Сферические функции - Пальцев (1188239), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Таким образом, v(t) = btl .lПерейдём теперь к доказательству сформулированноговыше утверждения относительно функции V (x). Представиммногочлен V (x) в видеV (x) =где Vk (x) =Pα1 ,α2 ,α3 >0α1 +α2 +α3 =kpXVk (x),k=0Cαk1 ,α2 ,α3 xα1 1 xα2 2 xα3 3— однородные мно-гочлены степени k, k = 0,1, . . . ,p. Переходя к сферическимкоординатам, имеемVbk (ρ,θ,ϕ) = ρk ybk (θ,ϕ)(29)иVb (ρ,θ,ϕ) =pXybk (θ,ϕ)ρk ,(30)k=0где ybk (θ,ϕ) — некоторые бесконечно дифференцируемые функции θ и ϕ.Обратимся к представлению (27) и сначала воспользуемсяпредложением 1 для тех точек θ,ϕ, в которых yb(θ,ϕ) 6= 0. Этонам даёт, что µ+ = l — целому (одному и тому же для всехтаких θ и ϕ), что p = l, что ybl (θ,ϕ) = yb(θ,ϕ) и что ybk (θ,ϕ) == 0, k = 0,1, .
. . ,(l − 1) во всех тех точках θ,ϕ, где yb(θ,ϕ) 6= 0.Для тех же точек θ,ϕ, где yb(θ,ϕ) = 0, сравнивая представления(30) и (27), находим, что все ybk (θ,ϕ), k = 0,1, . . . ,l также равнынулю.20Итак, мы получили, что µ+ = l, что p = l, что ybk (θ,ϕ) ≡ 0,k = 0,1, . . . ,(l − 1) для всех θ и ϕ, а потому и Vbk (ρ,θ,ϕ) ≡ 0 и,следовательно, Vbk (x) ≡ 0, k = 0,1, . . . ,(l − 1). Таким образом,V (x) является однородным многочленом степени l, удовлетворяющим уравнению Лапласа.Воспользуемся теперь уравнением (26), которому удовлетворяет µ+ .
Выражая СЗ λ через µ+ , получимλ = µ2+ + µ+ = l(l + 1),l > 0 — целое.1◦ . Перейдём теперь к доказательству обратного утверждения леммы 3. Для этого воспользуемся следующим предложением.Предложение 2. Пусть V (x) — однородный многочленстепени l. Тогда∆V (x)|S1 = l(l + 1)y(x) + ∆0S1 y(x),(31)гдеy(x) = V (x)|S1(32)— функция на S1 , называемая следом многочлена V (x) на S1 .Д о к а з а т е л ь с т в о.
Аналогично (29) для Vb (ρ,θ,ϕ) —выражения V (x) в сферической системе — имеет место представление вида (24), где yb(θ,ϕ) — выражение y(x) в сферической системе. Тогда, используя (11), получаемl1ddρd (ρ,θ,ϕ)|ρ=1 =b 0 yb(θ,ϕ) =∆Vρ2 ρl yb(θ,ϕ) + 2 ∆2ρ dρdρρ θ,ϕρ=1= l(l + 1)by (θ,ϕ) +b 0 yb(θ,ϕ).∆θ,ϕОтсюда, с использованием определения 2 и (32), получаем (31).Итак, если V (x) — ненулевой однородный гармоническиймногочлен степени l, то в силу (31) и выполнения уравнения21∆V (x) = 0 получаем, что для функции (32)−∆0S1 y(x) = l(l + 1)y(x),x ∈ S1 ,(33)причём y(x) 6≡ 0 на S1 (в противном случае в силу (24) V (x) ≡≡ 0).
Таким образом y(x) является собственной функцией оператора −∆0S1 , отвечающей собственному значению λ = l(l + 1).Лемма 3 полностью доказана.СФ оператора −∆0S1 и называют сферическими функциями.Определение 3. Всякую собственную функцию y(x) оператора −∆0S1 , отвечающую собственному значению λ = l(l+1),l > 0 — целое, будем называть сферической функцией веса l.Обычно сферической функцией называют также и выражениеyb(θ,ϕ) функции y(x) в сферической системе.Лемма 3 по сути дела и даёт описание множества сферических функций. А именно, имеем следующееСледствие 1. Множество всех сферических функций веса lпредставляет собой совокупность следов на S1 всех ненулевыходнородных гармонических многочленов в R3 степени l.Определение 4. Пусть y(x) — сферическая функциявеса l.
Однородный гармонический многочлен, имеющий в сферической системе выражение (24), называют шаровой функцией, порождённой y(x).§ 3. Подсчёт максимального числа линейнонезависимых сферических функций веса lПоскольку формула (24) устанавливает взаимнооднозначное соответствие между сферическими функциямивеса l и шаровыми функциями степени l, то максимальноечисло линейно независимых сферических функций веса l22совпадает с максимальным числом линейно независимыходнородных гармонических многочленов степени l. Займёмсяподсчётом последнего числа.Заметим, что множество Pl всех однородных многочленовстепени l, т.е.
многочленов видаXp(x) =cα xα , xα = xα1 1 xα2 2 xα3 3 ,|α|=l(34)α = (α1 ,α2 ,α3 ), |α| = α1 + α2 + α3 ,образует линейное пространство. Множество Hl всех однородных многочленов p(x) степени l, удовлетворяющих уравнению∆p(x) = 0, в силу линейности оператора Лапласа, представляет собой линейное подпространство пространства Pl . Hlявляется нуль-пространством оператора Лапласа, рассматриваемого на пространстве Pl .α3Подсчитаем сначала размерность dim Pl пространства Pl .Так как в силу (34) всякий многочлен из Pl является линейнойкомбинацией одночленовlTlα1 |{z(l+1)l} α2xα = xα1 1 xα2 2 xα3 3 ,α1 ,α2 ,α3 > 0,α1 + α2 + α3 = l,Рис.
4а совокупность этих одночленовлинейно независима, то размерность Pl равна числу различныхтаких одночленов, т.е. числу всевозможных точек (α1 ,α2 ,α3 ) вR3 с целочисленными координатами α1 ,α2 ,α3 > 0, лежащимина плоскости α1 + α2 + α3 = l, а точнее в замкнутом треуголь23нике T , лежащем в этой плоскости и изображённом на рис. 4.Нетрудно подсчитать количество таких точек:(l + 1)(l + 2)dim Pl = (l + 1) + l + . . . + 1 =.2Далее установим следующее утверждение.(35)Предложение 3. Оператор Лапласа ∆ отображает пространство Pl на всё пространство Pl−2 (в случае l = 0,1 пространство Pl−2 состоит только из одной нулевой функции и егоразмерность равна нулю).Д о к а з а т е л ь с т в о. Нужно показать, что для любогооднородного многочлена q(x) степени m > 0 найдётся такойоднородный многочлен p(x) степени (m + 2), что∆p(x) = q(x).(36)1◦ . В случае, когда m = 0, т.е.
q(x) = c0 = const, p(x) =c= 20 x21 удовлетворяет (36) и для l − 2 = 0 предложение 3 спра-ведливо.2◦ . Предложение 3 справедливо и для случая, когда q(x)является однородным многочленом только одной переменной. Например, если q(x) = cm xm1 , то многочлен p(x) =cm= (m + 1)(mxm+2 очевидно удовлетворяет (36).
Заметим,+ 2) 1что при этом p(x) — однородный многочлен также только одной переменной x1 .3◦ . Установим далее справедливость предложения 3 дляслучая, когда q(x) является однородным многочленом толькодвух переменных. Будем доказывать это индукцией по степенимногочлена q(x). Итак предположим, что (36) уже установленодля всех однородных многочленов степени m двух каких-либопеременных, например, x1 и x2 , и что при этом p(x) — однородный многочлен степени m + 2 опять тех же двух перемен-24ных. Для m = 0 мы уже установили, что это верно. Докажемсправедливость такого утверждения для произвольного однородного многочлена q(x) степени m + 1 и переменных x1 и x2 :q(x) = q(x1 ,x2 ).∂Производная ∂x q(x1 ,x2 ) является однородным многочле1ном 2-х переменных x1 и x2 степени m.
Поэтому в силу предположения индукции найдётся такой однородный многочленr(x1 ,x2 ) степени (m + 2), что∆r(x1 ,x2 ) =∂q(x1 ,x2 ).∂x1(37)Введём для однородных многочленов операциюJ1 интегриPα1 α2 α3рования по переменной x1 : если p(x) = |α|=l cα x1 x2 x3 —однородный многочлен степени l, тоXcαJ1 p(x) =xα1 +1 xα2 2 xα3 3(α1 + 1) 1|α|=l— однородный многочлен степени (l + 1). Очевидно,∂J1 p(x) ≡ p(x)∂x1для любого однородного многочлена p(x).Образуем далее многочлен p1 (x1 ,x2 ) = J1 r(x1 ,x2 ) — однородный, степени (m + 3). Он зависит только от x1 иx2 . Тогдав силу (37)∂∂∂(∆p1 (x1 ,x2 )−q(x1 ,x2 )) = ∆J1 r(x1 ,x2 )−q(x1 ,x2 ) =∂x1∂x1∂x1∂= ∆r(x1 ,x2 ) −q(x1 ,x2 ) ≡ 0.∂x1Поэтому однородный многочлен (∆p1 (x1 ,x2 ) − q(x1 ,x2 )) на самом деле является однородным многочленом только одной пе25ременной x2 степени (m + 1):∆p1 (x1 ,x2 ) − q(x1 ,x2 ) = ϕ(x2 ).(38)В силу установленного в пункте 2◦ для ϕ(x2 ) найдётся такой однородный многочлен p2 (x2 ) только переменной x2 степени (m + 3), что ∆p2 (x2 ) = ϕ(x2 ).
Используя это в (38),находим в результате, что однородный многочлен p(x1 ,x2 ) == p1 (x1 ,x2 ) − p2 (x2 ) удовлетворяет (36). Действительно,∆p(x1 ,x2 ) = ∆p1 (x1 ,x2 ) − ∆p2 (x2 ) == ∆p1 (x1 ,x2 ) − ϕ(x2 ) = q(x1 ,x2 ).Итак, утверждение пункта 3◦ доказано.4◦ . Общий случай, когда q(x) — многочлен 3-х переменныхустанавливается точно так же индукцией по степени многочлена q(x) с использованием уже доказанного утверждения впункте 3◦ для многочленов q(x) только двух переменных. Приэтом многочлены r и p1 будут многочленами 3-х переменных,а многочлены ϕ и p2 — многочленами 2-х переменных x2 и x3 .Итак, предложение 3 доказано.Подсчёт размерности пространства Hl однородных гармонических многочленов степени l произведём с использованиемполученных утверждений и следующей леммы, известной изкурса линейной алгебры, доказательство которой приведём дляполноты изложения.Лемма 4.
Пусть A — линейное отображение линейногопространства E размерности n на всё линейное пространствоF размерности m 6 n. Тогда размерность нуль-пространства(ядра) N отображения A (т.е. подпространства элементовиз E, которые A переводит в 0 ∈ F ) равна n − m.Д о к а з а т е л ь с т в о. Выберем в F какой-либо базисf1 , . . . ,fm . Так как AE = F , найдутся такие элементы26e1 , . .
. ,em , что Aek = fk , k = 1, . . . ,m. Нетрудно видеть, что система векторов e1 , . . . ,em также линейно независимая система.Дополним систему e1 , . . . ,em элементами em+1 , . . . ,en из Eдо базиса в E. Матрица A отображения A в базисах e1 , . . . ,enв пространстве E и f1 , . . . ,fm в пространстве F имеет вид A == kE, ∗ k, где E — единичная матрица размеров m × m, ∗ —некоторая матрица размеров m×(n−m). Нуль-пространство Nоператора A состоит из тех и только тех векторов x ∈ E, координатные столбцы которых ξ = (ξ1 , .
. . ,ξn )T в базисе e1 , . . . ,enудовлетворяют системе Aξ = 0, где 0 = (0, . . . ,0)T . Поскольку| {z }m разранг матрицы A равен m (т.к. det E = 1), то размерность пространства решений системы Aξ = 0, а вместе с ней и размерность нуль-пространства N равны (n − m). Лемма 4 доказана.Итак, применим эту лемму к нахождению размерностипространства Hl однородных гармонических многочленов степени l. Оператор Лапласа ∆ представляет собой линейное отображение пространства Pl на всё пространство Pl−2 , а Hl является нуль-пространством такого оператора. Поэтому в силулеммы 4 и (35) размерность dim Hl пространства Hl равнаdim Hl = dim Pl − dim Pl−2 =(l + 1)(l + 2) (l − 1)l−= 2l + 1.22Итак, установлено следующее утверждение.Лемма 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
