 0. (53)Требуется найти нетривиальное решение Q(t) этого уравнения, принадлежащее C ∞ ([−1,1]). Установим, что такими решениями будут некоторые многочлены, и найдём их.Для этого рассмотрим несколько более общее семействоуравнений, включающее уравнения (53), зависящее от действительного параметра n:(1 − t2 )S 00 − 2(n + 1)tS 0 + [l(l + 1) − n(n + 1)]S = 0.(54)При n = |m| уравнение (54) совпадает с уравнением (53).
Последнее семейство уравнений обладает следующими важнымидля нас свойствами.Лемма 6. 1◦ . Если S(t) — решение уравнения (54), то S 0 (t)является решением уравнения вида (54) с n, заменённым на(n + 1).332◦ . При n = −l решением уравнения (54) является многочленW (t) = (1 − t2 )l .(55)Д о к а з а т е л ь с т в о. 1◦ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
