Лекции по терверу - Горяйнов (1188226)
Текст из файла
В. В. ГоряйновЛекции по теории вероятностейСодержаниеСодержание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1. Пространство элементарных событий. Вероятность. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .1.1. Теоретико–множественная модель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2. Элементы комбинаторики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.3. Геометрические вероятности . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2. Алгебры событий и свойства вероятности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3. Условная вероятность и независимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4. Независимые испытания.
Схема Бернулли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5. Дискретные случайные величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6. Пространство с мерой и общая модель вероятностного пространства . .7. Математическое ожидание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .8. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9. Характеристические функции. Центральная предельная теорема . . . . . .10. Виды сходимости последовательностей случайных величин . . . . . . . . .
. .11. Цепи Маркова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12. Ветвящиеся процессы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13. Таблица нормального распределения . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .112345812152532364046495458§ 1. Пространство элементарных событий. ВероятностьТеория вероятностей представляет математические модели, которые отражают свойства случайных явлений. Как и в любой другой теории (например,классической механике, геометрии и др.), основные понятия теории вероятностей отражают некоторые свойства реального мира, но являются идеальнымиобъектами. Для иллюстрации этого будем исходить из понятия случайного эксперимента, результат которого нельзя заранее предсказать, но сам экспериментможно провести в одних и тех же условиях любое количество раз.
Примеры:подбрасывание монеты, подбрасывание игральной кости. В результате эксперимента мы можем наблюдать те или иные события, которые будем обозначатьA, B, C, . . .. Если проводить эксперимент в одинаковых условиях большое количество n раз, то частота nA /n ( nA — число появления A) появление событияA будет стремиться к некоторой величине. Это позволяет предположить, чтособытие A обладает некоторой скрытой характеристикой, которую называютвероятностью и обозначают P(A).cВ. В. Горяйнов,20192В.
В. ГОРЯЙНОВ1.1. Теоретико–множественная модель. Построение теоретико-множественной модели теории вероятностей связано с выделением пространства Ωэлементарных событий ω (исходов). В результате каждого проведения случайного эксперимента может наблюдаться только одно элементарное событиеω. При этом любое событие A ассоциируется с некоторым подмножеством Ω,т. е. A ⊂ Ω. Само Ω также рассматривается как событие. Его называют достоверным событием, поскольку оно происходит всегда. Наряду с этим пустоемножество ∅ связывают с невозможным событием.Таким образом, результат эксперимента описывается элементарным событием ω.
Если ω ∈ A, то говорят, что событие A произошло, если же ω 6∈ A, тособытие A в этом эксперименте не произошло. Теоретико множественные операции и отношения соответствуют логическим операциям над событиями. ЕслиA ⊂ B, то это означает, что наступление события A влечет наступление события B. Событие A = Ω \ A называется отрицанием события A. ОбъединениюA ∪ B соответствует событие, которое происходит в случае, когда произошло Aили B. Пересечению A ∩ B соответствует событие, которое происходит лишь вслучае, когда происходят одновременно и A и B. Аналогичный смысл имеютобъединение и пересечение любого числа событий.
Разность A \ B означаетсобытие, когда A произошло, но B в этом эксперименте не произошло.Заметим, что операции объединения и пересечения множеств обладают свойством дистрибутивности!!\ [[[ \\ [ ABi =(ABi ),ABi =A Bi .i∈Ii∈Ii∈Ii∈IСледующие соотношения известны как правила де Моргана:[\\[Ai ,Ai .Ai =Ai =i∈Ii∈Ii∈Ii∈IЕсли Ω конечно или счетно, то говорят о дискретной модели теории вероятностей (или случайного эксперимента).
Пусть Ω = {ω1 , ω2 , . . .} конечно илисчетно и допустим, что каждому элементарному событию ωk соответствует веPроятность pk . Тогда pk > 0 и pk = 1. Кроме того, для любого события A ⊂ Ωвероятность должна определяться как суммаXP(A) =pk .k: ωk ∈AВ дискретных моделях особенно выделяется случай классического определениявероятности. Допустим, что Ω состоит из конечного числа элементарных событий ω1 , . .
. , ωn , которые в силу каких либо причин (например, симметрии)являются равновозможными. Такая ситуация возникает при подбрасываниимонеты или игральной кости. Тогда pk = 1/n для всех k = 1, . . . , n, а подсчетвероятности события A ⊂ Ω сводится к вычислению числа |A| элементарныхсобытий, составляющих A.
В частности, |Ω| = n, а для P(A) в этих терминахможно записать формулу|A|P(A) =.|Ω|Эта формула и составляет классическое определение вероятности.3ЛЕКЦИИ ПО ТВ1.2. Элементы комбинаторики. При использовании классического определения вероятности основным инструментом являются комбинаторные методы. Отметим некоторые из них.Основное правило комбинаторики. Пусть имеется m групп элементов,причем i-тая группа состоит из ki элементов. Выберем по одному элементу изкаждой группы.
Тогда общее число N способов, которыми можно произвеститакой выбор, определяется равенствомN = k1 · k2 · . . . · km .Доказательство легко проводится по индукции.Выборки. Многие комбинаторные вычисления укладываются в следующую схему. Допустим, что мы имеем n занумерованных шаров: a1 , . . . , an .Осуществляется выборка объема k из этой совокупности шаров. Нас интересует количество способов, которыми можно осуществить эту выборку. При этомвозникает четыре различные ситуации: выборка может быть упорядоченнойили неупорядоченной и с возвращением или без возвращения.♣ Количество упорядоченных выборок с возвращением (или размещений изn по k с повторениями) равно nk . Это сразу же следует из основного правилакомбинаторики.♣ Количество упорядоченных выборок без возвращения (или размещенийиз n по k без повторений) равноAkn = n(n − 1) · .
. . · (n − k + 1) =n!.(n − k)!Эта формула также следует из основного правила комбинаторики.♣ Количество неупорядоченных выборок без возвращения (или сочетанийиз n по k без повторений) равноCnk =n!Ak= n.k!(n − k)!k!♣ Количество неупорядоченных выборок с возвращением (или сочетаний изkn по k с повторениями) равно Cn+k−1.Для подсчета числа таких выборок воспользуемся следующей конструкцией. Каждую такую выборку однозначно мы можем представить упорядоченной цепочкой нулей и единиц следующим образом. Вначале напишем столькоединиц, сколько в выборке присутствует a1 , после чего поставим нуль; затемнапишем столько единиц, сколько в выборке присутствует a2 , после чего сновапоставим нуль и так далее. Таким образом, каждой выборке будет соответствовать последовательность из k единиц и n − 1 нулей.
Чтобы зафиксироватьвыборку, достаточно указать места расположения единиц. Это эквивалентноосуществлению неупорядоченной выборке из n + k − 1 элементов объема k, т. е.kих количество равно Cn+k−1.Полученные результаты можно представить в виде таблицы.4В. В. ГОРЯЙНОВвыборкиупорядоченныенеупорядоченныес возвращениемnkkCn+k−1=(n + k − 1)!k!(n − 1)!без возвращенияn!Akn =(n − k)!n!kCn =k!(n − k)!Размещение частиц по ячейкам.
В физических приложениях приведенная выше комбинаторная схема встречается в другой интерпретации. Размещается k частиц по n ячейкам. В статистической физике в качестве частицмогут быть электроны, протоны, а в качестве ячеек, например, энергетическиеуровни. Здесь также выделяется четыре случая: различимые или неразличимые частицы и размещение с ограничением (не более одной частицы в однойячейке) или без ограничений.
Размещению без ограничений различимых частиц соответствует статистика Максвелла— Больцмана, размещению без ограничений неразличимых частиц соответствует статистика Бозе— Эйнштейна, аразмещению с ограничениями неразличимых частиц соответствует статистикаФерми— Дирака. Случай размещений с ограничениями различимых частиц встатистической физике не используется.Размещение частиц по ячейкам легко сводится к выборкам.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
