Сферические функции - Пальцев (1188239), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Если S(t) — решение уравнения(54), то дифференцируя его (как тождество), получим(1−t2 )(S 0 )00 −2t(S 0 )0 −2(n+1)t(S 0 )0 −2(n+1)S 0 +[l(l+1)−n(n+1)]S 0 == (1 − t2 )(S 0 )00 − 2(n + 2)(S 0 )0 + [l(l + 1) − (n + 1)(n + 2)]S 0 = 0,и первое утверждение леммы установлено.2◦ . Преобразуем уравнение (54) при n = −l к виду(1 − t2 )S 00 − 2tS 0 + 2ltS 0 + 2lS = ((1 − t2 )S 0 )0 + 2l(tS)0 = 0.Поэтому решение уравнения первого порядка(1 − t2 )S 0 + 2ltS = 0будет и решением предыдущего уравнения. Но последнее уравнение легко интегрируется (оно является уравнением с разделяющимися переменными).
Одним из решений этого уравнения является функция (55). Лемма 6 установлена.Применим теперь эту лемму к нахождению решений из∞C ([−1,1]) уравнений (53). Для того, чтобы получить такоерешение уравнения (53) при m = 0, согласно лемме 6 достаточно l раз продифференцировать многочлен (55), и полученный многочлен будет с точностью до постоянного множителяединственным нетривиальным ограниченным на [−1,1] решением этого уравнения.
Вместо такого многочлена берут многочлен1 dl 2Pl (t) = l(t − 1)l(56)2 l! dtl(он — степени l), нормированный условием Pl (1) = 1 (проверить последнее самим). Систему многочленов (56) l = 0,1,2, . . .называют системой многочленов Лежандра. Формула (56) носит название формулы Родрига для многочленов Лежандра.34Пользуясь далее пунктом 1◦ леммы 6, находим, что решением уравнения (53), причём с точностью до постоянного множителя единственным ограниченным на [−1,1] решением при|m| > 0 является многочленd|m|Pl (t).dt|m|Отметим, что при |m| > l этот многочлен будет равен тождественно нулю.Обратимся теперь к замене (52), и мы получаем, что единственным, с точностью до постоянного множителя, нетривиальным ограниченным на (−1,1) решением уравнения Лежандра (43) является функцияd|m|Pl (t),(57)dt|m|где Pl (t) — многочлен Лежандра степени l.
При этом такие нетривиальные решения уравнения (43) существуют только дляm, удовлетворяющих условию |m| 6 l. При |m| > 0 функции (57) называются присоединнными функциями Лежандра.При m = 0 Pl0 (t) — многочлены Лежандра.Обратимся, наконец, к формулам (40) и (42). И мы в результате находим, что при каждом l > 0 — целом системафункций|m|Pl(t) = (1 − t2 )|m|yblm (θ,ϕ) = Pl|m|2(cos θ)eimϕ ,− l 6 m 6 l,(58)представляет собой систему (2l + 1) сферических функцийвеса l.
Таким образом, если мы ещё установим, что такая система линейно независимая, то задача будет решена: тогда мынашли всю систему сферических функций веса l для каждогоl > 0 (точнее — их выражений в сферической системе).Обычно вместо системы (58) используют систему действительных сферических функций (получаемую из системы (58)35отделением действительных и мнимых частей): mPl (cos θ) cos mϕ,m = 0, .
. . ,l,Yblm (θ,ϕ) =(59)|m|Pl (cos θ) sin |m|ϕ, m = −1, − 2, . . . , − l.Установим, что эта система при каждом l > 0 является линейно независимой системой (2l +1) сферических функций весаl. Это вытекает из свойства ортогональности системы (59) относительно скалярного произведения (16).§ 5. Ортогональность сферических функцийи функций Лежандра. Производящая функцияи рекуррентное соотношение. БазисностьИтак, обозначим черезYlm (x),x ∈ S1 ,l = 0,1,2, .
. . ,− l 6 m 6 l,(60)систему всех сферических функций, каждая из которых —Ylm (x) имеет в сферической системе выражение (59).Лемма 7. 1◦ . Система (60) сферических функций являетсяортогональной системой относительно скалярного произведения (16).2◦ . Имеют место равенства 4πпри m = 0,2l + 1(61)(Ylm (x),Ylm (x))S1 = (l + |m|)! 2πпри16|m|6l.(l − |m|)! 2l + 1Д о к а з а т е л ь с т в о. Установим сначала 1◦ , а именно,12что (Ylm,Ylm)S1 = 0 для любых пар (l1 ,m1 ) и (l2 ,m2 ) таких,12что либо l1 6= l2 , либо m1 6= m2 . Если l1 6= l2 , то поскольку12Ylm(x) и Ylm(x) — собственные функции оператора −∆0S1 , от12вечающие различным собственным значениям λ1 = l1 (l1 + 1) и12,Ylm)S1 = 0.λ2 = l2 (l2 + 1), в силу леммы 2 (Ylm1236Пусть далее l1 = l2 , но m1 6= m2 .
Рассмотрим случай m1 ,m2 > 0. Выполняя замену t = cos θ, получаем дляm1 ,m2 > 0Z 2πm1m2(Yl1 ,Yl2 )S1 =cos m1 ϕ cos m2 ϕ dϕ×0Z π12(cos θ)Plm(cos θ) sin θ dθ =×Plm120Z 2πZ 112=cos m1 ϕ cos m2 ϕ dϕPlm(t)Plm(t) dt.(62)120−112Поэтому для m1 ,m2 > 0, m1 6= m2 (Ylm,Ylm)S1 = 0 в12силу известного из курса математического анализа свойстваортогональности классической тригонометрической системыcosR 2πkϕ, k > 0, sin kϕ, k > 1, k ∈ Z на интервале (0,2π):0 cos m1 ϕ cos m2 ϕ dϕ = 0 при m1 6= m2 .
Совершенно аналогично рассматриваются другие возможности для случая m1 6=6= m2 . Итак, 1◦ установлено.Отметим, что из этого свойства вытекает непосредственносвойство ортогональности систем многочленов Лежандра иприсоединённых функций Лежандра на интервале (−1,1).Лемма 8. При каждом фиксированном m > 0, m ∈ Z,Z 1Plm(t)Plm(t) dt = 0 для l1 ,l2 > m, l1 6= l2 .(63)12−1Д о к а з а т е л ь с т в о. Обратимсяк формуле (62). ПоR 2π2 mϕ dϕ = {2π при m =m)cosскольку (Ylm,Y=0,аl2 S 101= 0, π при m > 0} =6 0, получаем (63).Справедливость утверждения 2◦ леммы 7 непосредственновытекает из формулы (62) и её аналога при m1 = m2 < 0 инижеследующего утверждения.37Лемма 9.
Для любых целых l и m, 0 6 m 6 l имеет месторавенствоZ 12(l + m)!.(64)(Plm (t))2 dt =(l − m)! (2l + 1)−1Для доказательства этой формулы удобно воспользоватьсярекуррентной формулой для многочленов Лежандра, выражающей Pl+1 (t) через Pl (t) и Pl−1 (t). Доказательство такой формулы в свою очередь легко следует из нижеследующего разложения, которое представляет и самостоятельный интерес.Лемма 10. Для любых ρ : 0 6 ρ < 1 справедливо разложение∞X1p=Pl (t)ρl , ∀ t ∈ [−1,1],(65)1 − 2tρ + ρ2l=0причём это разложение допускает почленное дифференцирование по ρ и по t произвольное число раз.1Определение 5. Функцию (1 − 2tρ + ρ2 )− 2 называютпроизводящей функцией для многочленов Лежандра.1Д о к а з а т е л ь с т в о леммы 10. Функция |x − y| , x == (x1 ,x2 ,x3 ), y = (y1 ,y2 ,y3 ) ∈ R3 удовлетворяет уравнению Лапласа по переменным x ∈ R3 для x 6= y.
Положим y = (0,0,1) и1выразим |x − y| как функцию x в сферической системе:11=p,|x − y|1 − 2ρ cos θ + ρ2ρ = |x|,θ ∈ [0,π].(66)Разложим эту функцию при каждом фиксированном θ в рядТейлора по степеням ρ. Покажем, что радиус сходимости такого ряда не меньше 1 (на самом деле равен 1).38Для этого воспользуемся ТФКП. Рассмотрим при каждомфиксированном θ ∈ [0,π] квадратный трёхчлен ω(z,θ) = 1 −− 2z cos θ + z 2 = (1 − eiθ z)(1 − e−iθ z), где z — комплекснаяпеременная, z ∈ C.
Как известно, функция∞Xα(α − 1) . . . (α − k + 1)−1,h(w) =Ck 2 wk ,Ckα =k!k=0представимая степенным рядом в правой части с радиусомсходимости, равным 1, являетсярегулярнойветвью в кругеno1|w| < 1 двузначной функции 1/(1 − w) 2 , причём такой, что√√h(u) = 1/ 1 − u при 0 6 u < 1, где 1 − u — арифметическийкорень из положительного числа.Поэтому функцияg(z,θ) = h(eiθ z) · h(e−iθ z)(67)является регулярной ветвью в круге |z| < 1, при фиксированном θ, двузначной функции 1/(1 − 2z cos θ + z 2 )1/2 такой,pчто g(ρ,θ) = 1/ 1 − 2ρ cos θ + ρ2 при 0 6 ρ < 1, последний корень является корнем арифметическим из положительной величины.
Действительно, g(z,θ) регулярна по z при |z| < 1,g 2 (z,θ) = (h(eiθ z))2 (h(e−iθ z))2 = (1 − eiθ z)−1 (1 − e−iθ z)−1 = (1 −− 2z cos θ + z 2 )−1 и для 0 6 ρ < 1 g(ρ,θ) = h(eiθ ρ) · h(e−iθ ρ) == h(eiθ ρ) · h(eiθ ρ) = |h(eiθ ρ)|2 > 0 (поскольку коэффициенты−1Тейлора Ck 2 функции h действительные).Из представления (67) следует, что g(z,θ) имеет непрерывные частные производные по комплексной переменной z и подействительной переменной θ на множестве {z : |z| < 1} ×× {θ : 0 6 θ 6 π} (в регулярную функцию h(w) подставляютсяфункции, обладающие таким свойством и берётся произведение двух таких суперпозиций).Воспользуемся теперь следующим предложением.39Предложение 4.
Пусть g(z,t) — функция, регулярная вкруге |z| < R при каждом действительном t ∈ [α,β], сама ивсе её частные производные по комплексной переменной z идействительной переменной t являются непрерывными функциями z и t на множестве {z : |z| < R} × {t : α 6 t 6 β}. Тогдав разложении этой функции в ряд Тейлора∞Xg(z,t) =ak (t)z k , |z| < R, t ∈ [α,β],(68)k=0коэффициенты ak (t) ∈ C ∞ ([α,β]), и это разложение допускаетпочленное дифференцирование по z и по t произвольное числораз.Д о к а з а т е л ь с т в о.
Как известно из ТФКП, коэффициенты ak (t) представимы контурными интеграламиI1g(ξ,t)dξ, k = 0,1,2, . . .(69)ak (t) =2πi |ξ|=R1 ξ k+1где R1 — произвольное, удовлетворяющее неравенству 0 << R1 < R. Поскольку1ξk+1∂pg(ξ,t) ∈ C({ξ : |ξ| = R1 } ×∂tp× {t : α 6 t 6 β}), то дифференцирования под знаком интеграла в представлении (68) законны и ak (t) дифференцируемына [α,β] произвольное число раз.Покажем далее, что ряд∞Xdpak (t)z k ,(70)dtpk=0полученный почленным дифференцированием ряда (68) p разпо переменной t, p > 0 — произвольное целое, сходитсяравномерно по z и t на всяком множестве {z : |z| 6 r} ××{t : α 6 t 6 β}, 0 < r < R.
В самом деле, для фиксированногоr < R возьмём в представлении (69) R1 , удовлетворяющим40условию r < R1 < R. На ограниченном замкнутом множестве∂p{ξ : |ξ| = R1 } × {t : α 6 t 6 β} функция ∂tp g(ξ,t) непрерывна, апотому (по теореме Вейерштрасса) pограничена по модулю не∂которой постоянной Mp : ∂tp g(ξ,t) 6 Mp , |ξ| = R1 , t ∈ [α,β].Поэтому, пользуясь (69), можем оценить: p IZp 1dMpMp∂1g(ζ,t) k+1 dζ 6ds = k . dtp ak (t) = 2πpk+1 2πR1ζR1|ζ|=R1 ∂t|ξ|=R1Следовательно, члены ряда (70) можем оценить по модулю намножестве |z| 6 r, α 6 t 6 β членами числовой последовательности: p kdrk. dtp ak (t)z 6 Mp R1 kPrПоскольку числовой ряд Mp ∞сходится при r < R1 ,k=0 R1по признаку Вейерштрасса ряд (70) сходится равномерно по zи t при |z| 6 r, t ∈ [α,β].Перейдём к окончанию доказательства предложения 4.
То,что разложение (68) допускает почленное дифференцированиепо z, — хорошо известный результат ТФКП. То, что разложение (68) можно почленно дифференцировать и по t произвольное число раз, следует из хорошо известной теоремы математического анализа, поскольку установлено, что ряды (70) длялюбого p > 0 сходятся равномерно по t ∈ [α,β] (при каждомфиксированном z : |z| < R). Предложение 4 доказано.Вернёмся к доказательству разложения (65). Разложимфункцию (66), которая равна g(ρ,θ), где g(z,θ) определена (67),в ряд Тейлора в точке ρ = 0:1p1 − 2ρ cos θ + ρ2=∞Xal (θ)ρl , 0 6 ρ < 1,l=041где, согласно предложению 4, al (θ) = C ∞ ([0,π]), причём эторазложение можно почленно дифференцировать по ρ и θ произвольное число раз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
