Сферические функции - Пальцев (1188239), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Поскольку функция (66), как функция x,гармоническая в шаре |x| < 1, получаем X∞ 11 ddal (θ)0 ≡ ∆x=sin θ+l(l + 1)al (θ) ρl−2.|x − y|sin θ dθdθl=0Приравнивая нулю коэффициенты при различных степенях ρ,находим, что функции al (θ) ∈ C ∞ ([0,π]) являются решениямиуравнений (41) с m = 0. Но тогда, как было доказано вышеal (θ) = cl Pl (cos θ), где cl — некоторые постоянные.Итак, установлено, что1p1 − 2ρ cos θ +ρ2=∞Xcl Pl (cos θ)ρl , 0 6 ρ < 1.l=0Определим коэффициенты cl подстановкой в последнее соотношение θ = 0. Тогда, используя, что Pl (1) = 1, получаем:∞∞∞l=0l=0l=0XXX1=ρl =cl Pl (1)ρl =cl ρl .1−ρОтсюда следует, что cl = 1 ∀ l > 0, Итак, с подстановкойt = cos θ разложение (65) установлено.Лемма 11. Для многочленов Лежандра Pl (t) имеет месторекуррентная формула(l + 1)Pl+1 (t) − (2l + 1)tPl (t) + lPl−1 (t) ≡ 0,t ∈ [−1,1],l > 0.(71)Д о к а з а т е л ь с т в о.
Дифференцируя по ρ разложение (65), умножая полученное соотношение на (1 − 2tρ + ρ2 )42и пользуясь опять формулой (65), получим тождество(t − ρ)∞Xl=0Pl (t)ρl = (1 − 2tρ + ρ2 )∞XlPl (t)ρl−1 .l=0Приравнивая в этом соотношении коэффициенты при одинаковых степенях переменной ρ, приходим к формуле (71).Перейдём к доказательству формулы (64). Начнём со случая m = 0 (при этом Pl0 (t) = Pl (t)).
Выражая по формуле (71)Pl (t) через Pl−1 (t) и Pl−2 (t) и пользуясь уже установленной ортогональностью многочленов Лежандра (леммой 8), находим,чтоZZ 1(2l − 1) 1Pl (t)tPl−1 (t) dt−Pl2 (t) dt =l−1−1Z(l − 1) 1−Pl (t)Pl−2 (t) dt =l−1Z(2l − 1) 1=tPl (t)Pl−1 (t) dt.l−1Теперь ещё раз воспользуемся формулой (71) и выразим tPl (t)через Pl+1 (t) и Pl−1 (t). ПолучимZ 1Z(2l − 1)(l + 1) 1Pl2 (t) dt =Pl+1 (t)Pl−1 (t) dt+(2l + 1)l−1−1Z(2l − 1) 1 2+P (t) dt =(2l + 1) −1 l−1Z 1(2l − 1)=·P 2 (t) dt.(2l + 1) −1 l−1Наконец, RвоспользуемсяR этим рекуррентным соотношением и11тем, что −1 P02 (t) dt = −1 dt = 2. Получим окончательноZ 1Z(2l − 1) (2l − 3)1 1 222Pl (t) dt =····P0 (t) dt =.(2l + 1) (2l − 1)3 −12l + 1−143Установим далее (64) при m > 1 — целом.
Используя формулу (57), интегрируя по частям, имеем1Z−1Z(Plm (t))2 dt1(m)=−1(1 − t2 )m Pl2 m= (1 − t )Z1−−1(t) dt =1(m−1)(m)Pl(t)Pl (t)(m−1)Pl(m)(t)Pl−−1hi0(m)(t) (1 − t2 )m Pl (t) dt. (72)Первоеслагаемоеhi0 в правой части равно нулю. Выразим(m−1)(m)(t).(1 − t2 )m Pl (t) с помощью уравнения (53) через Pl(m)Pl (t) в силу леммы 6 удовлетворяет уравнению (53).Умножив это уравнение на (1 − t2 )m , имеем(m+2)(1 − t2 )m+1 Pl(m+1)(t) − (m + 1)2t(1 − t2 )m Pl(t) =(m)= (m2 + m − l2 − l)(1 − t2 )m Pl(t).Отсюдаh(m+1)(1 − t2 )m+1 Pli0(m)(t) = −(l − m)(l + m + 1)(1 − t2 )m Pl (t).Заменяя здесь (m + 1) на m и подставляя получившееся выражение в (72), приходим к рекуррентной формуле (относительноm):Z1−144(Plm (t))2 dtZ1= (l + m)(l − m + 1)−12Plm−1 (t) dt.ОтсюдаZ 1(Plm (t))2 dt = (l + m)(l − m + 1) × (l + m − 1)(l − m + 2)×−1Z1× . . .
× (l + 1)l−1Pl2 (t) dt == (l + m)(l − m + 1) . . . (l − m + 1) ·=2=(2l + 1)2(l + m)!.(l − m)! (2l + 1)Итак, формула (64) установлена. С этой формулой установлена и формула (61).Линейная независимость при каждом l > 0 системы (60)из (2l + 1) сферических функций является непосредственнымследствием леммы 7. В самом деле, эта система — ортогональная система функций, скалярные квадраты которых отличны от нуля, а такая система линейно независима. Следовательно, система (60) при фиксированном l — максимальнаялинейно независимая система сферических функций веса l, система же (60) с l = 0,1,2, . .
. — это линейно независимая система всех сферических функций в R3 (точнее на S1 ⊂ R3 ).Оказывается, что эта система является базисом в пространстве функций L2 (S1 ). Пространство L2 (S1 ) определяется какпространство функций на S1 , каждая из которых измерима поЛебегу на S1 (мы можем для простоты ограничиться, например, требованием, чтобы функция была кусочно-непрерывна иимела конечное число особых точек) и для каждой из которыхконечна нормаpkuk = (u,u)S1 ,где скалярное произведение (u,v)S1 определено (16). А именно,имеет место следующее утверждение.45P Теорема 1. Для любой u(x) ∈ L2 (S1 ) частичные суммыN (x) ряда Фурье функции u(x) по сферической системе (60)XN(x) =N XlXmcml Yl (x),x ∈ S1 ,l=0 m=−lгде(u,Ylm )S1(73)Ylm ,Ylm S1— коэффициенты Фурье, сходятся по норме пространстваL2 (S1 ) к функции u(x), т.е.Z 2X(x) ds → 0 при N → ∞.u(x) −cml =S1NД о к а з а т е л ь с т в о этой теоремы мы здесь не имеемвозможности привести.
Результатам о поточечной сходимостирядов Фурье по сферическим функциям, а также по различнымсвойствам самих сферических функций посвящена специальнаялитература, см., например, [5].§ 6. Применение сферических функций длярешения краевых задач для уравнения Лапласав областях со сферической симметриейПриведём здесь общую формальную схему метода Фурьерешения таких задач. Рассмотрим сначала задачу Дирихле вшаровом слое Ω = {x : r < |x| < R} в R3 , r > 0, R < ∞: найтиu(x) в Ω, удовлетворяющую уравнению Лапласа∆u(x) = 0вΩ(74)и граничному условию Дирихлеu|Γ1 = u1 (x),46u|Γ2 = u2 (x),(75)где Γ1 = {x : |x| = r} и Γ2 = {x : |x| = R} — внутренняя ивнешняя компоненты границы шарового слоя Ω, u1 (x) и u2 (x)— заданные, например, непрерывные функции на Γ1 и Γ2 соответственно.Обозначим, как и выше, через ub(ρ,θ,ϕ) выражение решениязадачи в сферической системе.
Разложим (мысленно) ub(ρ,θ,ϕ)при каждом фиксированном ρ в ряд Фурье по системе сферических функций (59):∞ XlXubm (ρ)Yb m (θ,ϕ).(76)ub(ρ,θ,ϕ) =lll=0 m=−lПодставим формально это разложение в уравнение (74), записанное в сферической системе, и получим 2∞ XlXd m2 d mub (ρ) +ub (ρ) Yblm (θ,ϕ)+dρ2 lρ dρ ll=0 m=−lubml (ρ) b 0 b m+ 2 ∆θ,ϕ Yl (θ,ϕ) = 2∞ XlρXd m2 d m=ub(ρ)+ub(ρ)−lldρ2ρ dρl=0 m=−ll(l + 1) m−ubl (ρ) Yblm (θ,ϕ) ≡ 0.(77)ρ2Далее, подстановка разложения (76) в граничные условия приводит ещё к двум равенствам∞ XlXbmubmb1 (r,θ,ϕ),l (r)Yl (θ,ϕ) = ul=0 m=−l∞XlX(78)bmubmb2 (R,θ,ϕ),l (R)Yl (θ,ϕ) = ul=0 m=−lгде ub1 (r,θ,ϕ) и ub2 (R,θ,ϕ) — выражения функций u1 (x) и u2 (x) всферической системе.
Разложим функции ub1 (r,θ,ϕ) и ub2 (R,θ,ϕ)47(они — функции только θ и ϕ) в ряды Фурье по сферическойсистеме (59):ub1 (r,θ,ϕ) =∞ XlXbmam1;l Yl (θ,ϕ),l=0 m=−lub2 (R,θ,ϕ) =l∞ XX(79)bmam2;l Yl (θ,ϕ).l=0 m=−lmВ общем случае коэффициенты Фурье am1;l и a2;l можно найтипо формуле (73). Во всяком случае мы их считаем известнымивеличинами.Обращаясь к соотношению (77), заключаем (в силу ортогональности сферических функций), что все коэффициенты внём при сферических гармониках обращаются в нуль при всехρ : r < ρ < R. Кроме того, подставляя разложения (79) ещё и вправые части равенств (78) и приравнивая коэффициенты приодинаковых сферических гармониках, приходим к следующейсчётной системе уже несвязанных между собой краевых задачдля коэффициентов Фурье ubml (ρ):d m2 d ml(l + 1) mubl (ρ) +ubl (ρ) −ubl (ρ) = 0, r < ρ < R, (80)2dρρ dρρ2mmubmbm(81)l (r) = a1;l , ul (R) = a2;l , l = 0,1,2, .
. . , |m| 6 l.Каждая такая задача имеет единственное решение. В самом деле, т.к. уравнение (80) — однородное уравнение Эйлера,линейно независимые решения следует искать в виде ubml (ρ) =µ= ρ . Подставляя эту функцию в уравнение, приходим к квадратному уравнению для µ:µ(µ + 1) − l(l + 1) = 0.Последнее уравнение имеет два решения µ1 = l, µ2 = −(l + 1).Поэтомуm lm −(l+1)ubm,(82)l (ρ) = c1;l ρ + c2;l ρ48mгде cm1;l и c2;l — некоторые постоянные, которые нужно определить из граничных условий (81).
Используя эти граничныеусловия, приходим для каждого l и каждого m к следующейmсистеме 2-х уравнений для cm1;l и c2;l :−(l+1) mrl cmc2;l = am1;l + r1;l ,(83)−(l+1) mRl cmc2;l = am1;l + R2;l .Определитель этой системы отличен от нуля: l r 2l+1 rRlr−(l+1) < 0,δl = l=−1−R R−(l+1) Rrl+1rпоскольку 0 < R < 1. Решая системы (83), находим постоянmные cmbm1;l и c2;l , далее по формуле (82) функции ul (ρ), а затем поформуле (76) и решение задачи Дирихле (74), (75) в шаровомслое.Перейдём, наконец, к рассмотрению задачи Дирихле ещё вшаре и вне шара.Задача Дирихле в шаре радиуса R > 0Формулировка задачи изменится следующим образом. Вуравнении (74) областью Ω является шар |x| < R, а граничныеусловия (75) заменятся на одно условиеu|Γ = u0 (x), Γ = ∂Ω = {x : |x| = R}.(84)Решение u этой задачи, выраженное в сферической системеопять мысленно разлагаем при каждом фиксированном ρ, 0 << ρ < R, в ряд Фурье (76) по сферическим функциям.
Вместограничных условий (78) с (79) имеем одно граничное условие∞ XlXl=0 m=−lbmubml (R)Yl (θ,ϕ)=ub0 (R,θ,ϕ) =∞ XlXbmaml Yl (θ,ϕ),l=0 m=−l49где amb0 (R,θ,ϕ)l — коэффициенты Фурье граничной функции uпо сферической системе (59).Действуя как и для случая сферического слоя, приходимдля каждого l = 0,1,2, . . . и каждого |m| 6 l к уравнению (80) иодному граничному условиюmubml (R) = al .(85)Но общее решение уравнения (80) имеет вид (82) и зависит отmдвух постоянных cmbm1;l и c2;l .
Нужно ещё одно условие на ul (ρ),чтобы однозначно определить эти две постоянные.Таким вторым условием является условие ограниченностифункции ubml (ρ) при ρ → 0. Покажем это. Поскольку решениеu(x) заведомо принадлежит C(Ω), то оно ограничено в Ω (всилу теоремы Вейерштрасса), т.е. существует такая постоянная M > 0, что|bu(ρ,θ,ϕ)| 6 M∀ ρ,θ,ϕ, 0 6 θ 6 π, 0 6 ϕ 6 2π.Функции ubml (ρ) являются коэффициентами Фурье по сферической системе функций ub(ρ,θ,ϕ) при каждом фиксированном ρ. Всилу формулы (73) для коэффициентов Фурье и формулы (16)для скалярного произведения имеемZ 2πZ π1(ρ)=dϕub(ρ,θ,ϕ)Yblm (θ,ϕ) sin θ dθ. (86)ubmlmmbb(Yl ,Yl )S1 00Но функция Yblm (θ,ϕ) является ограниченной при 0 6 θ 6 π,0 6 ϕ 6 2π, т.е.
|Yblm (θ,ϕ)| 6 Mlm — некоторая постоянная.Поэтому при всех ρ : 0 < ρ 6 R мы можем оценитьZ 2πZ π1m|bum(ρ)|6M·Mdϕsin θ dθ =ll(Yblm ,Yblm )S1 004πM Mlm=.(87)(Yb m ,Yb m )Sl50l1Таким образом, ограниченность ubml (ρ) на (0,R] установлена.Обратимся теперь к формуле (82) для ubml (ρ).
Если бы коmэффициент c2;l не обращался бы в нуль, тогда, поскольку −(l ++ 1) 6 −1, l > 0, мы бы имели, что ubml (ρ) → ∞ при ρ → 0,что противоречит только что установленной ограниченностифункции ubml (ρ). Поэтомуm lubml (ρ) = c1;l ρ .Подставляя это выражение в граничное условие (85), определяем постоянную cm1;l :amlcm=.1;lRlОкончательно приходим к следующему выражению для решения задачи Дирихле в шаре (в сферической системе)∞ Xl ρ lXub(ρ,θ,ϕ) =· Yblm (θ,ϕ).amlRl=0 m=−lЗадача Дирихле во внешности шара радиуса r > 0В уравнении (74) областью Ω теперь является множествоΩ = {x : |x| > r}. При этом ищется решение u(x), стремящеесяк нулю на бесконечностиu(x) → 0при|x| → ∞(88)и удовлетворяющее граничному условиюu|Γ = u0 (x), Γ = ∂Ω = {x : |x| = r}.(89)Совершенно аналогично уже рассмотренным случаям получаем, что решение этой задачи имеет представление (в сферической системе) (76), где коэффициенты ubml (ρ) являются решениями на полубесконечном интервале (r, + ∞) уравнений (80)и удовлетворяют граничному условиюmubml (r) = al ,(90)51где am— коэффициенты Фурье в разложении функцииlP∞ Plm bmub0 (r,θ,ϕ) =l=0m=−l al Yl (θ,ϕ) по сферической системе (59).Вторым условием, позволяющим однозначно определитькаждую из функций ubml (ρ), является условие стремления кнулю на ∞:ubmпри ρ → ∞.l (ρ) → 0В самом деле, используя выражение (86), можем получитьоценку, аналогичную (87), с заменой постоянной M на функцию M (ρ) = max |bu(ρ,θ,ϕ)|.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
